林日福

(深圳市龍華區(qū)教育科學研究院 518101)

當前，核心素養(yǎng)已是我國教育領域的研究熱點，《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出：“提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界．讓學生通過學習后逐步形成正確的價值觀念、必備品格和關鍵能力．[1]”筆者認為，數(shù)學核心素養(yǎng)既反映于學生在問題解決能力、應用能力、推理能力等方面得到發(fā)展，也反映于學生在評價交往能力得到發(fā)展．而且，培養(yǎng)與發(fā)展學生這四種能力，也是數(shù)學核心素養(yǎng)在課堂教學中得以落地的重要標志．

下面以深港兩地教師執(zhí)教“截一個幾何體”這一教學內容為例，探析兩地課堂教學的差異，并在此基礎上探討數(shù)學核心素養(yǎng)在課堂教學中落地的途徑問題．

1 課例簡錄

1.1 香港課堂

活動一：拼圖、畫圖

活動組織：全班學生共分成六個學習小組，每小組3—4人．

活動材料：每小組兩塊大小相同的底面為梯形的棱柱木塊、兩塊大小相同的薄長方體木塊、兩塊大小相同的厚長方體木塊．

活動任務：自由選擇一些木塊，將其拼成一個新的幾何體，并畫出拼接處的截面圖形．一位同學拼圖，其他同學畫圖，然后同伴討論檢驗所畫圖形是否正確．

活動過程：學生分組操作，教師低聲指導．

活動展示：學生展示作品并解釋．

引入截面的概念．

活動二：切截幾何體

活動組織：在教室中央擺上一張長條桌子，當作演示臺，全班學生以半圓形圍坐在桌子周圍，形成一個大的學習組．

活動材料：圓錐體、圓柱體、三棱柱、正三棱錐大木塊各一個(如圖1)，紅色條形膠帶若干．

圖1

活動任務：將每個幾何體通過切截兩次，截成三個完全相同的幾何體．

活動過程：(1)認識幾何體；(2)學生自由到展示臺前展示切截方法．(用紅色膠帶綁在幾何體上，以示切截方法，如圖2．)

圖2

生1：我覺得第一個(圓錐)分得不是很好，上一個截面的圓與下一個截面的圓大小不一樣．

師：是的，要注意雖然截面都是圓形，但得到的三個幾何體卻不是一樣的．

生2：我覺得第二個(圓柱)及第三個(三棱柱)切截是正確的，所得到的三個部分是一樣的．

生3：我覺得第四個(正三棱錐)分得不正確，和第一個(圓錐)一樣，所得的截面大小不一樣．

師：圓柱及三棱柱我們均已能正確切截了，先把它們拿掉．有哪位同學覺得自己可以做到將圓錐或正三棱錐進行三等分切截呢？

(兩位學生分別展示，如圖3、圖4)

生4：圖3、圖4得到的截面是相同的，所以我覺得這樣分是正確的．

圖3

圖4

圖5

生5：在這兩種分法中，中間的部分與兩側部分不同，所以我覺得不正確．

師：是的，截面相同不等于得到的幾何體就一定相同．

(一位學生對圖3進行修改，得圖5)

生6：我認為這樣分成四部分了，多于三部分，不符合要求．

師：還有更多的評論嗎？

生7：我覺得通過切截兩次，將圓錐或正三棱錐分成三個相同的部分是做不到的．

活動三：探索幾何體截面的形狀

活動組織：與“活動二”相同．

活動材料：圓錐體、圓柱體大木塊各一個，如圖6．

圖6

活動任務：將這兩個幾何體切截，能否得到相同的截面．

活動過程：學生自由到臺前演示切截方法．當?shù)玫降慕孛媸翘厥獾亩噙呅螘r，則進一步明確該多邊形的形狀．

活動四：課堂檢測

全班學生坐成“秧田式”，獨立完成測試題，教師當堂評價．

活動五：課堂小結

師：本節(jié)課我們在三等分圓錐體或正三棱錐時并不成功，那么是不是如生7所說，三等分圓錐體或正三棱錐是一件不可能的事呢？如果是，那么能將它們進行幾等分呢？請大家課后再探索．

1.2 深圳課堂

活動一：認識幾何體及截面的概念

教師利用投影，引導學生認識圓柱、球體等幾何體，引入截面的概念．

活動二：探索圓柱體截面形狀

活動組織：全班共分成8個小組，每小組4人圍坐．

活動材料：每人一段圓柱體香腸、一把小刀．

活動任務：將圓柱體切截，觀察截面的形狀．

活動過程：(1)學生實驗操作；(2)學生展示并解釋截面形狀及切截的方法；(3)教師播放視頻展示截面的所有可能形狀．

師：截面的形狀分別有哪些？

生1：沿底面的直徑位置垂直切截，可得長方形．

生2：橫著切截，可得圓形．

師：橫著切截是什么意思？

生2：沿著垂直于圓柱的高切截．

生3：斜著切截可得半橢圓形，如圖7．

師：怎么得到的？

生3：從上底面開始，斜著切下去，不穿過下底面．

生4：沿著邊緣上的一個點，斜著往下切，不穿過下底面，得到橢圓形，如圖8．

生5：從上底面開始，向下底面切截，便得到一個梯形，如圖9．

圖7

圖8

圖9

生6：可能是梯形，也可能是長方形．

生7：不可能是梯形，截面有兩條邊是曲線，只能說它是近似梯形．

學生自發(fā)掌聲．

活動三：探索正方體截面形狀

活動組織：同上一活動．

活動材料：每人一塊正方體小木塊．

活動任務：思考將正方體切截后的截面形狀，并將截面圖形畫下來．

活動過程：(1)學生獨立探索、畫圖；(2)學生展示并解釋截面形狀及切截的方法；(3)教師播放視頻展示不同的切截方法及截面形狀．

生8：我得到的截面是五邊形．

師：你的切面要經(jīng)過正方體的幾個面？為什么？

生8：因為切面每經(jīng)過正方體的一個面，截面圖形就增加一條邊，經(jīng)過正方體的五個面，得到五條邊，所以是五邊形．

生9：當切面經(jīng)過正方體的六個面時，截面就是六邊形．

生10：根據(jù)面與面相交形成線，切面每經(jīng)過正方體的一個面，截面就增加一條邊，切面經(jīng)過正方體的幾個面，截面就是幾邊形．

學生再次自發(fā)掌聲．

活動四：練習鞏固

課件展示習題，學生口答結果．

活動五：課堂小結

本節(jié)課有什么收獲？我們還留下什么沒解決的問題？

2 課例分析

2.1 教學觀念

觀念決定行動，教師的教學觀決定教師的教育教學行為．此課里，香港的課堂更體現(xiàn)應用數(shù)學的數(shù)學教學觀．如“活動一”里將截面的概念蘊含于操作實驗活動中，“活動三”里將圓錐體、圓柱體截面的形狀蘊含于切截幾何體獲得相同截面這個問題里．同時還重視將數(shù)學與學生的現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，突破本課“探索幾何體截面形狀”這一教學內容的邊界，如“活動二”的三等分幾何體．深圳的課堂則更凸顯理論數(shù)學的特點，課堂重點在于運用數(shù)學知識來解釋生活中的現(xiàn)象、數(shù)學操作實驗的結果，注重挖掘知識的深度．如在研究圓柱體及正方體的截面形狀時，既探索截面的所有可能形狀及切截方法，又重視講道理、講推理．

2.2 內容選擇

我們知道，就數(shù)學課堂教學而言，教什么比怎么教更為重要．深圳此課分別著重研究了圓柱體及正方體這兩種常見幾何體的不同截面的形狀，在此過程中，不僅讓學生說出截面的形狀，還說切截的方法，為學生積累數(shù)學知識、發(fā)展數(shù)學思維服務．香港此課既研究四棱柱、圓錐體、圓柱體、三棱柱、正三棱錐等幾何體截面的形狀，還研究如何將一個幾何體(圓錐體、圓柱體、三棱柱、正三棱錐)進行三等分，將研究截面的形狀及大小蘊含于“等分”幾何體這個任務之中．在研究圓錐體及圓柱體的截面時，不僅研究截面的形狀，還研究如何得到相同的截面，任務豐富且具有較強的挑戰(zhàn)性，有效促進學生的深度學習，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維．

2.3 活動組織

深圳此課的課堂組織形式從開始學生入座就已完全確定下來，課堂采用4人一小組兩相面對的座位方式，教學演示臺(講臺)固定在教室的前面．這種組織方式有利于教師更好的管理課堂，把握學生的課堂參與狀態(tài)，提高課堂教學的效率．香港此課的課堂組織形式更靈活多變，開始時是分小組圍坐，此時演示臺在教室的前面．課堂中段，全班組成一大組，以半圓形圍坐，此時演示臺在半圓形的圓心(即教室的中央)位置．課堂末段，全班學生座位變成了“秧田式”，此時講臺在教室的前面．這種根據(jù)教學需要而變化的課堂組織形式，既有利于共享智慧，促進深度學習，也有利于學生獨立解決問題能力的培養(yǎng)，還有利于同伴之間的交往．但這種多變的的課堂組織形式，有讓課堂產(chǎn)生混亂的風險，所以香港的課堂一般都有助教幫忙．

2.4 資源運用

兩節(jié)課都使用了多媒體課件、實驗器材等教學資源．對于多媒體課件，香港此課主要用來展示截面的概念等陳述性知識．而深圳此課不僅用來展示概念，還用來播放視頻，演示切截的過程及截面形狀，驗證結論．在實驗器材上，香港此課主要使用了木塊及膠帶，除膠帶外，所有的器材均可以重復利用．學生可以隨時對操作(粘貼膠帶的位置)進行修正而不影響實驗的最終效果，操作較為安全，耗費也較低．但這需要學生有較強的空間想象能力，才能真正理解切截的方法及截面的形狀．深圳的課堂使用了火腿腸、立方體木塊及小刀等，除火腿腸外，其它器材均可以重復利用．雖然在用小刀切截火腿腸時，存在一定的安全隱患，以及當切截失敗時，只能更換新的實驗器材(火腿腸)，實驗耗費相對較高，但學生參與切截的實驗過程，有助于學生直觀理解“截幾何體”及“截面”等概念的涵義，以及圓柱、立方體等幾何體截面的形狀．

2.5 評價方式

兩節(jié)課都重視運用師生評價、生生評價等評價方式．從課例中學生的表現(xiàn)可以看到，香港學生在評價同伴時，用語是“我覺得……”，“我認為……”，這是一種能促進人際交往的評價．教師為了鼓勵學生參與，啟發(fā)學生思維，用語較為豐富，如“是的，要注意……”，“還有更多的評論嗎？”“是不是真的如生7所說，……”，等等．這些是一種能促進思維深度參與的積極性評價．深圳學生在課堂上對同伴表現(xiàn)出的評價，更多是“自發(fā)掌聲”或直接發(fā)表不同結果的終結性評價，如“不可能是梯形，……”．教師為鼓勵學生參與，啟發(fā)學生思維，獲得正確結果，主要用評價用語是“他的答案正確嗎？”“結果應是……”，“還有不同的結果嗎？”等．

3 教學思考

3.1 培養(yǎng)與發(fā)展學生的問題解決能力

數(shù)學教學要讓學生“運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．[2]”這需要教師選擇合適的教學內容，創(chuàng)設適合學生最近發(fā)展區(qū)的數(shù)學活動，鼓勵他們親身參與到操作、實驗、觀察、猜測、驗證等活動中去，在做數(shù)學的過程中產(chǎn)生疑問，發(fā)現(xiàn)并提出問題，并通過自主探索、合作交流等學習活動，尋求解決問題的策略與方法，發(fā)展學生的問題解決能力．

就本課例而言，香港此課在環(huán)節(jié)二“三等分幾何體”里，三等分三棱柱、圓柱體，這對學生來說難度不大，但如何三等分圓錐體、正三棱錐呢？對學生來說，這是一個具有極大挑戰(zhàn)性的問題．學生多次嘗試而無法順利解答后，自然會生出疑問：是不是無法對它們進行三等分呢？生7形成猜想后，也會有同伴自然生疑：是真的做不到嗎？如果做不到，那么可以將它們幾等分呢？這樣，學生的問題意識得到了發(fā)展，思維也得到了生長．在“活動三”這環(huán)節(jié)里，如何將圓錐體、圓柱體切截，使能得到相同的截面呢？這是一個符合學生最近發(fā)展區(qū)的問題．學生在思考解決問題的過程中，自然會產(chǎn)生出如下的新問題，如“它們的截面形狀都有哪些可能呢？”“什么情況下截面形狀是相同的呢？”“如何切截才能得到形狀相同的截面呢？”等等．

3.2 培養(yǎng)與發(fā)展學生的應用能力

數(shù)學教學要讓學生“了解數(shù)學的價值，體會數(shù)學與生活之間的聯(lián)系．有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題．[2]”數(shù)學來源于生活，是對現(xiàn)實生活的抽象，同時，數(shù)學廣泛應用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面．這種數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系性，能讓學生充分感受到學習數(shù)學是有現(xiàn)實價值的，也感受到學習數(shù)學是好玩的，提高了學習數(shù)學的興趣．因而，將學生的數(shù)學學習與他們的現(xiàn)實生活建立起密切的聯(lián)系，讓學生在習得數(shù)學知識的過程中，也在運用數(shù)學解決現(xiàn)實生活中的問題，這對豐富、提高他們對數(shù)學價值的認識，具有重要意義．

可以看到，香港此課的“三等分幾何體”活動，這是一個與現(xiàn)實生活有著緊密聯(lián)系的問題，學生可運用現(xiàn)實生活的經(jīng)驗來探索解決此問題，也可將解決此問題的思想方法應用于現(xiàn)實生活的“等分問題”中．像這樣將學生現(xiàn)實生活的經(jīng)驗與解決數(shù)學問題緊密聯(lián)系起來，是培養(yǎng)與發(fā)展學生的數(shù)學應用意識與能力的有效策略．與此同時，學生在思考、討論并多次嘗試解答“三等分幾何體”的問題的過程中，他們觀察、分析切截后所得的部分是否相同，深入思考截面的形狀，不僅獲得了圓錐、正三棱錐截面形狀的體驗，還歸納得到“不能通過切截兩次來三等分圓錐或正三棱錐”，發(fā)展了創(chuàng)新意識．

3.3 培養(yǎng)與發(fā)展學生的推理能力

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》將“邏輯推理”作為數(shù)學學科六個核心素養(yǎng)之一．邏輯推理包括從特殊到一般的歸納推理，以及從一般到特殊的演繹推理．“數(shù)學教育的主要價值，學習數(shù)學的最主要目的是培養(yǎng)人的思維能力，特別是邏輯思維能力，使學生善于思考，有獨創(chuàng)精神．[3]”數(shù)學課堂教學不僅要讓學生經(jīng)歷探索獲得知識的過程，讓學生分享獲得知識的策略、方法，更要讓學生運用已有的知識解釋現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，運用數(shù)學的邏輯方法推理結論的合理性，發(fā)展表達有理有據(jù)的推理能力．

可以看到，深圳此課在“活動二”及“活動三”里，學生不僅解釋操作所得的截面形狀及切截的過程，將截面形狀畫下來，還解釋形成截面的原因，即運用“面與面相交得線”、“有幾條交線就應得到幾邊形”等原理來講推理，對得到的結論進行推理論證，這不僅發(fā)展了學生的直觀想象能力，更培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力，既讓學生講道理，也讓學生講推理，讓學生的數(shù)學思維得到生長，使學生的理性思維品質得到提升．

3.4 培養(yǎng)與發(fā)展學生的評價交往能力

我們知道，評價的價值既體現(xiàn)于其能促進學生的數(shù)學思考與課堂的積極參與，促進學習的真正發(fā)生，也能促進學生的人際交往．課堂作為一個特殊的“小社會”，師生作為構成這個“小社會”中的主要成員，我們在組織學生探索獲得數(shù)學知識、生長智慧的同時，還應促進師生的人際交往，即應幫助學生學會思考、學會交流、學會交往、學會學習．

正如前面分析，香港此課在教學評價上，學生同伴之間的商討式交流，教師的激勵性、啟發(fā)性評價，以及當結論明確時，教師的終結性評價，有利于學生形成清晰明確的數(shù)學概念，也有利于幫助學生建立良好的人際關系．筆者認為，正是教師這種導師式的積極性評價，潛移默化的影響著學生的評價觀念，進而幫助學生建立正確的人際交往觀，發(fā)展共享意識，提高人際交往能力及評價能力，這對促進數(shù)學核心素養(yǎng)落地，極有意義．