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基于離散域采樣數(shù)據(jù)模型的DC/DC變換器等效電路

2020-05-07 04:38:26童安平杭麗君李國杰馬肖男
電源學(xué)報(bào) 2020年2期
關(guān)鍵詞:狀態(tài)變量等效電路數(shù)據(jù)模型

童安平,杭麗君,李國杰,馬肖男

(1.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院,上海 200240;2.杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,杭州310018)

DC/DC變換器通過控制開關(guān)器件的通斷實(shí)現(xiàn)輸入輸出之間的電能變換,開關(guān)器件的驅(qū)動(dòng)信號(hào)由調(diào)制環(huán)節(jié)產(chǎn)生。為了使變換器系統(tǒng)達(dá)到所需的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)指標(biāo),一般需要引入反饋機(jī)制[1-2]。而變換器建模對(duì)于其控制器設(shè)計(jì)具有至關(guān)重要的意義。

在眾多的變換器建模方法中,狀態(tài)空間平均SSA(state-space averaging)模型使用最為廣泛[3],通過對(duì)變換器各開關(guān)階段狀態(tài)方程的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣進(jìn)行加權(quán)平均處理,SSA建模方法既可以得到反映變換器小信號(hào)特性的傳遞函數(shù),也能建立相應(yīng)的等效電路[2]。但是SSA方法是一種平均化的建模方法,是對(duì)時(shí)變變換器狀態(tài)方程的一種時(shí)不變近似,其反映的是當(dāng)變換器開關(guān)頻率趨于無窮大時(shí)的動(dòng)態(tài)特性[4]。而對(duì)于實(shí)際的變換器系統(tǒng),其開關(guān)頻率并非無窮,因此,SSA模型存在誤差。此外,狀態(tài)空間平均模型所能適用的范圍有限,難以直接用于研究含有高頻隔離環(huán)節(jié)的DC/DC變換器(如:LLC變換器,雙有源全橋變換器等)。對(duì)于采用數(shù)字控制的DC/DC變換器而言,SSA建模方法需要引入采樣保持 ZOH(zero-order hold)和調(diào)制延時(shí)進(jìn)行分析[5],而由此得到的模型無法準(zhǔn)確反映出調(diào)制方式對(duì)于變換器動(dòng)態(tài)特性帶來的影響。

采樣數(shù)據(jù)模型采用差分方程描述系統(tǒng)的演化特性,刻畫系統(tǒng)狀態(tài)變量在采樣點(diǎn)之間的迭代關(guān)系[6],能夠準(zhǔn)確反映出調(diào)制方式對(duì)于變換器工作特性的影響。對(duì)于采用數(shù)字控制的DC/DC變換器而言,采樣數(shù)據(jù)模型優(yōu)勢在于:利用了數(shù)字控制器輸出具有的采樣保持特性,將各子拓?fù)涞某掷m(xù)時(shí)間表示成采樣時(shí)刻控制輸出的顯函數(shù),因此對(duì)數(shù)字控制變流系統(tǒng)具有較高的建模精度;保持了系統(tǒng)的非線性特性,具有各個(gè)平衡點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)行為的分析能力。但是采樣數(shù)據(jù)模型計(jì)算復(fù)雜,需要處理多個(gè)矩陣指數(shù)函數(shù)乘積和積分,一般只能通過計(jì)算機(jī)輔助分析得到數(shù)值結(jié)果,不夠直觀,在工程實(shí)際中使用存在困難[1,7]。

為此,本文通過深入分析在不同調(diào)制方式下變換器的采樣數(shù)據(jù)模型,提出了基于采樣數(shù)據(jù)模型的等效電路推導(dǎo)方法,并給出了簡化模型有效近似的判別準(zhǔn)則。同時(shí)通過仿真驗(yàn)證了判別準(zhǔn)則的有效性和所得到采樣電路模型的有效性,基于所得模型成功解釋了所提出的在不同調(diào)制方式下變換器的穩(wěn)定性問題。

1 狀態(tài)空間平均模型

以數(shù)字控制的同步Boost變換器為例,指出狀態(tài)空間平均模型的不足之處。圖1給出了同步Boost變換器采用后沿調(diào)制TEM(trailing-edge modulation)和前沿調(diào)制 LEM(leading-edge modulation)時(shí)的電路結(jié)構(gòu)和調(diào)制器波形。圖2中給出了根據(jù)SSA建模方法結(jié)合ZOH與調(diào)制延時(shí)對(duì)以上2種情況建立的小信號(hào)模型框圖。

可以看出,采用TEM的變換器和采用LEM的變換器在小信號(hào)模型上唯一的區(qū)別就是由調(diào)制器產(chǎn)生的調(diào)制延時(shí)不同。對(duì)于LEM,調(diào)制延時(shí)為(1-d)Ts,對(duì)于 TEM,調(diào)制器的延時(shí)為 dTs。 因?yàn)樵谄渌h(huán)節(jié)不變的情況下,閉環(huán)系統(tǒng)延時(shí)越小,系統(tǒng)的相位裕度越大,穩(wěn)定性越好[8]。由此可以推斷,對(duì)于d>0.5的穩(wěn)定平衡點(diǎn),在發(fā)生負(fù)載擾動(dòng)時(shí),采用LEM的閉環(huán)同步Boost比采用TEM的情況穩(wěn)定性更好。為了驗(yàn)證這一推斷,對(duì)采用數(shù)字PI控制器調(diào)節(jié)輸出電壓的閉環(huán)同步Boost變換器進(jìn)行仿真,參數(shù)如下:Ls=100 μH,Cs=300 μF,fs=50 kHz,kp=0.015,ki=2,Vref=48 V,Vi=20 V,RL=50 Ω,Res=55 mΩ。當(dāng)變換器進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之后負(fù)載發(fā)生50 Ω到25 Ω的突變,穩(wěn)態(tài)時(shí)控制信號(hào)d=0.58。仿真結(jié)果對(duì)比如圖3所示。

從圖3仿真結(jié)果對(duì)比可知,在負(fù)載從50 Ω突變到25 Ω時(shí),采用TEM調(diào)制的系統(tǒng)收斂速度更快,因而擁有更好的穩(wěn)定性。而采用LEM調(diào)試的系統(tǒng)在發(fā)生擾動(dòng)之后,輸出電壓收斂更加緩慢,呈現(xiàn)出更差的穩(wěn)定性。因此,仿真結(jié)果與通過SSA建模得出的結(jié)論相悖,需要進(jìn)一步研究以解釋此現(xiàn)象。

2 基于采樣數(shù)據(jù)模型的等效電路推導(dǎo)方法

對(duì)于恒頻PWM變換器,其狀態(tài)方程[2]可以表示為

式中:x為狀態(tài)變量;u為輸入變量;Ai和Bi分別為1個(gè)開關(guān)周期Ts內(nèi)變換器第i個(gè)子狀態(tài)的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣;m為子狀態(tài)數(shù)。一般地,假設(shè)變換器每個(gè)子狀態(tài)持續(xù)時(shí)間為Ti(d),d為控制變量,各子狀態(tài)持續(xù)時(shí)間之和為開關(guān)周期Ts。通常數(shù)字控制系統(tǒng)是規(guī)則采樣而非自然采樣,即在1個(gè)開關(guān)周期內(nèi),控制信號(hào)保持不變,均有d=d[k]。假設(shè)輸入u保持不變,變換器的采樣數(shù)據(jù)模型,也就是狀態(tài)變量在采樣點(diǎn)之間的迭代關(guān)系可以精確地表示為

式中,G(d)為采樣數(shù)據(jù)模型的狀態(tài)矩陣;H(d)為采樣數(shù)據(jù)模型的輸入矩陣。二者分別[5]表示為

當(dāng)系統(tǒng)工作在開環(huán)時(shí),由于控制信號(hào)d與系統(tǒng)狀態(tài)變量x無關(guān),式(2)可以轉(zhuǎn)換為1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性差分系統(tǒng)。即在開環(huán)狀態(tài)下,變換器輸入u與狀態(tài)x呈現(xiàn)出線性關(guān)系。但是當(dāng)系統(tǒng)工作在閉環(huán)時(shí),d依賴于某個(gè)或多個(gè)狀態(tài)變量,因此系統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)模型的狀態(tài)矩陣G(d)和輸入矩陣H(d)均與狀態(tài)變量相關(guān),式(2)中必然會(huì)包含x的高次項(xiàng),從而使系統(tǒng)呈現(xiàn)出非線性特性[9]。在傳統(tǒng)觀點(diǎn)中,側(cè)重于對(duì)G(d)矩陣的近似,即構(gòu)造近似的矩陣Gs使其滿足以下約束:

此時(shí),可以保證當(dāng)變換器開關(guān)頻率足夠高時(shí),近似系統(tǒng)和原系統(tǒng)充分近似。常用的求取簡化矩陣Gs的方式包括:一階近似、二階近似和雙線性近似[10]等。但是在以上近似處理中,對(duì)輸入矩陣H(d)的處理通常較為粗糙,也沒有驗(yàn)證近似后的系統(tǒng)矩陣是否足夠逼近到實(shí)際系統(tǒng)矩陣。

此外,通過直接對(duì)開關(guān)器件進(jìn)行平均,可以構(gòu)造變換器大信號(hào)等效電路。實(shí)際上,狀態(tài)空間平均模型就是建立在這種平均開關(guān)模型基礎(chǔ)上的小信號(hào)模型。但是這種平均化方法缺乏對(duì)其對(duì)應(yīng)的簡化矩陣Gs和Hs的約束,無法保證所建立模型精確體現(xiàn)出閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。有時(shí)近似結(jié)果和原系統(tǒng)會(huì)有較大差異。

為了保證簡化矩陣Gs和Hs的每個(gè)元素都能足夠精確的收斂到G(d)和H(d)中的對(duì)應(yīng)結(jié)果,提出如下等效性判別方法,即

其中:[gs,ij]=Gs;[hsi,j]=Hs;[gi,j]=G(d);[hi,j]=H(d)。 如果近似系統(tǒng)滿足式中的約束,則可以保證近似結(jié)果和原系統(tǒng)充分接近。此外,若能構(gòu)造出矩陣Aeq和Beq,使其滿足方程

則可以消去復(fù)雜的切換過程,直接通過采樣數(shù)據(jù)模型建立等效電路,此等效電路的狀態(tài)軌跡在采樣點(diǎn)處充分近似原系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡。等效電路的構(gòu)造方法為:Aeq的非對(duì)角線元素通過由狀態(tài)變量控制的受控源表示,Aeq對(duì)角線元素由阻性元件表示,Beq中元素由輸入變量控制的受控源表示。由于此等效電路模型在推導(dǎo)過程中沒有采用線性化,因此得到的模型保留了原變換器系統(tǒng)的全局動(dòng)態(tài)特性。

3 模型應(yīng)用與分析

為了驗(yàn)證前文所述建模方法的有效性,以采用不同調(diào)制方式的同步Boost變換器為例進(jìn)行研究,同時(shí)分析了不同調(diào)制方式對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成影響的機(jī)理。

3.1 采用TEM時(shí)同步Boost變換器等效電路建模

分析前文所述TEM時(shí)的情況。電路結(jié)構(gòu)和調(diào)制器時(shí)域波形分別如圖1(c)和(d)所示。變換器參數(shù)仍然如上所述,即 Ls=100 μH,Cs=300 μF,fs=50 kHz,kp=0.02,ki=2,Vref=48 V,Vi=20V,RL=50 Ω,Res=55 mΩ。列寫變換器在子狀態(tài)下的狀態(tài)方程,可以得到其狀態(tài)矩陣A1、A2和輸入矩陣B1、B2分別為

其狀態(tài)變量包含流經(jīng)電感Ls的電流和輸出電容 Co兩端的電壓,即 x=[iLvo]T。 根據(jù)式(2)~式(4),可以建立系統(tǒng)精確的采樣數(shù)據(jù)模型,在此情況下,GTEM(d)和 HTEM(d)可以表示為

如果采用傳統(tǒng)的平均開關(guān)模型推導(dǎo)大信號(hào)等效電路[2],可以得到 Aeq,cov=dA1+(1-d)A2和 Beq,cov=B1,此時(shí)的等效電路模型如圖4所示。

此電路模型對(duì)應(yīng)的采樣數(shù)據(jù)模型為

應(yīng)用式(6)中的等效性校驗(yàn)方法可得

式中:[hTEM,i,j]=HTEM;[heq,cov,i,j]=Heq,cov。 因此可以發(fā)現(xiàn),此平均電路模型并不能充分逼近原系統(tǒng),通過對(duì)比兩者在閉環(huán)狀態(tài)下的工作波形也可以證實(shí)這一點(diǎn)。

圖5給出了詳細(xì)開關(guān)電路和圖4的平均開關(guān)模型在啟動(dòng)時(shí)輸出電壓波形的仿真對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)兩者有明顯差異。這也驗(yàn)證了式(6)中判據(jù)確實(shí)是判別簡化模型是否能精確反映原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的必要條件。

在建立精確的大信號(hào)等效模型的過程中發(fā)現(xiàn),由平均開關(guān)模型得到的狀態(tài)矩陣滿足等效性判據(jù)的約束,即

式中:[gTEM,i,j]=GTEM;[geq,cov,i,j]=Geq,cov。 即取 Aeq,TEM=Aeq,cov=dA1+(1-d)A2。 而為了滿足式(6),可以通過計(jì)算得到 Beq,TEM,即

采用TEM時(shí)同步Boost變換器采樣等效電路模型如圖6所示,由于Beq,TEM的第2行非零元素,模型中增加了1對(duì)額外的耦合受控源,分別由輸入電壓和輸出電壓進(jìn)行控制,也就是額外增加了1條直接由輸入端口到輸出端口的功率流通路徑。

如圖7所示,通過對(duì)比詳細(xì)開關(guān)電路和采樣等效電路模型的仿真波形,可以驗(yàn)證所建立模型的合理性??梢杂^察到,在啟動(dòng)的過程中,所建立模型的電壓電流波形在采樣點(diǎn)處都能良好地近似實(shí)際系統(tǒng)的電壓電流波形。需要指出的是,不同于傳統(tǒng)平均模型反映的是實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的滑動(dòng)平均值,本文所述模型是對(duì)實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在采樣點(diǎn)處的近似,這一點(diǎn)在電流波形中尤其明顯。對(duì)于采用TEM的同步Boost變換器而言,采樣點(diǎn)處的電感電流正是其電感電流的谷值,因此圖6中所示等效電路的電流波形正是實(shí)際變換器電流波形的下包絡(luò)線。同時(shí),上述結(jié)果也進(jìn)一步證明,本文所提等效性約束既是判別簡化模型精確性的必要條件,也是充分條件。

3.2 采用LEM時(shí)同步Boost變換器等效電路建模

對(duì)于采用LEM時(shí),其模型建立和上述推導(dǎo)過程類似。首先,根據(jù)式(2)~式(4)可以建立系統(tǒng)精確的采樣數(shù)據(jù)模型,在此情況下,GLEM(d)和 HLEM(d)可以表示為

經(jīng)過校驗(yàn)可知,取 Aeq,LEM=Aeq,cov=dA1+(1-d)A2可以滿足式(6)中的等效性約束,同時(shí)可以計(jì)算得到Beq,LEM為

則根據(jù)Aeq,LEM和Beq,LEM可以構(gòu)造此種情況下的采樣等效電路模型,如圖8所示。

類似地,可以通過對(duì)比等效電路和實(shí)際系統(tǒng)的仿真波形來驗(yàn)證模型的有效性。如圖9所示,對(duì)于采用LEM的同步Boost變換器而言,采樣點(diǎn)處的電感電流正是其電感電流的峰值。

通過對(duì)比2種情況下的等效模型可知,Beq,LEM和Beq,TEM的第2行元素大小相等,符號(hào)相反。如果考察局部特性,d2[k]-d[k]的導(dǎo)數(shù)為2d[k]-1,d[k]-d2[k]的導(dǎo)數(shù)為1-2d[k]。雖然在小信號(hào)意義下,當(dāng)d[k]>0.5 時(shí),可以得出 2d[k]-1>1-2d[k]的結(jié)論,但是在全局范圍內(nèi)而言,卻始終有d2[k]-d[k]<d[k]-d2[k]成立。這也就是在前文中所提到的基于SSA的小信號(hào)模型對(duì)2種情況穩(wěn)定性的預(yù)測結(jié)果和仿真結(jié)果不一致的原因。而從等效電路中,可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于TEM,由于d[k]-d2[k]在d∈[0,1]的范圍內(nèi)始終大于0,所以額外的2個(gè)耦合受控源提供了一條直接由輸入端口到輸出端口的功率路徑,支撐了負(fù)載電壓,因此在發(fā)生負(fù)載擾動(dòng)時(shí),其輸出端口的電壓更容易穩(wěn)定。而對(duì)于采用LEM的情況,于d2[k]-d[k]在d∈[0,1]的范圍內(nèi)始終小于0,額外的功率流通路徑形成了從輸出端口到輸入端口的功率回流,等效地增大了負(fù)載,使得整個(gè)系統(tǒng)中阻尼減弱,從而在發(fā)生負(fù)載擾動(dòng)時(shí),輸出電壓更難穩(wěn)定。

4 結(jié)語

本文通過深入分析在不同調(diào)制方式下變換器的采樣數(shù)據(jù)模型,提出了近似刻畫變換器采樣點(diǎn)狀態(tài)軌跡的采樣等效電路建模方法,同時(shí)提出了模型等效性判別準(zhǔn)則以刻畫模型精確程度?;谠摐?zhǔn)則,指出了引起平均開關(guān)電路模型建模誤差的根源。通過建立數(shù)字控制同步Boost變換器在不同調(diào)制方式下的采樣等效電路模型,并分析模型特性,成功解釋了不同調(diào)制器帶來不同穩(wěn)定性的原因,理論結(jié)果與仿真結(jié)果十分吻合。

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