束文清 徐章韜 (華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 430079)

1 基本量及其作用

基本量就是若干個可以唯一確定一個數(shù)學問題的一組量，多一個沒用，少一個不行，其中每一個問題的量稱為該問題的一個基本量[1]．一個數(shù)學問題有一個或多個基本量，這些基本量彼此獨立，但通過描述數(shù)學規(guī)律的方程或定義新的數(shù)學量的方程，基本量之間可以互相聯(lián)系．

基本量是解決數(shù)學問題的出發(fā)點．從基本量出發(fā)，梳理數(shù)學問題中基本量之間的關系，有助于簡化條件與問題之間的關系，使思考活動更具有指向性，為解題帶來便捷性．因此，基本量思想廣泛地滲透于數(shù)學解題中．

基本量是解決數(shù)學問題的切入點．解題時，基于題目的背景分析，選取合適的基本量，而后，再應用數(shù)學定義、定理、公式等對基本量之間的關系進行分析和推導，得到若干個由基本量表示的非基本量(導出量)，將問題轉變?yōu)閷玖颗c非基本量及其相互關系的研究．這是解決數(shù)學問題的基本方法．

當選擇不同的基本量作為解題切入點時，解決問題的方法和效果也會有所差別．但是不論采取何種解法，只要在解題中抓住“基本”，即相信在復雜的情境中存在著基本的東西，發(fā)現(xiàn)并運用這個基本的東西，問題就會得以解決[2]．

2 從基本量出發(fā)，試解高考題與競賽壓軸題

平面幾何的基本量是長度和角度．在解平面幾何題中，常常結合題目背景選用長度或角度作為基本量，應用相關的定義、定理、公式來表示問題中的其他非基本量(導出量)，尋找相互關系，從而實現(xiàn)了平面幾何問題的代數(shù)化．

從基本量出發(fā)，不僅是高考數(shù)學題的基本解題思路，也是解答競賽數(shù)學題行之有效的方法．以下，舉2018年全國高考理科數(shù)學卷第19題和2018年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試(A卷)壓軸題第11題為例，進行分析探討．

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程．

(2)設O為坐標原點，證明∠OMA=∠OMB．

解(1)由題易知，右焦點F的坐標為(1,0)，故直線l的方程為x=1．

(2)解法1 從基本量“角度”出發(fā)

當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°．

當l與x軸垂直時，OM為AB的中垂線，故∠OMA=∠OMB.

故MA,MB的傾斜角互補，∠OMA=∠OMB．

解法2 從基本量“長度”(距離)出發(fā)

當l與x軸垂直時，OM為AB的中垂線，故∠OMA=∠OMB.

由直角三角形的全等證明知，△OMA≌△OMB，故∠OMA=∠OMB．

反思本題分為兩個小題．第一小題根據(jù)“直線與軸垂直”這一條件，求出點A可能的坐標，進而得到直線方程．第二小題要證∠OMA=∠OMB，從基本量“角度”出發(fā)，即證OM為∠AOB的平分線．由于直線OM與x軸重合的特殊性，題中存在直線l與x軸的多種位置情況，需要分類討論．對于一般情況，從角平分線的基本性質出發(fā)，不難發(fā)現(xiàn)∠AOB的兩條外邊所在的直線傾斜角互補，進而得到斜率和為0的推論，也就找到了幾何問題代數(shù)化的橋梁.通過聯(lián)立方程，運用韋達定理，驗證了推論．從基本量“長度”(距離)出發(fā)，利用點F到直線MA,MB的距離相等，得到△OMA≌△OMB，進而有全等三角形對應角相等．

例2(2018年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試(A卷)壓軸題第11題)在平面直角坐標系xOy中，設AB是拋物線y2=4x的過點F(1,0)的弦，△AOB的外接圓交拋物線于點P(不同于點O,A,B)．若PF平分∠APB，求PF的所有可能值．

解法1 從基本量“角度”出發(fā)

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，△AOB的外接圓方程為C1:x2+y2+mx+ny=0．令AB的解析式為x=ky+1，由題意知A，B均在拋物線和圓上，聯(lián)立方程得y2-4ky-4=0，(k2+ 1)y2+(2k+mk+n)y+(1+m)=0．

進一步得y4-(16k2+4)y2-16ky=y(y2-4ky-4)(y+4k)=0，從而P(4k2,-4k).

若k=0，則點P與原點重合，PF=1(舍)．

反思解法1從基本量“角度”出發(fā)，在無法直接選取具體基本量的情況下，提前構建各幾何要素的關系，由條件“PF平分∠APB”，得到PA，PB，PF與y軸正向夾角α，θ，β的相互關系，列出等式β-θ=θ-α．進而思考，用什么樣的基本量作為表征工具，采取什么方法刻畫α，θ，β？解析幾何中幾何要素及相互關系，往往具有多元的外部表征形式．雖已假設點A，B的坐標，但如果采用兩點式表示AB函數(shù)則不夠典型，也無法體現(xiàn)AB過拋物線焦點這一重要特征．于是采用點斜式，設AB的解析式為x=ky+1，通過分析和甄別，確定具體的基本量，即為AB的斜率k,利用題中拋物線，圓與過焦點弦的位置關系，得到用斜率k表示的點P坐標及α，θ，β的正切值,帶入等式求解得出答案．

解法2 從基本量“長度”(距離)出發(fā)

圖1

反思解法2從距離出發(fā)，利用“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”構建等式，易知點F到PA，PB的距離相等．若采用點斜式設出直線PA，PB的表達式，四個未知數(shù)會導致聯(lián)合直線方程與拋物線及圓的表達式得到的方程組較為復雜．因此，采用參數(shù)式的方法設立坐標點A，B，P的坐標，進而求得yAB，yAP，再帶入點到直線的距離公式，問題也就迎刃而解．

解法3 從基本量“長度”(距離)出發(fā)

反思解法3與解法2均抓住“長度”(距離)這一基本量，但二者用基本量表示其他幾何要素和實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的方式有所差別：前者從角平分線的定義出發(fā)，屬于高中數(shù)學知識范疇；后者以角平分線的性質定理為切入點，構造了不同的非基本量和關系式，所用知識屬競賽范疇．

3 高中數(shù)學教學中，應注重學生基本量思想的培養(yǎng)

從基本出發(fā)，是高考數(shù)學和競賽數(shù)學的命題要求．全國高考題例1與競賽試題例2，命題和解題都緊扣“基本”．兩題考查的內容均是解析幾何背景下的過焦點弦與角平分線，屬于《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》有關平面幾何部分要求掌握的基礎知識，并未超綱．例1與例2的解題思路都以平面幾何的基本量“角度”和“長度”作為切入點，應用角平分線的相關性質及方程根與系數(shù)的關系解決問題．

從基本量出發(fā)，是從基本出發(fā)思考問題的一種體現(xiàn).本文例1與例2雖然難度有別，但考查學生應用數(shù)學基本量解決數(shù)學問題卻是一致的．高考試題題例1設兩小問，第一問對第二問給予特殊情況的暗示，且點M位置特殊，減少了推理和運算要求，降低了解題難度．與競賽數(shù)學相比，高考數(shù)學強調通性通法，應用基本量思想解決高考數(shù)學問題是“高考數(shù)學通性通法”應有之意．競賽試題例2的條件中各幾何要素關系復雜，比高考題難度大，所考查的基本量思想?yún)s與高中數(shù)學課程目標一脈相承，都是“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識，基本技能，基本思想，基本活動經驗”．

從基本量出發(fā)，在高中數(shù)學教學活動中不可或缺．無論高考數(shù)學還是競賽數(shù)學，都要求高中數(shù)學教學活動中應該加強學生基本量思想的養(yǎng)成，注重學生應用基本量提高解題技能．為了培養(yǎng)基本量思想，學生應掌握牢固的基礎知識，具有敏銳的基本量意識，提高恰當選取基本量的技巧，具備借助數(shù)學語言用基本量推導非基本量的能力．應用基本量提高解題技能，要求學生提高分析數(shù)學問題中基本量及其關系的技能，提高選取合適的基本量作為解題切入點的技能，提高通過基本量構建關系式的技能，提高基本應算技能．