郭婷婷

(山西大學商務學院，山西 太原 030031)

0 引 言

非線性偏微分方程可以解釋物理學科領域中的許多非線性波動現(xiàn)象，為了更深入地探索非線性科學領域，對這類方程進行求解顯得尤為關鍵. 針對可積的非線性微分方程[1]，Hirota曾引入Hirota算子[2]，給出一種直接化的求解方法，通過做適當?shù)膽兞孔儞Q，將方程雙線性化，為非線性方程求解提供了便利條件. 對于雙線性型的微分方程，可以結(jié)合Pfaffian技巧和擾動展開法，構(gòu)造方程的N-波精確解[3]、 Wronskian行列式解[4]、 Grammian解、 Pfaffian解、 黎曼theta函數(shù)周期波解[5]，也可以探尋方程的Lax對，雙線性B?cklund變換，無窮守恒律[6]、 Darboux變換等.

線性疊加原理[7]是求解非線性偏微分方程的有效工具，本文涉足高維孤子方程領域，針對一個(3+1)維非線性發(fā)展方程[8]，通過引入位勢函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙線性型，構(gòu)造指數(shù)孤波中合適的M-波變元，確定該方程的鐘型孤波、 扭狀孤波、M-波共振孤子解和complexiton解.

1 雙線性方程與指數(shù)波解

一般地，雙線性Dυ算子記為

(1)

式中：υ是一個給定的大于1的自然數(shù)

βp=(-1)r(p), 0≤p=r(p)<υ,p≥0, modυ,

(2)

特別地，當υ=1時，Dυ算子指的是一般的導數(shù). 當υ為偶數(shù)時，Dυ算子則為經(jīng)典的Hirota雙線性算子[9]. 類似地，如果因變量為y1,y2,…,yK時，雙線性Dυ算子則記為

(Dm1υ,y1,Dm2υ,y2,…,DmKυ,yKG·F)(y1,y2,…,yK)=(?y1+β?y′1)m1(?y2+β?y′2)m2…(?yK+β?y′K)mKG(y1,y2,…,yK)·F(y′1,y′2,…,y′K)|y1=y′1,y2=y′2,…,yK=y′K,

(3)

式中：m1,m2,…,mK均為正整數(shù).

下面考慮υ=2時的情形，對于雙線性微分方程

R(D2,y1,D2,y2,…,D2,yK)(G·G)=0,

(4)

式中：R是一個含有K個變量的多項式，滿足R(0,0,…,0)G·G=0. 引入M-波變元集

ξj=ψj,1y1+ψj,2y2+…+ψj,KyK,j=1,2,

(5)

式中：ψj,q(1≤q≤k)是常數(shù)，構(gòu)造指數(shù)波函數(shù)Gj=eξj，于是

D2,yqeξ1,eξ2=(ψ1,q-ψ2,q)eξ1+ξ2,q=1,2,…,K,

(6)

R(D2,y1,D2,y2,…,D2,yK)eξ1,eξ2=

R(ψ1,1-ψ2,1,ψ1,2-ψ2,2,…,ψ1,K-ψ2,K)eξ1+ξ2.

(7)

一般地，對于指數(shù)波函數(shù)有以下雙線性恒等式成立，

R(Dυ,y1,Dυ,y2,…,Dυ,yK)eξl,eξj=

R(ψl,1+βψj,1,ψl,2+βψj,2,…,ψl,K+βψj,K)eξl+ξj,

1≤i,j≤M,

(8)

式中： 參數(shù)β滿足式(2).

2 孤子的線性疊加

構(gòu)造雙線性方程(4)的指數(shù)波解Gj=eξj，其中M-波變元集為

(9)

由雙線性算子的性質(zhì)(8)得

R[a1(pτ1j-pτ1l),a2(pτ2j-pτ2l),…,aK(pτKj-pτKl)]eξl+ξj}.

(10)

式(10)表明，如果要使?jié)M足式(9)的指數(shù)孤波線性組合之后仍是雙線性型方程(4)的解，即式(10)右端為零，當且僅當1≤l≤j≤M時，有

R[a1(pτ1l-pτ1j),a2(pτ2l-pτ2j),…,aK(pτKl-pτKj)]+

R[a1(pτ1j-pτ1l),a2(pτ2j-pτ2l),…,aK(pτKj-pτKl)]=0

(11)

成立. 于是有以下解的線性疊加原理.

進一步可以將M-波變量(9)中的pj取為復數(shù)，由于雙線性方程(4)中參與雙線性多項式運算的只有式(9)中每項的系數(shù)，故M-波變元中，當pj∈C時，指數(shù)波解的線性組合仍是方程(4)的解，當且僅當plpj∈C時式(11)成立.

如果孤子和M-波變元滿足

1≤j≤M,

(12)

(13)

因而G′j=eRe(ξj)cos(Im(ξj)+wj)也是雙線性方程(4)的一個實值解，當1≤l≤j≤M且僅當時式(11)成立，于是有以下推廣后的線性疊加原理成立.

(14)

如果對于任意的pj,pl都有式(11)成立，那么指數(shù)孤波Gj=eξj+iwj的任意實線性組合都是雙線性方程(4)的解，這里

Gj=

(15)

式中： 參數(shù)wj, (M1+1≤j≤m)是任意的實常數(shù).

解的線性疊加原理給出了一種求非線性孤子方程精確解的方法，通過將非線性方程雙線性化，并尋找指數(shù)孤波解，將其線性組合起來構(gòu)造方程的新解，只需轉(zhuǎn)化為對一族代數(shù)方程(11)進行求解.

3 一個非線性偏微分方程的共振孤子解

考慮(3+1)維非線性方程

h4x+6(hhx)x+3hyy+htx+3hzz=0,

(16)

引入位勢r，并作變換h(x,y,z,t)=r(x,y,z,t)x, 方程(16)可以變形為

r5x+6(rxr2x)x+3ryyx+rtxx+3rzzx=0,

(17)

通過作應變量變換h=2(lnG)xx或r=2(lnG)x, 并運用υ=0時的Hirota雙線性算子，(3+1)維方程(16)將化為雙線性型

(D4x+3D2y+DxDt+3D2z)G·G=0.

(18)

下面按照指數(shù)波型解的構(gòu)成，取M-波變元集

ξj=djx+gjy+fjz+ejt, 1≤j≤M,

(19)

式中：dj,gj,fj,ej為待定的參數(shù)，依據(jù)定理1，把式(19)代入孤波的線性疊加式(11)和雙線性方程式(18)，得

R(dl-dj,gl-gj,fl-fj,el-ej)=

(dl-dj)[(dl-dj)3+(el-ej)]+

3[(gl-gj)2+(fl-fj)2]=0.

(20)

將孤波的頻率和數(shù)目參數(shù)化，經(jīng)過代數(shù)運算可得

{dj=dj,ej=-4d3j,gj=ad2j,fj=

(21)

式中：a為常數(shù)，于是雙線性方程(18)指數(shù)波的線性組合解為

(22)

為分析該方程解的結(jié)構(gòu)，不失一般性，取M=2,d2=0,λ1=λ2=1，可以得到非線性方程(16)的特解

(23)

(24)

其中解(23)是扭型傳播的孤波，式(23)是鐘狀孤波解.

下面應用定理 2，通過線性組合指數(shù)型孤波來構(gòu)造解的子空間，以及方程(18)的多重共振波解. 假設M1,M2∈M且M2=M, 含有參數(shù)dj, 1≤j≤M1的M-波變元為ξj=djx+d2j(ay+bz)-4d3jt，而當M1+1≤j≤M時，將dj取為uj+ivj，于是

ξj=(uj+ivj)x+a(uj+ivj)2y+

b(uj+ivj)2z-4(uj+ivj)3t=ujx+

a(u2j-v2j)y+b(u2j-v2j)z-4(u3j-3ujv2j)t+

i[vjx+axujvjy+2bujvjz-4(3u2jvj-v3j)t],

(25)

式中：a2+b2=1. 根據(jù)定理 2 中解的構(gòu)成，將指數(shù)和三角型孤波線性組合起來構(gòu)造方程(16)的新解

bz)-4(3u2jvj-v3j)t+wj]r(x,y,z,t)=

2(lnG)x,h(x,y,z,t)=2(lnG)xx,a2+b2=1.

(26)

2ujvj(ay+bz)-4(3u2jvj-v3jt)],

r(x,y,z,t)=2(lnG)x,h(x,y,z,t)=2(lnG)xx,a2+b2=1,

(27)

2ujvj(ay+bz)-4(3u2jvj-v3j)t],

r(x,y,z,t)=2(lnG)x,h(x,y,z,t)=2(lnG)xx,

a2+b2=1,

(28)

其中

eujx+(u2j-v2j)(ay+bz)-4(u3j-3ujv2j)tsin[vjx+2ujvj(ay+

bz)-4(3u2jvj-v3j)t],

eujx+(u2j-v2j)(ay+bz)-4(u3j-3ujv2j)tcos[vjx+2ujvj(ay+

bz)-4(3u2jvj-v3j)t]

是解的向量子空間中的兩個特解，在它們張成的子空間中，結(jié)合孤子解(27)和(28)，可以得到雙線性方程(16)的complexiton解

2ujvj(ay+bz)-4(3u2jvj-v3jt)]+

λ2,jsin(vjx+2ujvj(ay+bz)-4(3u2jvj-v3j)t)},

r(x,y,z,t)=2(lnG)x,h(x,y,z,t)=2(lnG)xx,

a2+b2=1,

(29)

式中：λj,λ1,j,λ2,j為常數(shù).

綜上，孤子方程(16)的共振孤子解和complexiton解都是M-波解，它們表示孤波會隨著時間的推移而發(fā)生共振，在它們相遇的區(qū)域內(nèi)孤波會發(fā)生合并，其波幅比原先波幅之和更大，隨著孤子數(shù)量的增多，波之間的相互作用會呈現(xiàn)出更復雜的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu).