董向東 李瑞霞 (山東省東營市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 257091)

課程呈現(xiàn)大致有階梯式和項(xiàng)目式兩種方式，初中段數(shù)學(xué)教材采用的都是按章分節(jié)的階梯式呈現(xiàn)方式．盡管有專家倡導(dǎo)教材應(yīng)以跨學(xué)科的項(xiàng)目式混編來呈現(xiàn)，認(rèn)為會(huì)更有利于學(xué)生應(yīng)用和理解，但實(shí)際操作起來卻不容易，目前還只是在個(gè)別探究性、綜合實(shí)踐類活動(dòng)上有所體現(xiàn)，但這種愿望我們應(yīng)該引起重視．

分學(xué)科按章分節(jié)依次展開的教材編制體例，看上去知識(shí)結(jié)構(gòu)清晰，前后邏輯關(guān)聯(lián)緊密，便于集中學(xué)習(xí)，但卻不利于跨章節(jié)知識(shí)基于學(xué)科思想方法的融合，不利于學(xué)科整體內(nèi)在邏輯的統(tǒng)一，不利于學(xué)生不同學(xué)科認(rèn)知過程的整合優(yōu)化．事實(shí)上，外在的章節(jié)知識(shí)架構(gòu)與學(xué)生大腦中的內(nèi)容建構(gòu)并不一致，這種基于純知識(shí)體系羅列的東西，進(jìn)入學(xué)生頭腦后卻是零散的、孤立的，很容易遺忘，其靈活性、綜合性并不理想．現(xiàn)實(shí)狀態(tài)下這個(gè)弊端非常明顯，盡管教師們會(huì)有意識(shí)地選擇部分背景涉及多個(gè)單元的題目來訓(xùn)練，甚至強(qiáng)行用思維導(dǎo)圖來關(guān)聯(lián)，但實(shí)際效果并不明顯.許多師生之所以進(jìn)行大量的“刷題”訓(xùn)練，所尋找的其實(shí)往往就是章節(jié)之間的基于數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在聯(lián)系和基于更高層思維的抽象統(tǒng)一和共通模型，但要尋得達(dá)到這種效果的題目，靠盲目的“碰運(yùn)氣”卻是不容易的．

近幾年，筆者嘗試在整個(gè)初中段新授課完成后，有意識(shí)地穿插部分基于整個(gè)初中學(xué)段背景的對(duì)學(xué)科結(jié)構(gòu)、內(nèi)在邏輯、思維過程、理性價(jià)值的“解讀和剖析”專題課，放在一輪復(fù)習(xí)之初，效果較好．

1 基于“研究方式”內(nèi)在一致性的對(duì)比專題課

每一個(gè)學(xué)科都有它內(nèi)在的邏輯，數(shù)學(xué)更是尤為突出．初中數(shù)學(xué)中各研究對(duì)象的展開大致有相同脈絡(luò)：從生活特例中歸納共性，經(jīng)抽象概括得到它基于自身要素、相關(guān)要素和外部關(guān)聯(lián)要素的概念定義，經(jīng)過符號(hào)化、結(jié)構(gòu)化和模型化;再研究其基于各要素關(guān)系的性質(zhì)研究和性質(zhì)逆命題探究，進(jìn)而研究其子類別或上位類別，同樣基于自身要素、相關(guān)要素和外部關(guān)聯(lián)要素之間的關(guān)系來展開;如此迭代,將知識(shí)逐漸展開，使我們的視角逐漸伸向遠(yuǎn)方或深處．這種內(nèi)在一致性對(duì)于學(xué)生把握數(shù)學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)、邏輯和思維方法是非常有必要的，也是全面復(fù)習(xí)前必須做的準(zhǔn)備．

對(duì)于代數(shù)，數(shù)式與方程的計(jì)算是初中代數(shù)的主線，數(shù)、式、方程、函數(shù)的同模式推進(jìn)是橫線，字母的參與是逐漸展開的縱線，其共同的價(jià)值取向是抽象和模型思維以及數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)．?dāng)?shù)是沿著整數(shù)、分?jǐn)?shù)(有理數(shù))、無理數(shù)、實(shí)數(shù)展開的；式是沿著整式、分式(有理式)、根式的思路展開的；方程是按照整式方程、分式方程、根式方程展開的；函數(shù)同樣是按照解析式為整式、分式、根式的思路展開的．每一個(gè)研究對(duì)象又是從數(shù)字逐漸復(fù)雜然后到字母參與的抽象的縱線展開的，比如方程，分別從“次”和“元”的角度由具體到“n”逐漸展開的．

具體地，以函數(shù)為例，先通過實(shí)例抽象出函數(shù)的概念，通過對(duì)自變量、因變量、對(duì)應(yīng)法則三個(gè)自身要素的把握，介紹三種表達(dá)方法，研究其基于區(qū)間性和單調(diào)性的函數(shù)圖象．這是函數(shù)學(xué)習(xí)開始的介紹．后面陸續(xù)研究的基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，其研究思路都是同函數(shù)開始部分的研究方式相同．在梳理了它們的共性后，讓學(xué)生按此思路來推想三角函數(shù)(已不屬于初等函數(shù))應(yīng)該涉及的內(nèi)容，學(xué)生都會(huì)從三要素的界定走向?qū)D象及性質(zhì)的研究，這正是教材所沒有清晰揭開的地方，但是學(xué)生遵循這樣的思路卻能自己建構(gòu)出來．

幾何是緊緊圍繞形狀、大小和位置三個(gè)視角來展開的．每一個(gè)研究對(duì)象都是從這三個(gè)角度沿著自身要素、相關(guān)要素和關(guān)聯(lián)外部要素的思路，從定性和定量兩個(gè)維度展開的，然后再以同樣的思路從一般走向特殊，再從特殊回歸到更加深刻一般的思路上來．比如三角形，其概念本質(zhì)是用三條直線段對(duì)平面實(shí)現(xiàn)了一個(gè)封閉區(qū)劃，然后基于構(gòu)成要素研究其表示方法、基本性質(zhì)(邊角關(guān)系)等，再對(duì)相關(guān)要素中線、高線、角平分線、外角(和)等角度進(jìn)行研究，大小位置和定量、定性是研究的主線．再研究其特例(按邊角分)，如直角三角形和等腰三角形，以及它們的再特例等腰直角三角形、等邊三角形，其實(shí)，對(duì)它們的研究遵循了同樣的思路．長度、角度、周長、面積以及相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)變化等都是從量的角度來研究，相互之間的平行、相交(垂直)等關(guān)系是從形狀角度來展開的，而定性和定量之間又是時(shí)時(shí)交叉和融合的．這種大的思路，“相交線平行線”“四邊形”等其他幾何研究對(duì)象都是可以據(jù)此類比演繹的．從最根本的概念產(chǎn)生角度，除了用直線段來封閉一部分平面外，還可以用曲線封閉，在這個(gè)方向上，圓、橢圓只是其中的特例，其展開過程也是類似的．沿著這個(gè)方向來看，函數(shù)的本質(zhì)其實(shí)是對(duì)要素關(guān)系在運(yùn)動(dòng)中保持穩(wěn)定的一種數(shù)字化刻畫．

除按邊、角等各類局部元素進(jìn)行定性和定量展開外，全等三角形側(cè)重兩個(gè)三角形之間形狀和大小維度的定性和定量考察，全等三角形之間的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)則加入了位置元素，也構(gòu)成了我們豐富的圖形世界，演化出更多的大小、形狀和位置關(guān)系，成為我們訓(xùn)練的一個(gè)個(gè)問題或題目．相似三角形降低了對(duì)大小的限制，但也因此使得相似比成了定性和定量的焦點(diǎn)．在教學(xué)中，學(xué)生清楚了三角形的研究方式后，便可以更好地解讀和建構(gòu)四邊形的研究內(nèi)容和研究角度．我曾讓學(xué)生基于此來“自行”推演四邊形的內(nèi)容，他們對(duì)四邊形就有了更深刻的領(lǐng)悟．我還曾讓學(xué)生類比全等三角形來推演相似三角形，即使成績較差的學(xué)生也可以推演出相似三角形一章內(nèi)容的框架．通過這種推演，站在全等的基礎(chǔ)上，學(xué)生更容易理解相似的本質(zhì)；而走到相似的高度再反觀全等，他們對(duì)全等、尺規(guī)作圖的這種確定性也有了更深刻的理解．

教材各章內(nèi)容看上去是獨(dú)立的，但其內(nèi)在邏輯、方式、路徑、視角卻是相類似的．前面列舉的是從整個(gè)初中數(shù)學(xué)體系的視角來談的，再下位一些，這種基于“研究方式”相同的局部(專題)的內(nèi)容更多．適當(dāng)?shù)貜倪@樣的視角來分析題目、知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)學(xué)生理解教材、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、理解思想方法、培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維都是很有幫助的．

2 基于“思維方式”共含共通的類比專題課

數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的就是對(duì)思維方式方法的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練．初中數(shù)學(xué)中包含大量蘊(yùn)藏著各種思維方法、方式的契機(jī)和資源，盡管各章節(jié)的內(nèi)容不同、包含的思維方法的側(cè)重不同，但主要的思維方式和方法卻是相同、相似的．從這個(gè)學(xué)習(xí)工具和學(xué)習(xí)最終落腳點(diǎn)來看，章節(jié)之間的不同其實(shí)不過是思維訓(xùn)練素材的不同而已，其筋骨是相同相通的．有意識(shí)地從思維模式的角度來解讀教材、訓(xùn)練學(xué)生是極其必要的．

直覺思維、形象思維、邏輯思維是思維的主要形式，各有各的意義，不可重此輕彼．每一章節(jié)往往都是沿著三者的順序漸進(jìn)展開．逆向思維在性質(zhì)和判定的探究與應(yīng)用中都有很好的體現(xiàn)．在具體的探究中，時(shí)而思維聚焦，時(shí)而思維發(fā)散，類比思維、對(duì)比思維、轉(zhuǎn)向思維都是常見的思維方式．特例思維讓我們保持了嚴(yán)謹(jǐn)性，克服了慣性思維．系統(tǒng)思維利用頂層設(shè)計(jì)，點(diǎn)狀思維、線狀思維、網(wǎng)格性思維讓我們著力于一點(diǎn)；審辯思維、邊界思維、批判思維讓我們時(shí)刻保持警惕性和敏感性；歸納思維易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，驗(yàn)證思維則可以避免過度歸納，演繹思維幫助我們看到規(guī)律的普適性，分析思維讓我們可以分解、拆解目標(biāo)，綜合思維讓我們更清晰因果關(guān)聯(lián)．立體思維讓我們不斷地錘煉和建構(gòu)我們的思維模式和思維結(jié)構(gòu)，讓我們既保持思維的創(chuàng)造性又保持思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．在實(shí)際教學(xué)中，讓學(xué)生看到自己思考、探究、解題過程中的各種思維方式很重要，而有意識(shí)地主動(dòng)使用各種思維模式去思考、探究、解題則是更重要的．比如，我讓學(xué)生以四邊形的中點(diǎn)四邊形為研究對(duì)象，主動(dòng)使用各種思維模式去探索，在完成探索之后再讓學(xué)生審視自己思維的薄弱之處、誤區(qū)和不足，學(xué)生不但充分理解了中點(diǎn)四邊形正反互逆的不對(duì)等性，而且也大大開闊了思路．

3 基于“數(shù)學(xué)思想方法”廣泛適用性的驗(yàn)證專題課

數(shù)學(xué)的思想方法有很多，但用得最多的還是比較有限的，比如符號(hào)化思想、函數(shù)和方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體性思想、模型化思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、統(tǒng)計(jì)思想等，這些都是數(shù)學(xué)的靈魂，也是研究數(shù)學(xué)的工具．基于數(shù)學(xué)思想方法的揭示，可以打通很多看似不相關(guān)的內(nèi)容．

比如數(shù)形結(jié)合思想，以代數(shù)為例，在學(xué)習(xí)有理數(shù)概念時(shí)數(shù)軸這一形象對(duì)學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對(duì)值、大小比較、計(jì)算法則的理解都起到了重要作用；利用線段表示基本數(shù)量關(guān)系非常有利于部分一元一次方程應(yīng)用題的理解；當(dāng)數(shù)據(jù)更多、關(guān)系更復(fù)雜時(shí)，我們則會(huì)用“樹狀圖”或“圖表”來表示，這些都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．函數(shù)是架構(gòu)在代數(shù)和幾何中的重要工具，利用函數(shù)圖象既可以關(guān)聯(lián)一元一次方程、一元二次方程和其他函數(shù)，也可以把所有的幾何圖形納入進(jìn)來．再如分類討論思想，在代數(shù)中絕對(duì)值、平方、一元二次方程根等雙值問題，幾何中的點(diǎn)、線位置不確定等問題中，可以說應(yīng)用非常廣泛．整體的思想包含整體代入、整體換元、整體計(jì)算等，都有很廣泛的應(yīng)用．實(shí)際教學(xué)中，當(dāng)我們進(jìn)行這些梳理時(shí)，學(xué)生能明顯感受到其中包含著核心的知識(shí)和重要的題型．

4 基于“經(jīng)典模型”共存共通的類別拓展專題課

在浩如煙海的數(shù)學(xué)題目中，有一部分題目承載著核心概念、基本圖形，體現(xiàn)著重要的數(shù)學(xué)思想方法，富含思維訓(xùn)練、經(jīng)驗(yàn)感悟的空間，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，形式優(yōu)美，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的重要載體．復(fù)習(xí)之初，我們回顧以往的這些探索歷程，尋找這樣的經(jīng)典例子，剖析其開放性和適應(yīng)性的本質(zhì)．

實(shí)際教學(xué)中，我起初的預(yù)想是聚焦于以下三類：一是存在條件比較簡單的模型，比如“在一條直線上找一點(diǎn)到同側(cè)兩個(gè)直線外的點(diǎn)的距離之和最短”的問題，它可以在直線、三角形、四邊形、圓、坐標(biāo)系、函數(shù)背景下存在，還可以與動(dòng)點(diǎn)、相似、分類討論等結(jié)合;再如“等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高”的結(jié)論，在等腰三角形、矩形(正方形)、圓當(dāng)中都可以研究．二是包容性或工具性比較強(qiáng)的模型，比如完全平方公式及其變形，可以用于數(shù)值計(jì)算、因式分解、一元二次方程、二次函數(shù)等．三是類比遷移性比較強(qiáng)的模型，比如有一類“問題發(fā)現(xiàn)—類比探究—拓展延伸(綜合應(yīng)用)”題型，在近幾年中考中比較常見．但在實(shí)際教學(xué)中我們卻走向了“越簡單越重要”的思路上去了，如“三線八角”的模型、“三角形重要線段”的模型等,于是我們開始著手總結(jié)簡單模型的基本知識(shí)點(diǎn)，形成了一個(gè)個(gè)基本模型及其主要關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，如直角三角形中有：銳角互余，ab=ch(h為斜邊上的高)，內(nèi)切圓、外接圓半徑公式，含30°或45°角的直角三角形三邊比值關(guān)系、三角函數(shù)等．有時(shí)候我們重視一題多解，其實(shí)更多時(shí)候我們探索的恰恰是多題一解或一題多用．

5 基于“原理陷阱”嚴(yán)謹(jǐn)性的根源剖析專題課

核心概念、公理和定理都是數(shù)學(xué)知識(shí)的骨架，它們都有各自存在的基礎(chǔ)和條件，這是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和條件性的根本．很多時(shí)候，思維定式或者結(jié)論被無條件泛化會(huì)成為許多錯(cuò)誤的根源．

比如，在研究一元一次方程、一元二次方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)的時(shí)候，如果它的最高次項(xiàng)系數(shù)不能確定是否為零，就不能默認(rèn)這個(gè)前提去解題，而必須進(jìn)行分類討論．類似地，使用等式性質(zhì)、不等式性質(zhì)解方程或不等式的時(shí)候，不能確定因式是否為零時(shí)不能兩邊同乘或同除，一元二次方程的丟根往往與此有關(guān)．

再比如，學(xué)生們一般都知道SSA不能作為判斷全等三角形的依據(jù)，卻不知道如果都是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形的條件下，其實(shí)是可以的．再如“平分弦的直徑垂直于弦”“三點(diǎn)確定一個(gè)三角形”是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，“在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，但若弧是兩倍關(guān)系，弦卻不是兩倍關(guān)系”，這種類比拓展卻是不對(duì)的．再如配方法，在一元二次方程和二次函數(shù)的計(jì)算中，因方程和代數(shù)式的不同而處理方式不同．

類似的討論會(huì)提高學(xué)生對(duì)知識(shí)準(zhǔn)確度的掌握，提高對(duì)隱含條件和前提條件的敏感度，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高元認(rèn)知能力，有助于克服思維定式．

6 基于“數(shù)學(xué)文化”育人力量的感悟體驗(yàn)專題課

數(shù)學(xué)不只有科學(xué)的價(jià)值，同樣有文化的育人價(jià)值．與學(xué)生一起討論“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)讓你改變了什么、豐富了什么”是很有意義的．這是學(xué)科給予學(xué)生的真正力量．

數(shù)學(xué)的力量是什么？學(xué)生的感受不一樣．有的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理性感受很深，能感受到數(shù)學(xué)知識(shí)本身、規(guī)律本身就具有很強(qiáng)的吸引力；有的學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)尊重實(shí)事，不虛假、不啰嗦、簡潔明確，他們能感受到對(duì)錯(cuò)是非是不能混淆的；有的學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)所追求的簡潔、概括、抽象很具有美感；有的學(xué)生能感受到思維方法的豐富性和應(yīng)用的廣泛性，覺得自己獲得了解決問題的能力；有的學(xué)生則認(rèn)為數(shù)學(xué)是循序漸進(jìn)、步步為營、扎扎實(shí)實(shí)的學(xué)習(xí)過程，給了他們做人做事的道理和學(xué)習(xí)其他知識(shí)的方法；有的學(xué)生感受到和同學(xué)們一起討論使自己能不斷超越自己，發(fā)現(xiàn)自己視野的迷障是非常愉快的；有的學(xué)生則對(duì)一代代數(shù)學(xué)家在探求和追求中所展示出來的奉獻(xiàn)、求索精神深深折服，明白了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以改變?nèi)?，可以給人以力量，可以給人以獨(dú)特的感受、理解和表達(dá)世界的方式.這些對(duì)學(xué)生的深入學(xué)習(xí)是很有幫助的．

7 基于“解題經(jīng)驗(yàn)”普遍性的交流專題課

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，每一節(jié)課有每一節(jié)課的經(jīng)驗(yàn)，每一道題有每一道題的經(jīng)驗(yàn)．但是如果說學(xué)習(xí)了兩年多時(shí)間到底有什么經(jīng)驗(yàn)，還真需要梳理一下．學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)大多是從教訓(xùn)中總結(jié)出來的，比如:不要想當(dāng)然，即使熟悉的題目也要仔細(xì)審題;對(duì)于選擇題，算出了一個(gè)答案，其他答案也要排除一下;學(xué)習(xí)不要怕麻煩，表面麻煩的題目其實(shí)可能很巧妙;學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不做題不行，只做題不總結(jié)也不行；審題很重要，一定要抓住關(guān)鍵詞，注意隱含條件；不要急于動(dòng)筆，七分構(gòu)思、三分表達(dá)很重要．

之所以從這些角度來集中和學(xué)生做交流，既是為了調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，為全面復(fù)習(xí)做好心理準(zhǔn)備，也是讓學(xué)生明白復(fù)習(xí)的骨架和重點(diǎn)．從這些角度來分析，也可以促進(jìn)學(xué)生重視基礎(chǔ)、抓住重點(diǎn)．盡管這些角度在日常教學(xué)中也多有滲透，但是集中討論仍有必要．