孫莉娜

(江蘇省揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院統(tǒng)計1801班，225002)

如同江蘇高考填空題2010年第13題、2016年第14題,與三角函數(shù)有關(guān)的最值綜合問題是近年來數(shù)學(xué)高考考查的難點和熱點.解決此類問題能綜合考查學(xué)生運用三角恒等變形、正余弦定理、基本不等式等知識解決最值問題的能力,綜合性較高.此類問題備受師生關(guān)注,在各地模擬試題中也是層出不窮,屬于學(xué)生感覺比較頭疼的問題.本文以2019年一道模擬題為例,淺談三角函數(shù)最值綜合問題的求解策略,供大家參考.

一、求解策略及解法分析

解決此類問題,主要策略是將所求的量轉(zhuǎn)化為關(guān)于單一變量的函數(shù)或雙變量的表達式,最終用不等式等方法求最值.

策略1利用三角恒等變換進行消元

解法1由sin2B=2sin2C-2sin2A=(1-cos 2C)-(1-cos 2A)=cos 2A-cos 2C=cos[(A+C)+(A-C)]-cos[(A+C)-(A

-C)]=-2sin(A+C)sin(A-C)=-2sinBsin(A-C),故sinB=-2sin(A-C),即sin(A+C)=-2sin(A-C),展開整理得cosAsinC=3sinAcosC,可得tanC=3tanA.

策略2利用角化邊進行消元

解法2由條件和正弦定理,可得2a2+b2=2c2.

策略3利用三角函數(shù)定義及基本幾何圖形進行消元

解法3如圖1,設(shè)AC邊上的高BD=h,AD=x,CD=y.由條件和正弦定理,得2a2+b2=2c2,所以2(h2+y2)+(x+y)2=2(x2+h2),即x2-2xy-3y2=0,可得x=3y.

評注本解法關(guān)鍵是利用直角三角形中銳角函數(shù)的定義,通過構(gòu)造直角三角形和利用約束條件,將正切函數(shù)解析式表示為關(guān)于h、y的二元表達式,再運用基本不等式使問題獲解.

二、拓展變式

解(三角恒等變換法)

解(基本幾何圖形法)

如圖2,作CD⊥AB于點D.設(shè)CD=h,AD=x,BD=y,則

①

2S=(x+y)h.

②

解(基本幾何圖形法)