原冠秀，高 巖，王宏杰

（1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093；2.上海健康醫(yī)學(xué)院 文理學(xué)院，上海 201318）

隨著現(xiàn)代工業(yè)技術(shù)的快速發(fā)展，人類生活變得越來越方便，如智能家居、電動(dòng)汽車等的使用。然而，方便的同時(shí)也給世界能源可持續(xù)發(fā)展帶來了巨大的挑戰(zhàn)，尤其越來越多的電器產(chǎn)品和工業(yè)的超負(fù)荷運(yùn)營，是當(dāng)前世界電網(wǎng)所面臨亟待解決的問題。在這種背景下，智能電網(wǎng)應(yīng)運(yùn)而生，智能電網(wǎng)是連接發(fā)電廠、供電商、用戶之間的依靠先進(jìn)的通信和計(jì)量設(shè)施建立起來的電力網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

1 研究背景

由于電力能源自身的易損性和難存儲(chǔ)性，要求電力市場(chǎng)供電側(cè)和需求側(cè)達(dá)到均衡時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)能源的利用最大化。在電力市場(chǎng)運(yùn)營中，實(shí)時(shí)電價(jià)已經(jīng)是智能電網(wǎng)需求側(cè)管理的重要手段之一。在實(shí)時(shí)電價(jià)問題的解決過程中，目前國內(nèi)外研究主要采用兩種方法：一種是利用博弈論方法均衡供電側(cè)和需求側(cè)之間的關(guān)系，制定定價(jià)機(jī)制；另一種是利用最優(yōu)化方法研究社會(huì)福利最大化問題[1-2]。現(xiàn)有利用最優(yōu)化方法來研究實(shí)時(shí)電價(jià)的文獻(xiàn)，大多數(shù)考慮的是用戶效用函數(shù)為單一類型，而現(xiàn)實(shí)生活中，由于用戶種類繁多，他們的消費(fèi)模式和偏好不同，效用函數(shù)會(huì)呈現(xiàn)多樣化。文獻(xiàn)[3]研究了基于用戶效用最大化和供電商成本最小化的社會(huì)福利最大化模型，通過分布式算法進(jìn)行對(duì)偶分解，并利用梯度投影法給出了供電商與用戶之間的實(shí)時(shí)電價(jià)更新算法。文獻(xiàn)[4-5]討論了不同環(huán)境中智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)電價(jià)的需求側(cè)管理，提出了一些啟發(fā)式算法，解決供電商和用戶之間的用電策略，如粒子群算法、模擬退火法、ADMM算法等，它們所考慮的效用函數(shù)都為單一類型。而文獻(xiàn)[6-7]雖然針對(duì)不同電器的使用情況和耗能類型，將電器分為彈性、半彈性和非彈性，仍然沒有考慮電器分類所帶來的不同類型的效用函數(shù)。文獻(xiàn)[8-12]考慮了在實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)價(jià)格算法中，由于可再生資源和傳輸損耗對(duì)住宅需求響應(yīng)的不確定性，研究了如何鑒別、剔除不穩(wěn)定供電商和惡意用戶，但是，并沒有考慮電力市場(chǎng)實(shí)時(shí)電價(jià)隨效用函數(shù)的變化。另外，一些文獻(xiàn)還研究了多目標(biāo)的實(shí)時(shí)電價(jià)優(yōu)化模型，考慮含風(fēng)力和時(shí)間等多重約束耦合的實(shí)時(shí)電價(jià)及價(jià)格預(yù)測(cè)模型，利用當(dāng)市場(chǎng)供需平衡時(shí)才能實(shí)現(xiàn)出清價(jià)格的原理，得到了實(shí)時(shí)電價(jià)的更新算法[13-15]。

在利用最優(yōu)化方法解決實(shí)時(shí)電價(jià)問題中，大多數(shù)的研究都是基于效用函數(shù)最大化、成本函數(shù)最小化建立的?？紤]單一類型效用函數(shù)的社會(huì)福利最大化模型，由于效用函數(shù)是凹函數(shù)，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題為凸優(yōu)化，利用Lagrange 對(duì)偶分解法、牛頓法、梯度投影法等方法求解，得到Lagrange乘子，即實(shí)時(shí)電價(jià)的影子價(jià)格[3,16]。但是，在現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，邊際效益在有些情況下是增加的，如中國移動(dòng)通訊，隨著用戶的增多，邊際效益是增加的，也就是說，效用函數(shù)是非凹函數(shù)。類似的，本文考慮多類用戶多類效用函數(shù)并存的社會(huì)福利最大化模型，該模型不再是凸優(yōu)化問題，不能按照現(xiàn)有的方法解決。文獻(xiàn)[17]中提出了邊際效用非遞減用戶的實(shí)時(shí)電價(jià)方法，利用增廣Lagrange 乘子法得到了影子價(jià)格的存在唯一性。文獻(xiàn)[18]考慮了電器分類下不同類型的效用函數(shù)，文獻(xiàn)[19-20]利用Karush-Kuhn-Tucher（KKT）系統(tǒng)解決該類實(shí)時(shí)電價(jià)問題，并得到了較好的效果。

本文考慮同時(shí)含有凹效用函數(shù)和非凹效用函數(shù)兩種情形并存的社會(huì)福利最大化模型，根據(jù)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中出清價(jià)格滿足市場(chǎng)供需平衡原理，通過求解KKT 最優(yōu)性條件，證明了Lagrange 乘子的存在唯一性，進(jìn)一步得到了一種基于KKT 系統(tǒng)的分布式實(shí)時(shí)電價(jià)更新算法。在求解過程中，供電側(cè)的最優(yōu)產(chǎn)電量與用電側(cè)的最優(yōu)用電量可以分別計(jì)算得到，這樣也保護(hù)了用戶的隱私。最后將數(shù)值仿真結(jié)果與固定電價(jià)算法下的社會(huì)福利相比較，證實(shí)了該算法的合理性、有效性。

2 系統(tǒng)模型

2.1 效用函數(shù)

效用函數(shù)是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的概念，通常用來表示消費(fèi)者在消費(fèi)中所獲得的效用與所消費(fèi)的商品組合之間數(shù)量關(guān)系的函數(shù)，以衡量消費(fèi)者從消費(fèi)既定的商品組合中所獲得滿足的程度。效用函數(shù)有多種形式，這里按照用戶不同，分兩種情形討論。

對(duì)于一般用戶來說，隨著電力消費(fèi)越來越高，用戶的滿意度隨之增長(zhǎng)，但是，到一定程度會(huì)達(dá)到飽和，適合采用凹效用函數(shù)，即(x,ω)≤0。如對(duì)數(shù)函數(shù)、分片線性函數(shù)、二次函數(shù)等，本文采用如下二次函數(shù)[17]：

式中：x代表用戶的用電量，不同用戶不同時(shí)間段彼此獨(dú)立；α為預(yù)先給定的參數(shù)，α ≥0；ω代表用戶滿意度參數(shù)，隨著時(shí)間、溫度等變化，各個(gè)用戶之間也各不相同。

對(duì)于一些大工業(yè)、商業(yè)用戶，由于電力消費(fèi)滿意度不同，效用隨著產(chǎn)值的改變而變化很大，在一定的電力消費(fèi)階段，效用函數(shù)值的增加速度會(huì)隨著電力消費(fèi)水平迅速增加，如果仍采用凹效用函數(shù)，不再貼近實(shí)際生產(chǎn)狀況。根據(jù)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，選取適當(dāng)?shù)姆前夹в煤瘮?shù)更加貼切。如S 型函數(shù)，即Sigmoid 函數(shù)[21]：

式中，a，b為預(yù)先給定的參數(shù)。

Sigmoid 函數(shù)是單調(diào)連續(xù)增函數(shù)，表示一些大用戶在用電量過低或過高時(shí)效用變化緩慢，在用電量適宜的階段，效用變化迅速。注意到參數(shù)b為函數(shù)的拐點(diǎn)，即

2.2 成本函數(shù)

假設(shè)供電商每次發(fā)電成本與產(chǎn)生的能量數(shù)量是單獨(dú)相關(guān)的，可由成本函數(shù)來表示。通常成本函數(shù)是一個(gè)單調(diào)增加的嚴(yán)格凸函數(shù)，目前普遍采用的成本函數(shù)為二次函數(shù)，即

式中：ak，bk，ck為預(yù)先給定的參數(shù)，ak＞0，bk,ck≥0，隨著時(shí)段不同而變化；Lk為時(shí)段k內(nèi)的產(chǎn)電量。

2.3 優(yōu)化問題

假設(shè)在某個(gè)區(qū)域電力系統(tǒng)中有一個(gè)供電商、多個(gè)用戶。N為所有用戶集合，每個(gè)用戶i∈N,，其中，Nc代表采用凹效用函數(shù)的用戶集合，Ninc代表采用非凹效用函數(shù)的用戶集合。實(shí)時(shí)電價(jià)理論上指某一時(shí)刻的費(fèi)用，為了方便起見，將一個(gè)時(shí)間周期（如一天24 h）分為k個(gè)時(shí)段（如24 個(gè)時(shí)段），記K={1,2,···,k}為所有時(shí)段的集合。符號(hào)表示消費(fèi)者在第 個(gè)時(shí)段的用電量，滿足，其中，表示用戶i在第k個(gè)時(shí)段最小用電量，即不斷電的情況下滿足基本的生活要求，表示用戶i在第k個(gè)時(shí)段所有電器充分利用的最大用電量。符號(hào)Lk表示第k個(gè)時(shí)段供電商的產(chǎn)電量，它滿足表示第k個(gè)時(shí)段內(nèi)最小和最大產(chǎn)電量，要求能夠提供在第k個(gè)時(shí)段所有用戶的最小用電量，保障基本生活要求，即

在整個(gè)電力市場(chǎng)中，從社會(huì)福利最大化角度考慮，基于兩個(gè)目的：最大化所有用戶的效用之和，同時(shí)最小化供電側(cè)的成本，從而建立如下模型：

式（4）中目標(biāo)函數(shù)為社會(huì)總福利，第一個(gè)約束條件含義為在每一時(shí)段，電力市場(chǎng)不斷電的情況下，所有用戶側(cè)的用電總量不會(huì)超過供電側(cè)的產(chǎn)電量。

3 模型求解

3.1 模型分析與Lagrange 乘子的性質(zhì)

在電力市場(chǎng)的消費(fèi)過程中，每個(gè)時(shí)段的電力消耗可以看成是完全獨(dú)立的，用戶彼此之間也是獨(dú)立的，這樣整個(gè)社會(huì)福利最大化問題就可以轉(zhuǎn)化為只需考慮某一個(gè)時(shí)段的社會(huì)福利最大化問題，整個(gè)社會(huì)福利最大化模型可以被分為k個(gè)子問題：

求解問題（5）有多種方法，如集中式內(nèi)點(diǎn)法、梯度投影法[3]、牛頓法[19]等。事實(shí)上，優(yōu)化問題的Lagrange 乘子，在電力市場(chǎng)實(shí)際問題中代表電價(jià)的影子價(jià)格，它反映了社會(huì)資源配置達(dá)到最優(yōu)的一種價(jià)格，用來指導(dǎo)供電商調(diào)整電價(jià)。因此，可以通過求解優(yōu)化問題（5）的KKT 條件，尋求Lagrange 乘子，即影子價(jià)格。定理1 首先給出優(yōu)化問題（5）的Lagrange 乘子是存在且唯一的。

定理1[17]假設(shè)優(yōu)化問題（5）中效用函數(shù)是連續(xù)可微的，由式（1）和式（2）給出，成本函數(shù)Ck(Lk)由式（3）給出，則優(yōu)化問題（5）在最優(yōu)點(diǎn)的Lagrange 乘子存在且唯一。

定理1 說明優(yōu)化問題（5）的Lagrange 乘子存在且唯一，由于優(yōu)化問題的約束條件都是線性的，滿足線性獨(dú)立約束規(guī)格[22-23]，從而滿足KKT 條件，這樣就可以通過求解KKT 系統(tǒng)來進(jìn)一步求解Lagrange 乘子，即實(shí)時(shí)電價(jià)的影子價(jià)格。

3.2 分布式算法

考慮社會(huì)福利最大化問題（5）對(duì)應(yīng)的KKT 系統(tǒng)：

其中，第一個(gè)約束的Lagrange 乘子 λk代表了實(shí)時(shí)電價(jià)的影子價(jià)格，用于指導(dǎo)供電商調(diào)整電價(jià)。產(chǎn)電量約束條件的Lagrange 乘子為，用電量約束條件的Lagrange 乘子為。

用戶側(cè)和供電側(cè)的邊際效用和邊際成本為

根據(jù)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，當(dāng)電力水平目前沒有達(dá)到飽和的情況下，市場(chǎng)供電量與需求量達(dá)到平衡時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格為出清價(jià)格[21]，從而建立實(shí)時(shí)電價(jià)迭代更新公式為

由式（9）可知，當(dāng)電力市場(chǎng)的供電量和需求量保持一致時(shí)，即供需平衡時(shí)，算法收斂，此時(shí)為影子價(jià)格的最優(yōu)解，指導(dǎo)供電商調(diào)整電價(jià)，得到市場(chǎng)出清價(jià)格。

定理2實(shí)時(shí)電價(jià)迭代式（9）中每個(gè)用戶的用電量和產(chǎn)電量Lk可以分別由下列公式：

給出。

證明a.當(dāng)產(chǎn)電量或者用電量達(dá)不到最大或最小值時(shí)，由式（6c）可知，產(chǎn)電量約束條件的Lagrange 乘子取值為0，將式（7）代入式（6a）可得，此時(shí)產(chǎn)電量為，這里代表邊際成本函數(shù)mc(Lk)的反函數(shù)；

進(jìn)一步整理，對(duì)于供電側(cè)的產(chǎn)電量可以由式（10）給出。同樣分析需求側(cè)的用電量、邊際效用與影子價(jià)格的關(guān)系，可以得到需求側(cè)的用電量可以由式（11）給出。

給定某一時(shí)段k的第t次迭代的電價(jià)，利用式（10）計(jì)算出供電側(cè)的產(chǎn)電量，利用式（11）計(jì)算用戶側(cè)的用電量，代入式（9），更新實(shí)時(shí)電價(jià)。這樣，供電側(cè)的產(chǎn)電量和用電側(cè)的用電量就可以分開計(jì)算，保護(hù)了用戶的隱私。

根據(jù)以上討論，現(xiàn)給出實(shí)時(shí)電價(jià)更新算法。

算法1（用戶側(cè)）：

步驟1當(dāng)k∈K時(shí)，對(duì)所有用戶i∈N，初始化

步驟2若t∈T，從供電商處接收電價(jià)；

步驟3利用式（11）更新用電量；

步驟4將用電量的信息傳遞給供電商。

算法2（供電側(cè)）：

步驟1當(dāng)k∈K時(shí)，初始化

步驟2若t∈T，

b.利用式（10）更新產(chǎn)電量Lk；

步驟3若停止準(zhǔn)則成立，則算法停止；否則，重復(fù)步驟b—d。

前面利用KKT 條件的結(jié)論給出了供電側(cè)和用戶之間的用電策略，在算法中，實(shí)時(shí)電價(jià)的更新只需要知道用戶側(cè)的用電量和供電側(cè)的產(chǎn)電量，實(shí)現(xiàn)了供電側(cè)和用戶側(cè)分離，無需知道每個(gè)用戶的效用情況，保護(hù)了用戶的隱私。該算法不僅適用于采用凹效用函數(shù)的用戶，同樣也適用于部分采用非凹效用函數(shù)的大工業(yè)、商業(yè)用戶。

4 數(shù)值仿真

4.1 參數(shù)設(shè)置

假設(shè)所考慮的電力系統(tǒng)有1 個(gè)供電商、10 個(gè)用戶，其中，8 個(gè)用戶采用二次效用函數(shù)，2 個(gè)用戶采用Sigmoid 效用函數(shù)。一天時(shí)間分為24 個(gè)時(shí)段。這里，成本函數(shù)參數(shù)取值ak=0.01，bk=0，ck=0。效用函數(shù)U1中取參數(shù)α=0.3，效用函數(shù)U2中取參數(shù)a=2，b=15，ω∈[1,4]隨機(jī)選取，一旦取定，在一個(gè)小周期內(nèi)固定，初始電價(jià)λ0=0.56，終止參數(shù)ε=0.01。

將仿真結(jié)果與固定電價(jià)下的社會(huì)福利進(jìn)行了比較，在固定電價(jià)算法中，效用函數(shù)的參數(shù)取所有用戶參數(shù)的最大值，即ωmax=4，固定電價(jià)利用公式[3]λk=ωmax-Lkα/N計(jì)算得到。

4.2 結(jié)果分析

圖1 給出了分布式算法下每個(gè)時(shí)段實(shí)時(shí)電價(jià)的變化情況，圖2 給出了實(shí)時(shí)電價(jià)下供電側(cè)的產(chǎn)電量和用電側(cè)的總用電量的變化情況，說明了當(dāng)市場(chǎng)產(chǎn)電量與總用電量達(dá)到平衡時(shí)，實(shí)時(shí)電價(jià)得到最優(yōu)值，即市場(chǎng)出清價(jià)格。

從圖3 可以看出，在某一時(shí)間段供電側(cè)的產(chǎn)電量、用電側(cè)的總用電量、實(shí)時(shí)電價(jià)在迭代14 次以后，都達(dá)到了收斂，說明了分布式算法的有效性。

圖1 一天實(shí)時(shí)電價(jià)Fig.1 Electricity real-time price of a day

圖2 每時(shí)段產(chǎn)電量與總用電量Fig.2 Electricity production and consumption of a day

圖3 某時(shí)段總用電量、產(chǎn)電量和實(shí)時(shí)電價(jià)的迭代次數(shù)Fig.3 Electricity consumption and production and the iteration times for the real-time electricity price in a certain time period

圖4 比較了分布式實(shí)時(shí)電價(jià)算法和固定電價(jià)算法下的社會(huì)福利最大值，可以看出，每個(gè)時(shí)段實(shí)時(shí)電價(jià)下的社會(huì)福利值都大于固定電價(jià)下的社會(huì)福利最大值，說明實(shí)時(shí)電價(jià)的優(yōu)越性。

考慮某一個(gè)用戶的福利，用其效用減去所付費(fèi)用來表示：

圖4 實(shí)時(shí)電價(jià)與固定電價(jià)下的社會(huì)福利值Fig.4 Social welfare value under real-time price and fixed price

式中，p為實(shí)時(shí)電價(jià)。

圖5 以用戶3 為例，說明了在每個(gè)時(shí)段實(shí)時(shí)電價(jià)算法下的個(gè)體用戶福利都要高于在固定電價(jià)算法下的福利。

圖6 和圖7 是考慮10 個(gè)用戶分別采用不同效用函數(shù)進(jìn)行比較，其中，前8 個(gè)用戶采用的是二次凹效用函數(shù)，9，10 用戶采用的是Sigmoid 非凹效用函數(shù)。在某一個(gè)時(shí)段中，雖然實(shí)時(shí)電價(jià)下的效用都大于固定電價(jià)下的效用，但是，從圖6 中可以看出，采用Sigmoid 非凹效用函數(shù)的用戶9 雖然用電量不為0，但是，圖7 中的效用卻接近于0，其他時(shí)段也有類似情形，這說明僅僅考慮耗電量比例公平對(duì)于這些用戶是不公平的，這也是作者下一步將要解決的問題。

圖5 兩種電價(jià)下用戶3 的福利Fig.5 Social welfare of the user 3 under two price mechanisms

圖6 時(shí)段8 實(shí)時(shí)電價(jià)下所有用戶用電量Fig.6 All users' electricity consumption under the real-time electricity pricing in eighth time period

圖7 時(shí)段8 兩種電價(jià)下所有用戶的效用Fig.7 Utility of all users under two price mechanisms in eighth time period

5 結(jié)束語

針對(duì)智能電網(wǎng)系統(tǒng)具有不同類型效用函數(shù)的用戶，建立了采用凹效用函數(shù)和Sigmoid 非凹效用函數(shù)兩類用戶的社會(huì)福利最大化模型，研究了實(shí)時(shí)電價(jià)問題。在已有研究對(duì)用戶僅考慮單一類型效用函數(shù)或分類后不同效用函數(shù)基礎(chǔ)上，重新考慮分類為凹效用和非凹效用函數(shù)進(jìn)行研究。由于所研究的社會(huì)福利最大化模型是非凸優(yōu)化問題，是NP 難的，本文根據(jù)市場(chǎng)出清價(jià)格原理，通過研究該模型的KKT 最優(yōu)性條件，得到了實(shí)時(shí)電價(jià)影子價(jià)格的迭代方法。整個(gè)算法只需知道用戶的用電量和供電商的產(chǎn)電量，實(shí)現(xiàn)了供電側(cè)和用電側(cè)的分離，既得到了分布式實(shí)時(shí)電價(jià)更新算法，又保護(hù)了用戶的隱私。仿真結(jié)果證實(shí)了算法的有效性。結(jié)果顯示，對(duì)于非凹效用函數(shù)的用戶僅考慮需求比例存在不公平的現(xiàn)象，這也明確了下一步研究的方向。