覃桂茳，劉玉周，楊甲山

（1.梧州學院大數據與軟件工程學院，廣西梧州543002； 2.梧州學院廣西高校行業(yè)軟件技術重點實驗室，廣西梧州543002； 3.梧州學院機械與材料工程學院，廣西 梧州543002； 4.梧州學院廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點實驗室，廣西梧州543002）

0 引 言

在微分方程理論中，振動性是其重要的分支之一，并廣泛應用于物理力學、控制系統(tǒng)、時間延遲系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、時變非線性反饋系統(tǒng)等。微分方程的振動性廣受關注且成果頗豐[1-14]。但具有正負系數和多變時滯的高階方程振動性的研究成果卻很少。考慮以下微分方程

的 振 動 性，其 中n ≥2 為 偶 數，t0≥0 為 實 常 數；φ(u)=|u|γ-1u,γ ＞0 為實常數；h ≥1，m ≥1，l ≥1，均為整數。全文總假設條件(H0)～(H5)成立：

(H0) 函 數 A(t)， Pk(t)， b(t)， Qi(t)，Rj(t)∈C([t0,+∞),[0,+∞)),k=1,2,…,h；i=1,2,…,m； j=1,2,…,l( 下 同 , 略)； Bk(u)，fi(u),gj(u)∈C(R,R) 且 uBk(u)＞0(u ≠0)，ufi(u)＞0(u ≠0)，ugj(u)＞0(u ≠0)。

(H1) 函 數 τk(t)∈C([t0,+∞),(0,+∞))，

(H2) 函數σi(t)=δj(t)=σ(t)∈C1([t0,+∞),

(H3) 存在常數0 ＜ηk≤1,αi＞0,βj＞0，使得當 u ≠0 時 有 Bk(u)/u ≤ηk， fi(u)/u ≥αi，并 且最終成立。

關于方程(1)的解及其振動性的定義參見文獻[1-12]，本文只討論方程(1)的非平凡解。方程(1)包括了許多典型的微分方程，如二階Emden-Fowler型方程：

及具有正負系數的二階方程：

等。這些典型的微分方程已有許多很好的振動準則[1-12]。如KAMENEV[1]改 進 了WINTNER 的 結果，得到了以下振動準則(稱之為Kamenev 型振動準則)：

定理A[1]若+∞（μ ＞1 為常數），則方程(E1)振動。

之后，LI 等[2]將KAMENEV 的結果推廣到了二階半線性微分方程(E2)，得到

定理B[2]若如 存在常數k ＞γ，使得

則方程(E2)振動。

以此為基礎,黃記洲等[3]研究了更一般的二階Emden-Fowler 型方程(E3)，并得到方程(E3)振動的一系列新準則，其Hille 型振動準則如下：

定 理C[3]設β ≥γ，A′(t)≥0，δ′(t)＞0，0 ≤p(t)＜1，且若 存 在 函 數φ ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

其中k ＞0 為常數，則方程(E3)振動。

對具有正負系數的二階微分方程，仉志余等[4]率先研究了方程(E4)的振動性，結果如下：

定理D[4]設0 ≤P(t)＜1，Q(t)≥0 且R(t)最終為負，若

緊接著，楊甲山等[5]研究了一類廣泛的具有正負系數的二階方程(E5)的振動性，放寬了文獻[4]的條件，得到了方程(E5)的振動準則(包括Hille 型準則和Kamenev 型準則等)。其他結果可參見文獻[6-10]，而對具有正負系數及多時滯的高階微分方程的振動性研究成果目前還很少。

本文的目的是研究具有正負系數和多變時滯的高階阻尼微分方程(1)的振動性，進一步改進并拓展現有的研究成果，使得定理A～定理D 成為本文結果的特例，最后用一些具體實例說明本文的主要結論。

1 引 理

引入記號

則方程(1)可寫為

引理1[7]設u(t)在[t0,+∞)上是正的n 次可微函數，u(n)(t)最終定號，則存在t*≥t0和整數l(0 ≤l ≤n)，當u(n)(t)≥0 時，n+l 為 偶 數；當u(n)(t)≤0 時，n+l 為 奇 數，使 得 當l ＞0 時，有u(k)(t)＞0，t ≥t*，k=0,1,…,l-1；且 當l ≤n-1時 ， 有 t ≥t*； (-1)l+ku(k)(t)＞0； k=l,l+1,…,n-1。

引理2[7]設u(t) 滿足引理1 的條件，且u(n-1)(t)u(n)(t)≤0(t ≥t*)，則對任意θ ∈(0,1)，存在常 數M ＞0，使 得 對 一 切 充 分 大 的t 有u′(θ t)≥Mtn-2u(n-1)(t)。

引理3[7]設a，b 為非負實數，則aλ-λabλ-1+(λ-1)bλ≥0，λ＞1，等號成立當且僅當a=b。

引理4設x(t)是方程(1)的最終正解，則

證明因為x(t)是方程(1)的最終正解，不妨設當t ≥T ≥t0時，x(t)＞0，x(τk(t))＞0，x(σi(t))=x(δj(t))=x(σ(t))＞0，于是

由方程(3)并注意到條件(H3)，得

因此ω(t)A(t)φ(z(n-1)(t))是減函數，并且z(n-1)(t)最終定號，且能斷言：

事實上，若z(n-1)(t)＜0，t ≥T。由式(6)，得

其中常數

于是由上式得

進一步，有

于是有

在 上 式 中 ，令 t →+∞，注 意 到 (H5)，得類 似 可 得這 與z(t)＞0 矛盾！故式(7)成立。

由式(5)知，

由此推得z(n)(t)≤0(t ≥T)。因為n 是偶數，于是由引理1 中l(wèi) 為奇數，有z′(t)＞0(t ≥T)。 證畢。

2 方程（1）的振動準則

定 理 1如 果 存 在 函 數 ρ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

其中函數Φ(t)和ψ(t)的定義如下：

常數θ ∈(0,1)和M ＞0 同引理2，則方程(1)振動。

證明設方程(1)存在非振動解x(t)，不失一般性，設x(t)＞0,x(τk(t))＞0，x(σ(t))＞0，t ≥T ≥t0。由引理4 知，式(4)成立。于是由引理2，對任意0 ＜θ ＜1，存在常數M ＞0，有

由式(2)的第1 個式子知，x(t)≤z(t)，于是

整理得

則V(t)＞0(t ≥T)，注意到式(5)、(10)和(11)，由式(12)可導出

注意到式(9)的第1 個式子，當t ≥T 時，由上式進一步可得

現取

由引理3，有λabλ-1-aλ≤(λ-1)bλ，即

將上式代入式(13)，得

上式兩邊從T 到t 積分，可得

取上極限，則得到與式(8)矛盾的結果。定理1 證畢。

定 理 2如 果 存 在 函 數 ρ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及常數μ ＞γ，使得

其中常數θ ∈(0,1)和M ＞0 的定義同引理2，而函數Φ(s)，ψ(s)的定義同式(9)，則方程(1)振動。

證明若不然，則方程(1)存在非振動解x(t)，不 失 一 般 性 ， 設 x(t)＞0,x(τk(t))＞0，x(σ(t))＞0，t ≥T ≥t0。由 引 理4 知，式(4)成 立。定義函數V(t)如式(12)，則由定理1 的證明知，式(13)成立，即當s ≥T 時，有

上式兩邊同乘以(t-s)μ，并從T 到t 積分，由分部積分法，整理得

現取

由引理3，有λabλ-1-aλ≤(λ-1)bλ，注意到式(9)的第2 個式子，可得

綜合式(15)、(16)，有

即

于是

注 1若 方 程(1) 中 n=2，m=1，Pk(t)≡0，b(t)=0，Rj(t)≡0，f (u)=u，σ(t)=t，并在定理2 中取ρ(t)=1，于是由定理2，可得定理B。即定理A 和定理B 為定理2 的特例。此外，若方程(1)中，m=1，Pk(t)≡0，Rj(t)≡0，fi(u)=u，則定理1 即為文獻[11]中的定理2；進一步，在定理2 中，取ρ(t)≡1，即得到文獻[11]中的定理1。關于方程(1)的特殊情形的不同振動準則，可參考文獻[5-11]。

注2若 方 程(1)中，n=2，h=m=l=1，b(t)≡0，γ=1，B(u)=u，τ(t)=t-τ0，σ(t)=t-σ0，δ(t)=t-δ0，則相應地，本文定理1 和定理2 即為具有正負系數的二階微分方程(E4)的振動準則，但本文沒有文獻[4]的條件:“R(t)最終為負”，因此本文結果進一步改進并拓展了現有的研究成果。

例1考慮以下4 階具有正負系數的變時滯方程

其中f,g 分別為f (u)=u[6+lnγ(1+u2)]，g(u)=這相當于方程(1)中

顯然有

即條件(H0) ～(H5)成立。在定理1 中,取ρ(t)=1，并注意到式(9)，則有

于是由定理1 知，方程(18)振動。

例2考慮具有正負系數和阻尼項的變時滯2階方程

則

即 條 件(H0) ～ (H5) 成 立。 現 在 定 理2 中，取ρ(t)=1，μ=2 ＞γ，并注意到式(9)，則有

而

所以

于是由定理2 知，方程(19)振動。顯然文獻[1-12]中的定理均不能用于方程(18)和(19)的振動性判別。