張迪，查東東，劉華勇

（安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽合肥230601）

在計算機(jī)輔助幾何設(shè)計中（computer aided geometric design，簡稱CAGD），針對自由曲線曲面的研究一直受到研究者的廣泛關(guān)注。通常利用基函數(shù)與控制頂點(diǎn)的線性組合來構(gòu)造曲線，如果給定控制頂點(diǎn)，那么相應(yīng)的曲線就隨之被確定。若要改變曲線曲面的形狀，必須調(diào)整其控制頂點(diǎn)，此過程較為煩瑣復(fù)雜，在實(shí)際工程中并不可取?；诖?，研究者通過在曲線中引入權(quán)因子，提出了有理形式的曲線曲面，這類曲線曲面在不改變其控制頂點(diǎn)的情況下可通過改變權(quán)因子來修改曲線的形狀。較著名的方法有非均勻有理B 樣條（NURBS）以及有理Bézier方法等[1]。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，NURBS 方法已趨于成熟，逐漸成為曲線曲面造型中較為流行、實(shí)用的技術(shù)。但由于其描述方法和計算復(fù)雜，如權(quán)因子選取不便，參數(shù)化、曲面連續(xù)性、求導(dǎo)次數(shù)增加等問題，使得NURBS 方法在工程曲線曲面中的應(yīng)用優(yōu)勢難以充分發(fā)揮，影響其實(shí)用性[2]。

隨著幾何造型工業(yè)的發(fā)展，曲線造型對曲線的靈活性、形狀可調(diào)性、逼近性和描述能力提出了更高的要求。為了更加靈活地調(diào)控曲線曲面的形狀，通過引入形狀參數(shù)對現(xiàn)有方法進(jìn)行擴(kuò)展，可以得到形狀可調(diào)的曲線曲面。拓展后的曲線曲面不僅可以繼承原曲線曲面的優(yōu)良性質(zhì)，利用形狀參數(shù)還可以有效改變曲線的形狀或位置，增加曲線的靈活性、形狀可調(diào)性、逼近性和描述能力等。此方法較為直觀，且計算復(fù)雜度大幅降低，求導(dǎo)較NURBS 方法方便，不會遇到權(quán)因子選取等難題。

2003 年，韓旭里等[3]通過提升B 樣條基函數(shù)次數(shù)的方法，提出了帶有一個形狀參數(shù)的三次均勻B樣條曲線。2006 年，吳曉勤[4]利用De Casteljau 遞歸法為Bézier 曲線引入了形狀參數(shù)。同年，吳曉勤等[5]針對四次Bézier 曲線擴(kuò)展了2 種不同的類型。2007年，基于不同的調(diào)配函數(shù)，徐崗等[6]得到了2 種帶局部形狀參數(shù)的分段多項(xiàng)式曲線的定義。2011 年，劉華勇等[7]定義了一種新的帶形狀參數(shù)的四次Ball 基函數(shù)，將傳統(tǒng)四次Ball 曲線進(jìn)行了推廣。近年來，因幾何造型發(fā)展的需要，陸續(xù)在多項(xiàng)式空間中構(gòu)造出一些新型曲線，或者將幾種不同的構(gòu)造方法進(jìn)行組合，得到的結(jié)果同樣可喜。

本文著重介紹一種新型參數(shù)曲線，即DP 曲線。DP 曲線相關(guān)理論由DELGADO 等[8-9]提出。實(shí)踐證明，這種新型DP 曲線具有很好的端點(diǎn)插值性、穩(wěn)定性、曲線保形性、線性計算復(fù)雜度等優(yōu)良性質(zhì)。但是DP 曲線與傳統(tǒng)的Bézier 曲線類似，在給定控制頂點(diǎn)時缺乏形狀可調(diào)性。為克服此缺陷，2011 年，陳杰等[10]將形狀參數(shù)引入DP 曲線并討論其相關(guān)性質(zhì)。2012 年，陳福來等[11-12]定義了一組新的含參基函數(shù)，構(gòu)造并分析了一類廣義三次DP 曲線的定義、性質(zhì)及其形狀特點(diǎn)。2018 年，彭興璇等[13]利用在端點(diǎn)切向量處引入調(diào)節(jié)參數(shù)的方法，最終得到一組帶有張力參數(shù)α 和偏移參數(shù)β 的基函數(shù)，構(gòu)造了一類帶形狀參數(shù)的三次DP 曲線。然而文獻(xiàn)[3-7,11-13]均是針對特定次數(shù)的曲線所做的拓展。文獻(xiàn)[8-9]中，DP曲線的形狀由給定控制點(diǎn)確定，缺乏形狀調(diào)節(jié)或修改的功能。陳杰等[10]也僅僅給出了DP-NTP 曲線的定義，并沒有論證DP-NTP 曲線的光滑拼接條件。

針對DP 曲線缺乏形狀可調(diào)性這一缺陷，本文構(gòu)造了一種帶形狀參數(shù)的三次DP 基并利用新基構(gòu)造含參曲線，增加了DP 曲線的靈活性。主要思想：將三次DP 基函數(shù)的定義區(qū)間由[0,1]推廣為[0,α]，根據(jù)三次DP 基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)，重新參數(shù)化[14]后提出了一種帶形狀參數(shù)的三次DP 曲線。在形狀參數(shù)取特定值時，新三次DP 基函數(shù)可以退化為DELGADO 等 提 出 的 三 次DP 基[8-9]。形 狀 參 數(shù)α 為三次DP 曲線提供了獨(dú)立于其控制頂點(diǎn)外的自由度，使新三次DP 基函數(shù)在繼承了一般三次DP 基優(yōu)良性質(zhì)的同時（如端點(diǎn)性質(zhì)、凸包性、仿射不變性、變差縮減性等），仍具有形狀修改的功能。另外，根據(jù)這種方法可以在任意次DP 基函數(shù)中引入形狀參數(shù)。

1 三次α-DP 基的構(gòu)造及其性質(zhì)

1.1 三次α-DP 基的構(gòu)造及定義

首先由三次DP 基函數(shù)(0≤t ≤1)：

得到其端點(diǎn)性質(zhì)：

將式(1)中變量t 的定義區(qū)間由[0,1]拓展為[0,α](0＜α≤1)，可構(gòu)造出一種帶有形狀參數(shù)α 的三次DP基函數(shù)，具體構(gòu)造過程如下：

為了構(gòu)造新三次DP 基，設(shè)

其中，0≤t≤1，0＜α≤1，且A 為一個待定的4 階方陣。由上式可得

為了使得新三次DP 基函數(shù)在端點(diǎn)處的性質(zhì)與三次DP 基相同，有

將式(2)記為B=CA。計算可得

故

令t=αu(0≤u≤1，0＜α≤1)，對式(3)重新參數(shù)化，整理后有

定義1對于0≤u≤1，0＜α≤1，關(guān)于變量u 的函數(shù)：

稱為帶有形狀參數(shù)α 的三次DP 基函數(shù)，簡稱為三次α-DP 基。

圖1 給出了形狀參數(shù)α 分別取不同值時的基函數(shù)圖形。(a)～(d)分別為固定α=0.5，0.6，0.8，1 時的基函數(shù)圖形。改變α 值時，4 條基函數(shù)的形狀均受影響，可以整體修改曲線的形狀。

圖1 參數(shù)取不同值時的三次DP 基函數(shù)Fig.1 The cubic α-DP basic curves with different parameters

1.2 三次α-DP 基函數(shù)的性質(zhì)及證明

（ii）非負(fù)性：Ci,3(u)≥0(i=0,1,2,3)。

（iii） 對 稱 性 ：Ci,3(u)=C3-i,3(1-u)(i=0,1,2,3)。

（iv）單調(diào)性：固定變量u(0≤u≤1)，對α 求導(dǎo),可得C0,3(u)與C3,3(u)是關(guān)于參數(shù)α 的遞減函數(shù)；C1,3(u)與C2,3(u)是關(guān)于參數(shù)α 的遞增函數(shù)。

（v）端點(diǎn)性質(zhì)：

（vi）單峰性：Ci,3(u)(i=0,1,2,3)在區(qū)間[0,1]上僅有一個最大值。

（vii）退化性：顯然，將α=1 代入式(1)時，三次α-DP 基退化為文獻(xiàn)[8-9]中的三次DP 基函數(shù)。因此，三次α-DP 基是對三次DP 基函數(shù)的一種含參擴(kuò)展。

下面對三次α-DP 基函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明。

證明(i)由式(4)可得

即Ci,3(u) ≥0(i=0,1,2,3)。

(iii)由式(4)可得

即Ci,3(u)=C3-i,3(1-u)(i=0,1,2,3)。

(iv)固定變量u(0≤u≤1)，對α 求導(dǎo)：

因此，固定變量u，C0,3(u)與C3,3(u)是關(guān)于參數(shù)α 的遞減函數(shù)；C1,3(u)與C2,3(u)是關(guān)于參數(shù)α 的遞增函數(shù)。

(v)對變量u 求導(dǎo)，其一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為：

對式(6)進(jìn)行簡單計算，可得其端點(diǎn)性質(zhì)式(5)。

2 帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲線

2.1 帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲線的定義及性質(zhì)

根據(jù)帶形狀參數(shù)的三次α-DP 基函數(shù)，給出曲線的定義。

定義2對于0≤u≤1，0＜α≤1，給定4 個控制頂點(diǎn)pi∈Rd(i=0,1,2,3,d=2,3)，稱曲線

為帶形狀參數(shù)的三次DP 曲線，簡稱三次α-DP 曲線。 其中Ci,3(u)(i=0,1,2,3)為式(4)定義的三次α-DP 基函數(shù)。

三次α-DP 曲線具有以下性質(zhì)：

(i)端點(diǎn)性質(zhì)。

由基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)可知，三次α-DP 曲線同樣具有以下優(yōu)良性質(zhì)：

(ii)凸包性。

由基函數(shù)(4)的規(guī)范性和非負(fù)性知，由定義2 生成的曲線完全位于由其控制頂點(diǎn)pi(i=0,1,2,3)所形成的凸包內(nèi)。

(iii)幾何不變性與仿射不變性。

由于所定義的式(8)是參數(shù)化方程，當(dāng)形狀參數(shù)α 固定時，三次α-DP 曲線的形狀、位置與如何選取坐標(biāo)系無關(guān)，僅取決于曲線的控制頂點(diǎn)pi(i=0,1,2,3)。即

其 中,Q 是 任 意 向 量 且Q ∈Rd(d=2,3)，M 是 一 任意k×k(k=2,3)階矩陣。

(iv)對稱性。

當(dāng)給定形狀參數(shù)α 的取值時，由基函數(shù)的對稱性可知，由2 個僅順序不同的控制多邊形與三次α-DP 基函數(shù)組合后所生成的2 條曲線的形狀是完全相同的，僅方向相反。即

(v)退化性。

由基函數(shù)的退化性可得三次α-DP 曲線的退化性。當(dāng)α=1 時，三次α-DP 曲線退化為三次DP曲線。

(vi)形狀可調(diào)性。

形狀參數(shù)α 為三次α-DP 曲線提供了一個獨(dú)立于控制頂點(diǎn)之外的自由度。三次α-DP 曲線的形狀可以通過改變參數(shù)α 的取值來調(diào)整，并且此過程中控制頂點(diǎn)仍保持不變。

圖2 為參數(shù)分別取不同值時的三次α-DP 曲線，其中點(diǎn)劃線代表α=0.6，實(shí)線代表α=0.8，虛線代表α=1。

2.2 形狀參數(shù)α 的幾何意義

從數(shù)值和圖形兩個角度對形狀參數(shù)的幾何意義進(jìn)行分析。

圖2 參數(shù)取不同值時的三次α-DP 曲線Fig.2 The cubic α-DP curves with different parameters

確定形狀參數(shù)α 的值與曲線R(u)形狀之間的關(guān)系。由三次α-DP 基函數(shù)的定義及其性質(zhì)可知，固定變量u，當(dāng)參數(shù)α 逐漸增大時, C0,3(u) 與C3,3(u)逐漸減小，C1,3(u)與C2,3(u)逐漸增大。即隨參數(shù)α 的增大，曲線的彎曲程度隨之增大，三次α-DP 曲線逐漸向其控制多邊形靠近。

將式(8)改寫為矩陣形式：

由控制頂點(diǎn)q0q1q2q3所確定的三次Bézier 曲線B3(u)可表示為

二者控制頂點(diǎn)之間的關(guān)系為

由式(12)可知，三次Bézier 曲線B3(u)的各控制頂點(diǎn)的數(shù)值大小與三次α-DP 曲線R(u)的控制頂點(diǎn)的數(shù)值大小正相關(guān)。即形狀參數(shù)α 取值越大，二者數(shù)值就越接近，三次α-DP 曲線向三次Bézier 曲線不斷接近。因此，根據(jù)三次Bézier 曲線的逼近性可推斷：形狀參數(shù)α 越大，三次α-DP 曲線越接近其控制多邊形。

圖3 直觀地展示了形狀參數(shù)α 對曲線的影響規(guī)律，其中，紅色實(shí)線代表三次Bézier 曲線，同時也是退化之后的三次DP 曲線。2 條黑色、綠色曲線則分別代表α=0.6，α=0.8 時的三次α-DP 曲線，圖中星狀點(diǎn)與空心圓狀點(diǎn)分別為Bézier 曲線、三次α-DP 曲線的控制頂點(diǎn)。

圖3 形狀參數(shù)α 的幾何意義Fig.3 The geometric meaning of shape parameter

2.3 帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲線拼接

在復(fù)雜的自由曲線曲面設(shè)計中，單一的曲線段已不能滿足幾何造型設(shè)計的要求，因此曲線的拼接必不可少。下面討論帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲線的拼接條件。

設(shè)2 條相鄰的三次α-DP 曲線表達(dá)式分別為：

其中i=0,1,2,3,p0p1p2p3和q0q1q2q3分別為曲線R1(u)和R2(u)的控制頂點(diǎn)，形狀參數(shù)分別為α1和α2。

定理1當(dāng)給定0≤u≤1，0＜α≤1 時，若2 條相鄰的三次α-DP 曲線G0和G1連續(xù)，需滿足

證明 由式(9)知，

若2 段三次α-DP 曲線G0和G1連續(xù)，則有

化簡可得式(13)。此時，2 條相鄰的三次α-DP 曲線不僅滿足G0連續(xù)，在連接點(diǎn)處達(dá)到G1連續(xù)。且當(dāng)λ=1，即δ= α1α2時，在 連 接 點(diǎn) 處 兩 切 矢 相 等：R′1(1)=R′2(0)，2 段曲線達(dá)到C1連續(xù)。

下面討論相鄰三次α-DP 曲線段之間G2連續(xù)的條件。

定理2若2 條相鄰的三次α-DP 曲線G2連續(xù)，2 條曲線需滿足G1連續(xù)條件，且曲率相等：

其中，λ= δα2α1，δ 為非負(fù)常數(shù)。γ 滿足γL1=L2。

證明2 條曲線的曲率為

根據(jù)曲線的端點(diǎn)性質(zhì)，計算得

圖4 G1連續(xù)的兩曲線段拼接Fig.4 Construction of the curves with G1 continuous conditions

由G1連續(xù)條件以及式(15)，即可給出相鄰兩段曲線G2連續(xù)的拼接條件。

下面給出不同連續(xù)條件下，三次α-DP 曲線的光滑連續(xù)拼接的數(shù)值實(shí)例。

給定控制頂點(diǎn)p0(0,0), p1(1,4), p2(4,2),p3(6,0)，q0(6,0),q1(10,-2),q3(8,-20)。由G1的連續(xù)條件計算q2(16,-15)，取λ=δ=0.5,α1=α2=0.8，作圖4(a)。

給定控制頂點(diǎn) p0(0,0),p1(1,4),p2(4,2),p3(6,0),q0(6,0),q2(11,-6)，q3(8,-4)。由G1的連續(xù)條件計算q1(12.5,-5)，且取λ=δ=0.5，α1=α2=0.8，作圖4(b)。

圖5 G2連續(xù)的兩曲線段拼接Fig.5 Construction of the curves with G2 continuous conditions

給定控制頂點(diǎn)p0(0,0),p1(2,1),p2(3,-1)，p3(1,-3),q0(1,-3)，根據(jù)曲線G1和G2的連續(xù)條件計算q1(-2,-6), q2(-3,-13), q3(-3.667,-5.667),取α1=1，α2=0.5,δ=2,γ=1，作圖5(a)。

給定控制頂點(diǎn)p0(0,0),p1(3,-4),p2(5,-4),p3(6,6),q0(6,6),根據(jù)曲線G1和G2的連續(xù)條件計算q1(9,44),q2(11,-4),q3(5.22,-10),取α1=1,α2=0.576,δ=2.5,γ=-3.48，作圖5(b)。

圖6 給出G1連續(xù)條件下，取不同參數(shù)時的旋轉(zhuǎn)面。

3 帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲面

3.1 帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲面的定義及性質(zhì)

運(yùn)用張量積方法將三次α-DP 曲線推廣到曲面，給出帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲面的定義。

圖6 不同參數(shù)下G1連續(xù)的旋轉(zhuǎn)面Fig.6 Rotating surfaces in G1 continuous case with different parameters

定 義 3給 定 4×4 個 控 制 頂 點(diǎn) pij(i=0,1,2,3)，對于0≤u，v≤1，0＜α≤1，稱張量積曲面

為帶形狀參數(shù)的三次DP 曲面，簡稱三次α-DP 曲面。 其中Ci,3(u),Cj,3(ν)(i=0,1,2,3)為式(4)定義的三次α-DP 基函數(shù)。

圖7 為形狀參數(shù)取1 時，三次α-DP 開曲面和閉曲面的構(gòu)造。

圖7 帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲面的構(gòu)造Fig.7 The cubic α-DP surfaces structure with a parameter

三次α-DP 曲面具有下列性質(zhì):

（i）凸包性。

三次α-DP 曲面位于控制網(wǎng)格pij(i=0,1,2,3)所形成的凸包內(nèi)。

（ii）幾何不變性和仿射不變性。

三次α-DP 曲面是參數(shù)化曲面，位置和形狀僅僅取決于曲面的控制網(wǎng)格，與其他形狀參數(shù)或坐標(biāo)系無關(guān)。若要對曲面作變換，只需對其控制網(wǎng)格pij作變換即可。

（iii）對稱性。

由三次α-DP 基函數(shù)的對稱性可知，顛倒控制網(wǎng)格pij所形成的新曲面與原三次α-DP 曲面相同，僅方向相反。即

R*(u,ν)與R(u,ν)表示的是同一曲面，方向相反。

（iv）邊界性質(zhì)。

（v）形狀可調(diào)性。

固定三次α-DP 曲面的控制網(wǎng)格pij，可通過調(diào)節(jié)形狀參數(shù)αu和αv的值來調(diào)節(jié)三次α-DP 曲面的形狀。圖8 給出了αu和αv取不同值時的曲面形狀。

3.2 帶形狀參數(shù)的三次α-DP 曲面拼接

對于0≤u，v≤1，0＜α≤1，設(shè)2 條相鄰的三次α-DP 曲面表達(dá)式為：

其中,pij和qij分別為曲線R1(u,ν)和R2(u,ν)的控制網(wǎng)格，形狀參數(shù)分別為αu1，αv1和αu2，αv2。

圖8 參數(shù)取不同值時的三次α-DP 曲面Fig.8 The cubic α-DP surfaces with different parameters

定理3當(dāng)給定0≤u，v≤1，0≤αu，αv≤1 時，2條相鄰的三次α-DP 曲面G0和G1連續(xù)，需滿足

其中,λ= δαν2αν1，δ 為非負(fù)常數(shù)。

證明由式(17)可得：

由式(18)，有

其 中，λ= δαν2αν1，δ 為非負(fù)常數(shù)，化簡即可證得。此時2 條相鄰三次α-DP 曲面片既滿足位置連續(xù)，在連接點(diǎn)處又具有同向切矢。

下面討論2 條相鄰的三次α-DP 曲面片G2連續(xù)的條件。

定理4若2 條相鄰的三次α-DP 曲面G2連續(xù)，要求兩曲面片不僅在拼接點(diǎn)處G1連續(xù)，而且曲率相等，即

式中，λ= δαν1αν2。γ 滿足γLν1=Lν2，其中，

4 形狀參數(shù)的選擇

采用文獻(xiàn)[15]中的能量函數(shù)，對第i 段曲線有

假定a=0,b=1。當(dāng)k=1 時，能量函數(shù)是拉伸能量的近似，Ei,1反映曲線長度；當(dāng)k=2 時，能量函數(shù)是彎曲能量的近似，Ei,2反映曲線的曲率；當(dāng)k=3 時，能量函數(shù)是扭曲能量的近似，Ei,3反映曲線曲率的變化量。

定理5給定第i 段曲線的控制頂點(diǎn)pi,j(i=1,2,…,n,j=0,1,2,3)，使整條取最小值的參數(shù)αi需滿足

其中，

證明首先對第i 段曲線優(yōu)化。

已知式(4)，令

將式(4)和(8)改寫為：

對式(22)求k 階導(dǎo)數(shù)，可得

記

可將第i 段曲線的能量函數(shù)改寫為

對由n 段三次α-DP 曲線拼接而成的整條G1連續(xù)曲線進(jìn)行優(yōu)化。為了在保證曲線段保持G1連續(xù)的同時，能夠確保形狀參數(shù)的最優(yōu)取值，給出目標(biāo)函數(shù)：其中，k(k=1,2,3)為能量函數(shù)的階數(shù)，αi(0＜αi≤1)為第i(i=1,2,…,n)段的形狀參數(shù)。

求解式(23)，即得證。

圖9 給出的是利用3 種形狀參數(shù)選取方案構(gòu)造出滿足不同要求的三次α-DP 曲線的實(shí)例。

圖9 3 種形狀參數(shù)的選擇Fig.9 Three selections of shape parameter

以2 段滿足G1連續(xù)的三次α-DP 曲線為例，未優(yōu)化的曲線見圖9(f)，此時目標(biāo)函數(shù)可簡化為

當(dāng)k=1 時，計算可得α1=0.129 1，α2=0.242 0，此時2 段拼接曲線長度最短，見圖9(a)；當(dāng)k=2 時，計算可得α1=0.371 6，α2=0.696 8，此時2 段拼接曲線彎曲能量最小，見圖9(c)；當(dāng)k=3 時，計算可得α1=0.489 6，α2=0.918 0，此時2 段拼接曲線曲率變化量最小，見圖9(e)。

圖9(a)和(c)中，帶箭頭的線為曲線的梯度，圖9(b)和(d)是2 段曲線在拼接點(diǎn)處的梯度的局部放大圖?？梢钥闯?，2 段曲線優(yōu)化后仍滿足G1連續(xù)。(g)為原G1連續(xù)的第1 段曲線與優(yōu)化后的第1 段曲線的一階導(dǎo)數(shù)、曲率半徑對比圖?？梢钥闯觯?dāng)k=1 時，2 段曲線的一階導(dǎo)數(shù)圖比k=2 時2 段曲線的一階導(dǎo)數(shù)平穩(wěn)，說明當(dāng)k=1 時曲線的變化率最小，曲線長度最短。而當(dāng)k=2 時2 段曲線的曲率半徑遠(yuǎn)小于k=1 時，說明當(dāng)k=2 時曲線有最小的彎曲能量。

5 結(jié) 語

提出了一類帶有形狀參數(shù)的三次α-DP 基，形狀參數(shù)α 為三次α-DP 曲線提供了獨(dú)立于其控制頂點(diǎn)外的自由度，使其不僅繼承了傳統(tǒng)三次DP 基函數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)，而且具有形狀可調(diào)性。在光滑拼接方面，三次α-DP 曲線也達(dá)到了很好的效果：當(dāng)滿足一定條件時，相鄰兩曲線段間可以達(dá)到G2連續(xù)。討論了形狀參數(shù)α 具有的幾何意義：當(dāng)形狀參數(shù)增大時（在取值范圍內(nèi)），三次α-DP 曲線逐漸逼近其控制多邊形。此外，針對曲線的拉伸、彎曲以及扭曲能量，給出了3 種形狀參數(shù)的選取方案以及相關(guān)數(shù)值實(shí)例。但本文未繼續(xù)討論任意次DP 曲線、圓或弧的精確表示以及α-DP 曲線與曲面在實(shí)際工程中的應(yīng)用，有待下一步繼續(xù)研究。