付榮榮, 李東玉, 田永勝, 王 涵

(燕山大學 電氣工程學院,河北 秦皇島 066004)

1 引 言

有能量約束、復雜、不穩(wěn)定、非線性等特性是隨動系統(tǒng)的典型特點[1]。這就要求構建控制系統(tǒng)的時候在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,盡可能地提高系統(tǒng)反應速度和跟隨信號的準確性。在實際工程中面對各種錯綜復雜隨動系統(tǒng),通過研究不同的控制算法在控制系統(tǒng)中的效果來驗證該算法的理論可行性和實用性。驗證過程需要一個典型的平臺,既可以有效反映算法的優(yōu)劣程度,同時可以直觀地體現(xiàn)控制效果,并且價格低廉,結構簡單,易于實現(xiàn)?；谝陨闲枰?本文提出了一種基于現(xiàn)實生活的典型模型,類似于現(xiàn)實世界中保證水無溢出前提下杯子的水平移動過程。該過程被抽象為用一個碗運送一顆球,球在碗中振蕩但移動過程球不能掉出碗外。該模型是一個典型的隨動系統(tǒng),它要求在臨界能量值之下控制被控對象,所包含的耦合性、約束限制等特點都是在研究有約束隨動系統(tǒng)時所關心的問題,因此對該模型的建立與分析具有重要的意義[2～5]。

2 系統(tǒng)建模

碗球系統(tǒng)的數(shù)學分析模型如圖1所示,在碗受到水平力F的作用時,球和碗共同運動并產生偏角θ,球除了受到自身重力外,碗對球還有一個徑向的支持力T。被控系統(tǒng)中碗質量M=5 kg,F=1 N(外力),球質量m=1 kg,碗半徑l=0.5 m。對球的快速控制與定位問題可以抽象為：小碗在受到外力F(t) 作用時,使得小碗在最短的時間ts由A點運動到B點,且擺球擺角θ小于系統(tǒng)允許的最大擺角0.5 rad。

圖1 碗球系統(tǒng)的數(shù)學分析模型Fig.1 Mathematical Model of Cup-ball system

基于動力學模型,采用基于達朗伯原理-動靜法求解該系統(tǒng)的非線性微分方程,并完成系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述[6,7]及能控能觀性分析。

以球為研究對象建立廣義坐標系,如圖2所示,取x、θ為廣義坐標對建立運動微分方程有：

(1)

圖2 小球受力分析圖Fig.2 Force analysis of ball

根據達朗伯原理對球進行受力分析,它受重力mg,繩張力T,法向慣性力Fn,切向慣性力Ft,水平慣性力FI。在水平方向上建立平衡方程有：

Tsinθ-FI+Ftcosθ-Fnsinθ=0

(2)

(3)

則：

(4)

在切線方向上建立平衡方程有：

(5)

(6)

(7)

(8)

該系統(tǒng)的能觀性判別矩陣為：

(9)

其中:M、m為有限值則：|Qo|≠0,rankQo=n系統(tǒng)完全能觀。

系統(tǒng)的能控性判別矩陣為：

(10)

其中M、l為有限值則：|Qc|≠0,rankQc=n,系統(tǒng)完全能控。

3 極點配置的狀態(tài)反饋控制器設計

極點配置步驟：

1) 判斷系統(tǒng)是否完全能控。根據上文討論系統(tǒng)在l和M為有限值的情況下完全能控。

2) 推導寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的能控標準型。所研究的碗球系統(tǒng)的特征方程為：

(11)

系統(tǒng)是能控的則存在線性非奇異變換：

(12)

系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式化成：

(13)

其中:

(14)

4) 根據給定的期望特征值,確定閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項式f(λ′)。

5) 比較f(λ)和f(λ′)各對應項系數(shù)得,

(15)

(16)

根據上述步驟對系統(tǒng)進行極點配置,引入狀態(tài)反饋律u=-Kx+v,可得閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程為：

(17)

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)結構圖Fig.3 Structure of close-loop system

4 遺傳算法優(yōu)化的LQR最優(yōu)控制法

4.1 LQR最優(yōu)控制

LQR最優(yōu)控制中,一個最關鍵的問題就是二次型性能指標中加權矩陣Q和R的選取。由系統(tǒng)方程：

(18)

建立最佳控制向量的矩陣K：

u(t)=-Kx(t)

(19)

定義該系統(tǒng)的性能指標為：

(20)

式中X*QX為運動狀態(tài)約束的二次型,其中Q為運動約束矩陣,對稱半正定矩陣。u*Ru為控制輸入約束的二次型,其中R為約束控制矩陣,對稱正定矩陣。把加權矩陣選為對角矩陣,即Q=diag(q1,q2,q3,q4)。這樣性能指標J可以表示為：

(21)

由式(21)可以看出,qi是對xi的平方的加權,R是對控制量u平方的加權。

4.2 遺傳算法對加權矩陣Q、R的優(yōu)化

遺傳算法(Genetic algorithm,GA)是一種自適應全局優(yōu)化概率搜索算法。利用遺傳算法對線性二次最優(yōu)控制的加權陣和進行優(yōu)化[8～10]。具體步驟如圖4所示。

圖4 遺傳算法對加權矩陣優(yōu)化流程圖Fig.4 Flow chart of weighted matrix optimization by GA

5 仿真結果的對比分析

極點配置的狀態(tài)反饋控制器和遺傳算法優(yōu)化的LQR控制的仿真圖分別如圖5所示。圖5中在單位階躍作用下,2種控制方法的響應曲線的大致趨勢是一致的。碗位移的輸出大概是一個常數(shù)1,達到了碗定位的效果。而擺線傾角最大值都小于系統(tǒng)允許最大擺動角0.5rad,并且最終輸出都逐漸趨向于0,達到了控制小球擺動防止小球滑落的控制要求,均很好地改善了控制系統(tǒng)性能。對圖5進行對比計算分析可得如表1數(shù)據。

圖5 2種控制方法仿真結果圖Fig.5 Simulation results of two control methods

具體的,二者的控制效果存在著差別。極點配置的狀態(tài)反饋控制對位移和擺角控制的最大動態(tài)偏差分別為0.05 m和0.29 rad,遠小于遺傳算法優(yōu)化LQR控制的0.08 m和0.35 rad,說明其具有更好的魯棒性和瞬態(tài)特性。而遺傳算法優(yōu)化的LQR控制調節(jié)時間也要遠小于前者尤其是對球擺角的控制方面,LQR控制器的調節(jié)時間為2.2 s,而極點配置法為2.8 s,且前者具有更小的震蕩次數(shù),這表示LQR控制器的控制效率更高且具有較優(yōu)的穩(wěn)態(tài)特性。在參數(shù)選擇方面,極點配置的狀態(tài)反饋控制器從系統(tǒng)的整體入手,方法簡單但需要反復進行極點配置計算,尋求最優(yōu)解。而遺傳算法優(yōu)化LQR控制控制器可以有針對性地重點考慮x,θ在u控制下的變化規(guī)律,并根據系統(tǒng)的實際情況通過迭代獲得誤差更小的最優(yōu)解,參數(shù)的選擇更優(yōu)針對性,可移植性高,便于應用。

表1 2種控制方法控制效果對比Tab.1 Comparison of two control methods

6 結 論

本文提出了一種新的典型的隨動系統(tǒng),并利用達朗伯靜力學的方法對系統(tǒng)進行了建模。在討論系統(tǒng)能控能觀性的基礎上,分別設計了極點配置的狀態(tài)反饋控制器和遺傳算法優(yōu)化下的LQR控制器,并利用Matlab進行了控制效果的仿真并對比分析,通過比較可知極點配置的狀態(tài)反饋控制器具有更好的魯棒性和瞬態(tài)特性,對于對參數(shù)變化和超調量要求比較高的系統(tǒng)有更好的控制效果。而遺傳算法優(yōu)化的LQR控制具有更好的穩(wěn)態(tài)特性,對于對響應時間以及調節(jié)時間要求比較高的系統(tǒng)有更好的控制效果。同時在參數(shù)選擇方面相比于極點配置試特征值的方法,遺傳算法優(yōu)化LQR控制控制器更有針對性,便于實際的應用操作,是搭建控制系統(tǒng)的良好選擇。