田德明，王艷紅，武京治

(中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

光譜儀已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于生物傳感、 材料分析和光源特性分析等各個(gè)領(lǐng)域[1]. 現(xiàn)有的光譜儀大多采用光柵、 棱鏡或者利用光的干涉來分散光波，光譜分辨率與光路的長度成比例. 因此，光譜儀想要滿足分辨率和體積的需求只能在這兩者之間進(jìn)行權(quán)衡. 高分辨率的光譜儀由于其體積大，價(jià)格高昂，因此儀器設(shè)備只能出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)室中[2]. 同時(shí)，傳統(tǒng)光譜儀是基于一維的光譜到空間映射，但是近幾年耶魯大學(xué)應(yīng)用物理系的Brandon Redding等人通過對(duì)無序光子晶體、 隨機(jī)散射介質(zhì)和布拉格光纖陣列等器件的研究發(fā)現(xiàn)，可以使用二維的光譜到空間來得到光譜. 雖然這種方法比傳統(tǒng)的光柵或棱鏡更為復(fù)雜，但它為選擇色散元件提供了更大的靈活性. 由于光纖傳輸?shù)木嚯x長、 損耗小并且多模光纖中不同傳輸模式之間的干涉使其成為一種理想色散元件. 實(shí)現(xiàn)這種二維映射利用的是光在多模光纖中發(fā)生干涉后在末端產(chǎn)生的散斑圖，過去研究人員通過散斑圖對(duì)比度來測量激光的線寬，與之前的使用統(tǒng)計(jì)特性不同，本文提出了通過記錄不同波長的整個(gè)散斑圖中包含的空間強(qiáng)度信息來恢復(fù)未知光譜. 此外，與傳統(tǒng)光譜儀相比，可以克服儀器體積與分辨率之間取舍的問題，光纖可以卷成一個(gè)小體積. 同時(shí)，光纖光譜儀成本極低，是商業(yè)光譜儀的幾十到幾百分之一，卻能夠提供與最先進(jìn)的光柵光譜儀競爭的光譜分辨率.

1 光譜儀的原理與結(jié)構(gòu)

1.1 散斑圖的形成原理

大芯經(jīng)光纖可以支持?jǐn)?shù)千種空間模式. 散斑圖案正是由于光在傳輸過程中這些模式之間的干涉產(chǎn)生的. 多模光纖的各個(gè)參數(shù)都會(huì)影響散斑圖的空間光強(qiáng)分布，進(jìn)而影響光譜儀的性能，例如，光纖長度L、 芯徑W、 數(shù)值孔徑NA. 由一束單色輸入多模光纖中，光纖末端的場分布為可以表示為式(1)[3].

E(r,θ,λ)=

(1)

式中：E為電場分布;r,θ,λ為坐標(biāo)變量和入射光的波長;Am和φm為第m個(gè)導(dǎo)波模的幅值和初始相位；ψm為模場的空間分布函數(shù)；βm為入射波長λ的函數(shù)，表示傳播常數(shù). 假設(shè)多模光纖中的所有模式都被激發(fā)，同時(shí)初始相位均不相干，隨機(jī)分布在0～2π上. 波長為λ1，λ2的光源在經(jīng)過多模光纖后，在光纖末端產(chǎn)生了不同的光場E1和E2，在幅值一定的情況下，散斑圖的場分布只與波長相關(guān)，因而散斑圖樣的光強(qiáng)分布差異可以用來識(shí)別波長. 采集得到的散斑圖如圖1 所示.

圖1 1 500 nm光波形成的散斑圖Fig.1 Speckle pattern formed by 1 500 nm light wave

1.2 多模光纖光譜儀實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2 所示，包括C+L波段可調(diào)諧激光器(EMCORE TTX1994 ITLA)、 保偏單模光纖、 多模光纖和InGaAs焦平面紅外相機(jī)，多模光纖為光譜儀的色散元件，多模光纖末端產(chǎn)生的散斑圖的光強(qiáng)分布取決于輸入光的波長和偏振態(tài)[4]. 為了消除偏振對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，實(shí)驗(yàn)中在多模光纖之前加入了光纖起偏器，使得不同波長的光具有相同的偏振態(tài). 輸入光在多模光纖中激發(fā)大量的傳輸模式，不同的模式之間干涉產(chǎn)生不同的散斑圖樣，散斑圖與波長是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此提供了輸入波長的獨(dú)特的識(shí)別信息，這種識(shí)別信息就如同傳統(tǒng)光譜儀中的“光譜-空間”映射. 所用的單模光纖和多模光纖的參數(shù)如表1 所示.

圖2 實(shí)驗(yàn)總體設(shè)計(jì)Fig.2 Overall design of the experiment

表1 光纖參數(shù)

(2)

式(2)為干涉散斑圖的相關(guān)函數(shù)[5]，其表征了在某一給定散斑位置兩個(gè)不同波長的光譜的相關(guān)程度. 其中I(λ,x)表示λ波長的光源在光斑x處的光強(qiáng)，然后對(duì)不同的λ取平均. 圖3 為光譜相關(guān)度與波長變化關(guān)系圖.C(0)/2對(duì)應(yīng)的波長變化值的2倍為光譜儀的最小分辨率，可得，1 m長的光纖光譜儀分辨率為0.108 nm.

圖3 1 500 nm附近光譜相關(guān)度隨波長變化關(guān)系圖Fig.3 Spectral correlation and wavelength at 1 500 nm

1.3 偏移熔接對(duì)光譜儀的改進(jìn)

將單模光纖與多模光纖利用FC/APC法蘭連接時(shí)，多模光纖內(nèi)激發(fā)的傳輸模式為圓對(duì)稱高階本征模，只包含了LP0M模式，數(shù)量很少. 此時(shí)形成的散斑圖相關(guān)程度高，不利于提高光譜儀的分辨率. 為了降低散斑圖的相關(guān)度，在實(shí)驗(yàn)中將單模光纖與多模光纖連接時(shí)采用偏芯烙接，偏芯熔接結(jié)構(gòu)的兩根光纖，由于纖芯失配使得光纖內(nèi)傳輸?shù)母鱾€(gè)模式在烙點(diǎn)處出現(xiàn)不可預(yù)測的隨機(jī)性變化，激發(fā)出大量LPNM模式，這樣散斑圖的對(duì)稱性遭到破壞，隨機(jī)性增強(qiáng)，光斑顆粒尺寸減小，因而攜帶了更多的信息.

實(shí)驗(yàn)得出： 隨著偏移量的增加，系統(tǒng)的譜寬基本上成線性減小. 在無噪聲情況下，偏移達(dá)到12 m時(shí)，分辨率最好.

2 光譜恢復(fù)算法

2.1 光譜的重建

I=T·S,

(3)

式中：I表示散斑圖中采樣點(diǎn)的光強(qiáng)；S表示光譜強(qiáng)度； 傳遞矩陣T儲(chǔ)存著每個(gè)標(biāo)定波長對(duì)應(yīng)散斑圖的光強(qiáng)的分布信息. 實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵之處在于對(duì)光譜儀的傳遞矩陣T的標(biāo)定. 本文中，將光譜通道從λ=1 499.0 nm 至λ=1 501.5 nm每隔 0.05 nm 進(jìn)行一次標(biāo)定，共選取M=51個(gè)光譜通道. 采用散斑圖上1 296個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，為了求得傳輸矩陣T的逆矩陣，引入奇異值分解，表示為

T=VDUT,

(4)

D中對(duì)角元素Dii=di為正實(shí)數(shù)，稱為傳輸矩陣的奇異值. 傳輸矩陣的逆為:T-1=VD′UT. 在校準(zhǔn)和光譜恢復(fù)的實(shí)驗(yàn)中多模光纖的機(jī)械不穩(wěn)定度和光學(xué)平臺(tái)的波動(dòng)使得散斑圖中存在噪聲信息，這些值在對(duì)對(duì)角矩陣D進(jìn)行倒數(shù)運(yùn)算之后得到了放大，為了消除這種影響，采用截?cái)喾囱莸乃惴▽?duì)偽逆矩陣進(jìn)行優(yōu)化. 其思想是，設(shè)置一個(gè)截?cái)嘀担仃嘍中小于截?cái)嘀档脑鼐昧? 于是由截?cái)喾囱莘椒ǖ玫絺鬏斁仃嚨哪鏋門-1tru=VD′truUT. 截?cái)嗯R界值為矩陣D中元素最大值的百分系數(shù).

圖4 為光譜的恢復(fù)誤差與選取不同截?cái)嘀档年P(guān)系圖，截?cái)嘀档淖顑?yōu)值為0.011 068.

圖4 不同的截?cái)嘀蹬c光譜恢復(fù)誤差的關(guān)系Fig.4 Optical systems with different truncation values and spectral recovery errors

2.2 譜的優(yōu)化

為了進(jìn)一步提高光譜準(zhǔn)確性，采用非線性的優(yōu)化算法對(duì)光譜進(jìn)行優(yōu)化. 遺傳算法( GA) 是一種隨機(jī)全局搜索求最優(yōu)值的方法，模仿了生物進(jìn)化方式，其搜索范圍廣,但不易收斂到最優(yōu)解的精確值. 模擬退火算法[7]模仿了熱力學(xué)中，物體逐漸降溫到粒子狀態(tài)最為穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，以求得最優(yōu)解. 遺傳算法加快了算法收斂精度及收斂速度，但增加了陷入局部最優(yōu)的危險(xiǎn)性; 模擬退火算法可以擺脫局部最優(yōu)但收斂速度慢，容易產(chǎn)生震蕩效果. 因此，本文結(jié)合兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，提出一種改進(jìn)的遺傳模擬退火算法.

遺傳模擬退火算法以遺傳算法為框架，在執(zhí)行遺傳操作的過程中加入退火操作. 首先對(duì)恢復(fù)的光譜進(jìn)行變異操作產(chǎn)生新的解，然后對(duì)每個(gè)新的解執(zhí)行退火操作，得到新一代“種群”. 如此循環(huán)，直到滿足算法結(jié)束條件．

這里，將E=‖I-TS‖2看作能量函數(shù). 優(yōu)化會(huì)經(jīng)過幾百上千次的迭代，在每一次的優(yōu)化過程中，使光譜S中的一個(gè)元素隨機(jī)改變，于是得到一個(gè)新的光譜S′，此時(shí)計(jì)算能量變化 ΔE=‖I-TS′‖2-‖I-TS‖2, exp[-ΔE/T0]為能量E變大的概率，范數(shù)為歐幾里德范數(shù)，T0為初溫. 隨著迭代次數(shù)的增加，溫度逐漸降低，能量增加的概率越來越小，當(dāng)溫度低于一定數(shù)值時(shí)優(yōu)化結(jié)束. 為了對(duì)恢復(fù)光譜質(zhì)量進(jìn)行量化分析，定義光譜的恢復(fù)誤差為式(5)[8].

(5)

式中：Sreconstructed為光纖光譜儀重建得到的光譜；Sin為光譜的真實(shí)值.

最終得到的恢復(fù)光譜如圖5 所示，通過對(duì)比可以看到，直接使用矩陣的逆運(yùn)算得到的光譜有一定的誤差，并且存在噪聲信號(hào)，通過截?cái)喾囱莘椒軌蚝芎玫馗纳苹謴?fù)光譜的質(zhì)量. 最終，由遺傳-模擬退火算法得到的光譜圖與真實(shí)值非常接近，誤差僅為0.007.

圖5 直接恢復(fù)和優(yōu)化后的光譜圖Fig.5 Direct recovery and optimization of the spectra

3 光譜儀分辨率和帶寬的分析

3.1 光譜重建的驗(yàn)證

由上文得到了長度L=1 m 的多模光纖光譜儀的分辨率為0.109 nm，本文驗(yàn)證1 500.2和1 500.4兩個(gè)波長光源的重建光譜如圖6(a)所示，兩條譜線可以很好地分辨出來，而如圖6(b)所示，當(dāng)待測光譜的間隔為0.05 nm小于光纖光譜儀的分辨率之后，待測光譜無法被矩陣的逆運(yùn)算識(shí)別出來. 為了進(jìn)一步驗(yàn)證光譜儀對(duì)任一光譜的重建，展示標(biāo)定矩陣的波長不包含待測波長的情況，其結(jié)果為圖6(c)中的重建光譜，虛線為光譜的真實(shí)值，實(shí)線為測得的光譜，光譜被清晰地分辨出來.

圖6 恢復(fù)光譜圖Fig.6 Recovery spectra

在所有引導(dǎo)模式都被激發(fā)的前提下，光譜帶寬為Δλ=B*δλ，其中B是光纖支持的引導(dǎo)模式數(shù)，δλ是散斑模式的光譜相關(guān)寬度[9]. 而引導(dǎo)模式總數(shù)B=π2(NA)2W2/2λ2，對(duì)于給定的纖芯直徑和數(shù)值孔徑，是固定的，但隨著光纖長度的變化是變化的. 較長的光纖能提供更好的光譜分辨率，但帶寬更窄. 與傳統(tǒng)光譜儀不同的是，單次測量中的光譜覆蓋不需要是連續(xù)的. 如果已知被測光譜在某些光譜區(qū)間內(nèi)沒有分量，則可以將這些區(qū)域排除在頻譜重建之外，因此有限數(shù)量的光譜通道可能獲得更寬的光譜范圍.

3.2 更高分辨率的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證光纖光譜儀具有更高的分辨率，在保證帶寬的同時(shí)本文選取了長度L=10 m的多模光纖，圖7 為其光譜相關(guān)曲線，該規(guī)格的光纖光譜儀的分辨率為10 pm. 為了驗(yàn)證結(jié)果是否準(zhǔn)確，這里使用截?cái)喾囱葜蟮哪婢仃囘M(jìn)行光譜的恢復(fù)，之后使用優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化.

圖7 展示了用該光譜儀獲取的光譜圖像. 所選取的待測光譜波長為 1 501.001 0 和 1 501.002 5 nm，兩條譜線的波長差為15 pm，光纖光譜儀能準(zhǔn)確地將這兩條譜線分辨出來，可見其具有相當(dāng)高的光譜分辨率.

4 結(jié) 論

本文研究表明，多模光纖可以用作高分辨率的通用光譜儀. 多模光纖中引導(dǎo)模式之間的干涉產(chǎn)生的散斑圖案提供了“光譜-空間”的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 與傳統(tǒng)的光柵光譜儀相比，在光譜分辨率方面可以提供更好的性能. 多模光纖光譜儀可以通過改變校準(zhǔn)的光譜范圍來實(shí)現(xiàn)與傳統(tǒng)光譜儀旋轉(zhuǎn)光柵類似的作用. 當(dāng)然，光纖光譜儀也有局限性,它需要一個(gè)校準(zhǔn)步驟，校準(zhǔn)后光纖的彎曲程度不能改變. 此外，輸入信號(hào)的空間分布和偏振必須與校準(zhǔn)中使用的相同. 但是，正如本文所展示的，光纖光譜儀利用重建算法可以快速準(zhǔn)確地恢復(fù)未知光譜，并且尺寸和成本大大降低，可以使一系列新的光譜應(yīng)用成為可能.