鄧小雷，戴溫克，周翎飛，周宜博，傅建中

(1.衢州學院 浙江省空氣動力裝備技術重點實驗室，浙江 衢州 324000；2.浙江大學 浙江省三維打印工藝與裝備重點實驗，浙江 杭州 310027；3.浙江永力達數(shù)控科技股份有限公司，浙江 衢州 324000)

1 引 言

數(shù)控機床主軸系統(tǒng)的熱態(tài)特性對于機床精度的保持影響重大，一直以來都是國內外學者研究的熱點問題[1]。當立柱受熱時，產生的熱變形經過一系列的誤差傳遞鏈傳遞到主軸上，最終通過刀具引起工件的加工誤差。因此，主軸-立柱系統(tǒng)的熱誤差是主軸和立柱熱誤差共同影響的結果，不容忽視[2]。

目前，國內外專家的研究重點在主軸系統(tǒng)熱態(tài)特性的模型建立與分析研究上。Zivkovic等[3]提出了一種非平穩(wěn)變化的溫度和熱變形的主軸系統(tǒng)模型來獲取其熱態(tài)特性。Ma、Liu以及Wu等[4-7]在接觸熱阻上開展了大量的研究工作，以獲得精確熱態(tài)特性分析模型。張耀滿等[8]通過熱和結構耦合技術研究了主軸系統(tǒng)的熱態(tài)特性，并研究了熱的不對稱對于機床加工影響的情況。Jiang等[9]采用雙冷卻系統(tǒng)對立式加工中心的主軸箱進行了熱設計，并用有限元法分析了設計的主軸箱結構模型參數(shù)，最后通過實驗驗證了熱設計模型的有效性。沈佳興等[10]設計了一種適用于BFPC機床的玄武巖纖維樹脂混凝土龍門框架組件，在通過拓撲優(yōu)化設計、正交實驗和參數(shù)優(yōu)化設計相結合的方法得到了龍門框架組件的最優(yōu)拓撲和最優(yōu)參數(shù)之后，對其靜態(tài)性能、動態(tài)性能及熱和熱結構耦合性能進行了仿真分析。Deng等[11]采用混合元胞自動法對包含2個軸承和1個主軸體的機床主軸系統(tǒng)進行了連續(xù)體拓撲優(yōu)化設計，在優(yōu)化系統(tǒng)材料分布的同時優(yōu)化了其熱態(tài)特性。朱利斌等[12]提出一種干切削機床壓縮空氣冷卻系統(tǒng)熱力學模型及熱平衡控制方法，先建立了噴嘴出口處壓縮空氣的溫度、速度及質量流量與壓縮空氣冷卻系統(tǒng)及環(huán)境相關參量的熱力學關系模型，然后建立了干切削機床熱平衡模型，最后以壓縮空氣的溫度、質量流量及供給時間為調控變量，對干切削機床的熱平衡調控方法進行了研究。僅管如此，目前國內外對于主軸-立柱系統(tǒng)的熱態(tài)特性建模和測試研究還是比較缺乏。

本文在綜合分析和計算主軸-立柱系統(tǒng)的熱源、傳熱系數(shù)、結構約束以及散熱面放置情況等因素的基礎上，基于能量守恒定律建立主軸-立柱系統(tǒng)的三維耦合分析模型，并采用有限元仿真分析來獲取研究對象的溫度場、熱變形、熱應力以及熱平衡時間等熱態(tài)特性。為了檢驗模型以及分析結果的有效性，本文設計并搭建數(shù)控機床熱態(tài)特性試驗平臺，開展數(shù)控機床真實案例研究，為下一步提高機床加工精度打下基礎。

2 系統(tǒng)流體-溫度場耦合模型

2.1 機床溫度場導熱微分方程

基于能量守恒定律的有內熱源三維瞬態(tài)溫度場導熱微分方程[13]為：

(1)

式中：T=f(x，y，z，t)為與時間和位置有關的溫度分布函數(shù)；t為時間；c為材料的比熱容；ρ為材料的密度；λ為材料的導熱系數(shù)；q?v為內部熱源強度；x，y，z為直角坐標。

熱問題的基本有限元方程可由熱平衡方程推導求得：

(2)

2.2 熱源計算

主軸-立柱系統(tǒng)的主要熱源有軸承摩擦生熱、主軸電機生熱、切削生熱以及滾珠絲杠及其電機生熱。衡量機床質量的重要標準是機床空轉下的熱態(tài)特性，所以本文研究的是空轉情況下系統(tǒng)的熱態(tài)特性，此情況下切削生熱和滾珠絲杠及其電機生熱可以不考慮。

2.2.1 電機熱流量的計算

主軸系統(tǒng)中的主要熱源來自于電機生熱和軸承發(fā)熱，電機熱流量Ф的計算公式[13]為：

(3)

式中：Nm為電機在一定輸入扭矩和轉速下的功率；η為電機效率；Mm為輸出力矩；n為轉速。

2.2.2 軸承熱流量的計算

根據(jù)Palmgren基于軸承摩擦力矩的測量結果可得軸承的熱流量H[13]為：

H=M×nz×1.047×10-4，

(4)

M=M1+Mv，

(5)

式中：M為軸承的總摩擦力矩；nz為軸承轉速；M1為摩擦損耗；Mv為流體動力損耗。

2.3 傳熱系數(shù)計算

2.3.1 主軸套筒與冷卻液間的傳熱系數(shù)

主軸套筒與冷卻液間的傳熱是系統(tǒng)中最主要的傳熱方式，在強迫對流條件下，對流換熱系數(shù)按下式計算：

(6)

根據(jù)Dittus-Boelter公式計算努謝爾特數(shù)如下：

(7)

式中：d′為發(fā)生對流時圓柱表面的直徑；Nu為努謝爾特數(shù)；Re為雷諾數(shù)；Pr為普朗特數(shù)；加熱流體時N=0.4，冷卻流體時N=0.3；L為特征尺寸，此處為管內對流時的管長；d為管徑。

2.3.2 主軸與空氣間的傳熱系數(shù)

當機床主軸在高速旋轉時，主軸外伸段會與其接觸的空氣產生熱交換，它們之間的傳熱系數(shù)一般可以通過經驗法和風速法來獲得。

2.3.2.1 經驗法

當流體呈層流(Re<105狀態(tài))時，計算流體強迫流動時的平均對流換熱系數(shù)的準則方程為：

(8)

當流體呈紊流(Re≥105狀態(tài))時，準則方程為：

(9)

式中下標m表示以流體和壁面的平均溫度為定性溫度(Tm)的值。

(10)

式中：vf為來流速度；vm為流體的運動黏性系數(shù)。

2.3.2.2 風速法

“風速法”是一種通過測量風速來獲得雷諾數(shù)，從而獲得努謝爾特數(shù)達到計算出對流換熱系數(shù)的方法。因此，如果能夠直接獲得主軸外伸段與空氣間的風速，則可以采用式(11)來獲得雷諾數(shù)，并進一步獲得對流換熱系數(shù)。

(11)

式中：ρ為空氣密度；vw為主軸表面線速度與空氣的相對速度；μ為空氣黏度。

主軸表面線速度與空氣相對速度vw可利用風速儀測得，圖1所示為本文采用的GM8903高精度微風測量風速儀。

圖1 GM8903高精度微風測量風速儀Fig.1 GM8903 high-precision wind measuring anemometer

2.3.3 立柱與主軸箱及電機輻射傳熱

主軸箱和電機的生熱也會通過輻射傳熱形式向立柱進行傳熱，則立柱與主軸箱及電機輻射間的系數(shù)公式一般如下：

(12)

(13)

式中：ε1為系統(tǒng)黑度值；Th為主軸箱體壁面溫度；Tw為車間壁面、屋面的溫度；ω為溫度變化率。

2.3.4 主軸箱和立柱與空氣間的復合傳熱

主軸箱和立柱與它們周圍空氣之間既有對流傳熱，還和環(huán)境中的其他物體間產生輻射傳熱，則復合傳熱系數(shù)為：

αs=αc+αr，

(14)

(15)

在車間，機床主軸箱和立柱的外壁面空氣的對流情況屬于無限空間的自然對流傳熱。利用(Gr，Pr)數(shù)判定紊流和層流，選擇相應的對流準則方程如下：

(16)

(1)立柱和主軸箱水平放置的頂面，對流準則方程為：

當層流105

(17)

當紊流2×107

(18)

(2)立柱和主軸箱水平放置的底面，對流準則方程為：

當層流3×105

(19)

(3)立柱和主軸箱的側面是豎平壁面，對流準則方程為：

當層流104

(20)

當紊流109

(21)

3 主軸-立柱系統(tǒng)實例分析

3.1 分析模型

以某機床廠研制的VM-500T型數(shù)控機床主軸-立柱系統(tǒng)為研究對象(見圖2)，環(huán)境溫度為20.10 ℃，主軸額定轉速為5 000 r/min。主軸系統(tǒng)為直聯(lián)式主軸BT40/120，主軸軸承型號為7008ACTADB/P4，采用KLUBR NBU15油脂潤滑。主軸材料為鎳鉻鉬鋼(SNCM21)，立柱和主軸箱材料為HT300，套筒和軸承內外隔圈材料為鉻鉬鋼(SCM4)，主要屬性[14]如表1所示。

表1 主要部件材料屬性

(a)系統(tǒng)結構簡圖(a)System structure diagram(b)主軸上與空氣有熱交換的軸段(b)Thermal exchang section between spindle and air圖2 主軸-立柱系統(tǒng)結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of spindle-column system

3.2 邊界條件結果

主軸上與空氣有熱交換的軸段有2段(d1，d2)如圖2(b)所示。主軸d1段與空氣間的傳熱系數(shù)分別通過經驗法和風速法獲得，如表2所示，其余邊界條件的計算結果如表3～表6所示。

表2 主軸d1段換熱系數(shù)

表3 各部分熱流量值

表4 主軸各軸段換熱系數(shù)

表5 主軸箱各面上與空氣總傳熱系數(shù)

表6 立柱各面上與空氣總傳熱系數(shù)

3.3 仿真分析結果

利用CAD軟件建立三維模型，將三維模型導入Ansys Workbench中，按照不同零件的尺寸設置合適的網格大小進行劃分，生成共404 550個節(jié)點，180 617個網格。圖3(a)所示為主軸-立柱系統(tǒng)仿真模型穩(wěn)態(tài)分析的溫度場分布云圖。由結果可見，主軸-立柱系統(tǒng)的溫度最高點出現(xiàn)在上端角接觸球軸承上的內圈約為40.52 ℃，溫升為20.42 ℃，此時立柱約有1.18 ℃溫升。為了檢驗分析模型的有效性，將分析穩(wěn)態(tài)分析結構與Fluke熱成像儀測得的結果(如圖3(c))做對比發(fā)現(xiàn)，熱成像儀采樣點的溫度約為25.01 ℃，而穩(wěn)態(tài)分析仿真模型上對應點的(圖3(b)中節(jié)點號為77714)溫度值約為24.56 ℃，兩者值非常接近，由此可見主軸-立柱系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)仿真分析是合理的。

(a)穩(wěn)態(tài)分析溫度場云圖 (a)Temperature field contours of steady-state analysis

(b)局部溫度圖(b)Local temperature contours(c)熱成像儀結果(c)Thermal imager result圖3 主軸-立柱系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)仿真分析與熱成像結果的對比

Fig.3 Temperature distribution contours of spindle-column system steady-state analysis compared with the result of thermal imager

此外，表2中也列出了采用經驗法和風速法求得主軸與空氣間的傳熱系數(shù)，來獲得的d1段的平均仿真溫度值，分別約為28.31 ℃和28.11 ℃，對比采用Fluke熱成像儀測得的平均溫度值約為27.81 ℃，由此可見采用風速法比經驗法更加接近實測值。

4 試 驗

為了進一步驗證主軸-立柱系統(tǒng)熱態(tài)特性分析模型與方法的有效性，并獲得主軸-立柱系統(tǒng)溫度和熱變形隨時間的變化情況，本文搭建了數(shù)控機床熱態(tài)特性試驗平臺。如圖4所示，數(shù)控機床熱態(tài)特性試驗平臺的硬件主要由機床本體、數(shù)控機床主軸智能熱特性測試與補償儀、Fluke熱成像儀、溫度傳感器、電容位移傳感器、GM8903高精度微風測量風速儀、五點法專用夾具和檢驗棒等組成。選擇PLC可編輯邏輯控制器對實驗數(shù)據(jù)進行分析采集和處理。以OMRON公司的CJ2M-CPU11芯片作為主單元，通過芯片自帶的一個RS232端口，拓展RS485串口通訊單元和模擬量輸入單元。溫度采集器使用八路采集模塊，通過連接溫度傳感器，每個采集模塊可同時監(jiān)測8個溫度點，輸出ASCII碼。位移傳感器選用KEYENCE公司的高精度位移傳感器和高精度電渦流傳感器。

圖4 數(shù)控機床熱態(tài)特性試驗平臺Fig.4 Test platform for thermal characteristics of CNC tool machine

參考主軸-立柱系統(tǒng)結構對稱性和穩(wěn)態(tài)仿真分析結果，選取16個測點(室溫1個、立柱2個、床身1個、電機外殼1個、主軸4個、工作臺1個、主軸箱4個、冷卻油液1個)，其中6個測點作為主要分析點，主軸上選取3個，立柱上選取1個，主軸箱上選取2個，如圖5(a)所示。試驗中采用磁吸式熱電阻溫度傳感器，數(shù)據(jù)釆樣間隔為5 s，溫度測點的布置如表7所示。測量從開機開始直到機床達到熱平衡，然后停機冷卻，持續(xù)時間為7 h。

(a)溫度測點布局 (a)Layout of temperature measurement points

(b)熱變形測試示意圖 (b)Thermal deformation test diagram圖5 主軸-立柱系統(tǒng)熱態(tài)特性測點布局圖Fig.5 Layout of measurement points for thermal characteristics of spindle-column system

表7 溫度測點布置

當機床溫升達到最大溫升的95%時，即可認為機床處于熱平衡狀態(tài)[15]，如圖6所示，180 min后主軸-立柱系統(tǒng)可以認為達到了熱平衡狀態(tài)。

圖6 各測點溫度隨時間的變化曲線Fig.6 Temperature history curves of measure points

主軸熱形變以檢驗棒為測量目標，檢驗棒直徑為20 mm，材料為45號鋼，用BT20刀柄彈簧夾頭夾持安裝在主軸上。位置傳感器的安裝需要制作固定座，在固定座設計開孔和傳感器夾持裝置，方便調節(jié)傳感器探頭與被測對象間的距離。x，y向的電容位移傳感器應該對準檢驗棒的中軸線，z向傳感器安裝要求傳感器探頭對準檢驗棒的軸線，如圖5(b)所示。試驗中選用的電容位移傳感器的測量范圍為250 μm，最小接近125 μm，分辨率為180 nm。在使用前，該傳感器需要根據(jù)被測對象的狀況進行在線標定。

圖7～圖8所示為主軸-立柱系統(tǒng)各測點實驗獲得的溫度與仿真模型分析獲得的結果隨時間的變化曲線。

圖7 主軸箱及立柱測點的仿真與實驗溫度隨時間的變化曲線

Fig.7 Temperature history curves for headstock and column in simulation and test

圖8 主軸測點的仿真與實驗溫度隨時間的變化曲線

Fig.8 Simulation and test temperature history curves for test points in spindle

表8中列出了各測點實驗與仿真模型獲得的結果。從表中可見，各測點數(shù)據(jù)中最大絕對誤差和最大相對誤差分別為0.71 ℃，2.94%，仿真模型分析結果與實測結果還是比較接近的。

表8 溫度測點實驗與仿真結果對比

Tab.8 Compasion of test and simulation results for temperature measuring points

測點仿真值/℃實測值/℃|絕對誤差|/℃相對誤差/%T125.8225.600.220.86T225.2325.610.381.48T321.2821.820.542.47T424.3523.880.471.97T524.8324.120.712.94T625.0124.320.692.84

5 溫度-結構場耦合分析

以上節(jié)中獲得的溫度場分布作為主軸-立柱系統(tǒng)的溫度-結構場耦合分析的載荷，加上系統(tǒng)的位移約束條件，電機重量為410 N，皮帶傳動部分的扭矩為2.1 N·m，并考慮重力影響，可以進行系統(tǒng)的溫度-結構場耦合仿真分析。

圖9為主軸-立柱系統(tǒng)的有限元耦合仿真分析結果。圖9(a)中可看出系統(tǒng)熱平衡后z向最大的變形量約為28.50 μm出現(xiàn)在主軸頂端外側，此時檢驗棒底端的變形量約為15.61 μm，其中檢驗棒的變形量約為7.85 μm，立柱上最大變形量約為21.78 μm。由圖9(b)可知，最大應力約為203 MPa出現(xiàn)在主軸墊圈處，其材料(45號鋼)的屈服強度為355 MPa，安全系數(shù)為1.5。

(a)熱變形云圖 (a)Thermal deformation contours

(b)應力分布云圖 (b)Stress distribution contours圖9 主軸-立柱系統(tǒng)的溫度-結構場耦合仿真分析結果

Fig.9 Temperature-structure field coupling analysis results of spindle-column system

通過數(shù)控機床熱態(tài)特性試驗平臺，每10 s采樣一次，最終測得主軸熱變形(D)隨時間的變化情況，如圖10所示。主軸在轉速5 000 r/min的轉速下，180 min后達到熱平衡時的主軸上安裝檢驗棒底端處傳感器測得的z向最大位移量約為17.10 μm。

圖10 z軸位移隨時間的變化曲線Fig.10 Thermal deformation history record curves inz direction

6 結 論

本文基于能量守恒定律建立了一種主軸-立柱系統(tǒng)的流體-溫度場耦合分析模型，用風速法來獲得主軸與空氣間的傳熱系數(shù)，并通過仿真和實驗手段將風速法獲得的結果與經驗法的進行了對比，結果表明風速法與真實情況更為一致。設計并搭建了數(shù)控機床熱態(tài)特性試驗平臺，基于主軸-立柱系統(tǒng)熱態(tài)特性分析模型的有效性獲得了系統(tǒng)的熱平衡時間、溫度場分布情況以及檢驗棒底端處熱變形情況等熱態(tài)特性。結果表明，通過本文建立模型所獲得的熱變形與實驗獲得結果之間的絕對誤差和相對誤差分別為1.49 μm，8.71%。本文提出的主軸-立柱系統(tǒng)分析與測試方法可以快速、有效地預測系統(tǒng)熱態(tài)特性。