數學Ⅰ試題

參考公式：

柱體的體積V=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.

.1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={0，2，}，則A∩B=.

2.已知i是虛數單位，則復數z=(1+i)(2-i)的實部是.

3.已知一組數據4，2a，3-a，5，6的平均數為4，則a的值是.

4.將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是.

(第5題)

5.右圖是一個算法流程圖.若輸出y的值為-2，則輸入x的值是.

(第9題)

9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

11.設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列.已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是.

12.已知5x2y2+y4=1(x，y∈R)，則x2+y2的最小值是.

(第13題)

二、解答題:本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(第15題)

15.(本小題滿分14分)

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點.

(1)求證:EF∥平面AB1C1；

(2)求證:平面AB1C⊥平面ABB1；

(第16題)

16.(本小題滿分14分)

(1)求sinC的值；

17.(本小題滿分14分)

(1)求橋AB的長度；

(第17題)

18.(本小題滿分16分)

(第18題)

(1)求△AF1F2的周長；

(3)設點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標．

19.(本小題滿分16分)

已知關于x的函數y=f(x)，y=g(x)與h(x)=kx+b(k，b∈R)在區(qū)間D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)．

(1)若f(x)=x2+2x，g(x)=-x2+2x，D=(-∞，+∞)，求h(x)的表達式；

(2)若f(x)=x2-x+1，g(x)=klnx，h(x)=kx-k，D=(0，+∞)，求k的取值范圍；

20.(本小題滿分16分)

(1)若等差數列{an}是“λ～1”數列，求入的值；

(3)對于給定的λ，是否存在三個不同的數列{an為“λ～3”數列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

數學Ⅱ(附加題)

A.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)

(1)求實數a，b的值；(2)求矩陣M的逆矩陣M-1

B.[選修4-4:坐標系與參數方程](本小題滿分10分)

(1)求P1，P2的值；(2)求出直線l與圓C的公共點的極坐標．

C.[選修4-5:不等式選講](本小題滿分10分)

設x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4.

(第22題)

22.(本小題滿分10分)

(1)求直線AB與DE所成角的余弦值；

23.(本小題滿分10分)

甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．

(1)求P1，q1和P2，92；

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和X的數學期望E(Xn)(用n表示)

數學Ⅰ試題參考答案

一、填空題：本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分，共計70分.

二、解答題

15.本小題主要考查直線與直線直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力滿分14分.

證明:(1)因為E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點，所以EF∥AB1．

(第15題)

又EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.

(2)因為B1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以B1C⊥AB.

又AB⊥AC，B1?平面AB1C，AC?平面AB1C，B1C∩AC=C，所以AB⊥平面AB1C.

又因為AB?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1．

(第16題)

16.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、兩角和與差的三角函數等基礎知識，考查運算求解能力滿分14分．

17.本小題主要考查函數的性質、用導數求最值、解方程等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力滿分14分．

解:(1)設AA1，BB1，CD1，EF1都與MN垂直，A1，B1，D1，F(xiàn)1是相應垂足．

所以AB=O′A+O′B=80+40=120(米).

(2)以O為原點，OOO′為y軸建立平面直角坐標系xOy(如圖所示)．

(第17題)

因為CE=80，所以O′C=80-x.

x(0,20)20(20,+40)f'(x)-0+f(x)↘極小值↗

所以當x=20時，f(x)取得最小值．

答:(1)橋AB的長度為120米；

(2)當O′E為20米時，橋墩CD和EF的總造價最低．

18.本小題主要考查直線方程、橢圓方程、圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系、向量數量積等基礎知識，考查推理論證能力分析問題能力和運算求解能力滿分16分．

(第18題)

所以△AF1F2的周長為2a+2c=6.

(2)橢圓E的右準線為x=4．

設P(x，0)，Q(4，y)，

設M(x，y)，因為S2=3S1，所以點M到直線AB距離等于點O到直線AB距離的3倍．

則3x-4y+12=0或3x-4y-6=0．

19.本小題主要考查利用導數研究函數的性質，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力滿分16分．

解:(1)由條件f(x)≥h(x)≥g(x)，得x2+2x≥kx+b≥-x2+2x，取x=0，得0≥b≥0，所以b=0.

由x2+2x≥kx，得x2+(2-k)x≥0，此式對一切x∈(-∞，+∞)恒成立，所以(2-k)2≤0，則k=2，此時2x≥-x2+2x恒成立，所以h(x)=2x．

(2)h(x)-g(x)=k(x-1-lnx)，x∈(0，+∞)．

x(0,1)1(1,+∞)u'(x)-0+u(x)↘極小值↗

所以u(x)min=u(1)=0.則x-1≥lnx恒成立，

所以當且僅當k≥0時，h(x)≥g(x)恒成立．

另一方面，f(x)≥h(x)恒成立，即x2-x+1≥kx-k恒成立，

也即x2-(1+k)x+1+k≥0恒成立．

所以(1+k)2-4(1+k)≤0，解得-1≤k≤3.

因此，k的取值范圍是0≤k≤3．

令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8)，則Δ=t6-5t4+3t2+8.

則φ′(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立，

②當0

f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.

設υ′(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1，

υ′(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1)，

υ(0)=-1，υ(1)=0，則當0

(或證:υ(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0).

則f(-1)-h(-1)<0，因此-1?(m，n).

20.本小題主要考查等差和等比數列的定義、通項公式性質等基礎知識，考查代數推理、轉化與化歸及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力滿分16分．

解:(1)因為等差數列{an}是“λ～1”數列，則Sn+1-Sn=λan+1，即an+1=λan+1，

也即(λ-1)an+1=0，此式對一切正整數n均成立．

若λ≠1，則an+1=0恒成立，故a3-a2=0，而a2-a1=-1，

這與{an}是等差數列矛盾．

所以λ=1.(此時，任意首項為1的等差數列都是“1～1”數列)

所以數列{Sn}是公比為4的等比數列．

(3)設各項非負的數列{an}(n∈N*)為“λ～3”數列，

①若λ≤0或λ=1，則(＊)只有一解為cn=1，即符合條件的數列{an}只有一個.(此數列為1，0，0，0，…)

即符合條件的數列{an}只有一個．(此數列為1，0，0，0，…)

由于數列{Sn}從任何一項求其后一項均有兩種不同結果，所以這樣的數列{Sn}有無數多個，則對應的{an}有無數多個．

綜上所述，能存在三個各項非負的數列{an}為“λ～3”數列，入的取值范圍是0<λ<1．

數學Ⅱ(附加題)參考答案

21.【選做題】

A. [選修4-2：矩陣與變換]

本小題主要考查矩陣的運算、逆矩陣等基礎知識考查運算求解能力滿分10分．

B.[選修4-4:坐標系與參數方程]

本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力滿分10分．

C.[選修4-5:不等式選講]

本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力.滿分10分．

22.【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎知識，考查空間想象能力和運算求解能力滿分10分.

解:(1)連結OC，因為CB=CD，O為BD中點，所以CO⊥BD．

又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC.

所以B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2).

因為E為AC的中點，所以E(0，1，1).

(第22題)

設n1=(x1，y1，z1)為平面DEF的一個法向量，

取x1=2，得y1=-7，z1=5，所以n1=(2，-7，5).

23.【必做題】本小題主要考查隨機變量及其概率分布等基礎知識，考查邏輯思維能力和推理論證能力滿分10分.

(2)當n≥2時，

①

Xn的概率分布

xn012p1-pn-qnqnpn