王 治，萬育基，余志先

（1.上海理工大學 理學院，上海 200093；2.上海師范大學 數(shù)理學院，上海 200234）

1 問題的提出

雖然狀態(tài)依賴時滯的微分方程（SD-DDE）可以追溯到19 世紀，但該類型方程研究由于在各種情況下的頻繁運用而再一次成為研究熱點，見文獻[1-4]。

Lv 等[3]研究了一種狀態(tài)依賴時滯的擴散階段結(jié)構(gòu)模型，并得到了大波速下的行波解的存在性。Lin 等[4]進一步研究了狀態(tài)依賴時滯的反應擴散方程：

的行波解的存在性，其中u(x,t)代表時刻t在x處的種群密度。

行波解的概念在1937 年由Kolmogorov 等[5]提出，用來解釋動物基因的傳播過程。行波解現(xiàn)象不僅存在于種群模型中，也存在于物理、化學、生物及神經(jīng)網(wǎng)絡等領域，見文獻[3-5]。行波解也可以用來解釋自然界中傳播和震動現(xiàn)象，因而具有重要的實際意義。

盡管方程（1）中Laplacian 擴散模型應用廣泛，但它表示的生態(tài)系統(tǒng)的一個重要缺點是這種擴散是一個局部擴散，這表明種群中的個體只能影響到局部范圍?？朔@類問題的常用方法是用卷積算子或積分微分方程來研究擴散系統(tǒng)，見文獻[6-7]。Wan 等[8]研究狀態(tài)依賴時滯的非局部的種群模型

的行波解的存在性，其中u(x,t)代表在時刻t位置x處的種群密度，J*u-u是 一個非局部擴散算子，定義為若J(x-y)是從y位置跳躍到x位置的概率分布，則J*u代表個體從所有其他位置到x位置的種群數(shù)量，并且u(x,t)=代表從x位置處到其他位置的種群數(shù)量。在種群模型中，d為死亡率，b(u)為出生函數(shù)，τ(u)為種群密度依賴的成熟時滯。

本文考慮更一般的非局部帶狀態(tài)依賴時滯反應的擴散系統(tǒng)的行波解的存在性，方程如下

方程（3）的行波解，是一種定義在全空間上特殊的整體解，且具有如下形式：u(x,t)=φ(ξ),ξ=x+ct，

其中c＞0為波速，φ∈C1(R,R)為波像函數(shù)并滿足方程

和漸近邊界條件

特別地，稱滿足條件（5）的單調(diào)行波解為波前解。

2 主要結(jié)果

現(xiàn)在給出一些假設：

定理1假設a～e 成立，存在一個正常數(shù)c*，當c≥c*時，方程（4）存在一個非減的正的行波解u(t,x)=φ(x+ct)，且φ(-∞)=0,φ(+∞)=K。此外，

其中，λ1＞0為下列方程的最小實根。

3 主要結(jié)果的證明

問題（3）行波解的存在性的證明，將分成3 個部分來完成。首先，利用合適的上下解及有關(guān)假設構(gòu)造一個算子所在集合 Γ；其次，證明定義的算子F:?！Ｔ贐λ中關(guān)于范數(shù)‖·‖Bλ全連續(xù)；最后，利用Schauder 不動點定理，得到存在性定理。

其中，β ＞d，C[0,K](R,R)={φ∈C(R,R)|0 ≤φ(ξ)≤K,ξ∈R}。進一步定義算子F:C[0,K](R,R)→C[0,K](R,R)

顯然，算子F的一個不動點 φ就是方程（4）的解，即

因此，為了研究方程（4）解的存在性，只需研究算子F的不動點的存在性。

因為?2f(u,v)≥0,(u,v)∈[0,K]2，容易知道函數(shù)f滿足如下擬單調(diào)條件。

引理1假設a～c 成立，存在一個正常數(shù)β ＞使得

其 中，φ1,φ2∈C[0,K](R,R)，且 當ξ∈R,0 ≤φ2(ξ)≤φ1(ξ)≤K。

引理2假設a～d 成立，如果φ∈C[0,K](R,R)，對于任何c＞0，則有

證明易證0 ≤H(φ)(ξ)≤βK。由算子F的定義，有

故得證。

現(xiàn)在，引入積分方程（9）的上下解的概念。

定義1一個連續(xù)有界的函數(shù)φ:R→[0,K]稱為方程（9）的一個上解當且僅當滿足如下條件：

方程（9）的一個下解也可以類似定義得到，只需將式（10）不等號反向。

當λ≥0,c≥0，定義一個函數(shù)Δ(c,λ)如下：

引理3假設a～d 成立，則存在唯一的c*＞0滿足如下條件：

①若c≥c*，則存在兩個正數(shù)0 ＜λ1≤λ2，Δ(c,λ1)=Δ(c,λ2)=0；

②若c＜c*，則對所有λ ＞0，Δ(c,λ)＜0；

③若c=c*，則 λ1=λ2=λ*，當c＞c*，則 λ1＜λ*＜λ2，

對于在引理3 中給定的常數(shù)c＞c*和λ1,λ2，定義連續(xù)函數(shù)[9-11]：

引理4假設a～d 成立，則對波速c＞c*，此時，存在一個β1＞0，當β ≥β1，ξ1,ξ2∈R時，

證明注意到

令β1=L1，即完成證明。

引理5假設a～d 成立，當波速c＞c*，與分別為方程（9）的一個上解和下解。

證明因為對ξ∈R，0 ≤φ?(ξ)≤K，由引理1 知

且有

則

由假設條件e，存在δ1,δ2＞0,0 ＜L＜∞，當(u,v)∈[0,κ]2，使得

易知存在一個Q1(γ)?1，當q≥Q1(γ)，有eλ1ξ-qeγλ1ξ≤κ。因此，0 ≤φ(ξ)≤κ。因為ξ0＜0，1+σi＞γ,i=1,2，故可得

根據(jù)式（18）和式（19），可得

由式（20）得

結(jié)合式（16）和式（21），有

下面，將要通過Schauder 不定點定理來尋求算子F的不動點。為此，可以引進指數(shù)衰減范數(shù)。當0 ≤λ ≤λ1，定義

容易驗證Bλ(R,R)是一個附有范數(shù)的一個Banach 空間。

易證集合Γ為非空、有界、閉凸集。對于在式（8）中定義的算子F，有如下引理成立。

引理6假設a～e 成立，

①F(Γ)?Γ;

②F:?！Ｔ贐λ中關(guān)于范數(shù)‖·‖Bλ是全連續(xù)。

證明根據(jù)引理1～5，對任意φ∈Γ，有

且F(φ)(ξ)關(guān)于φ(ξ)∈C[0,K](R,R)是非減的，c|F′(φ)(ξ)|≤βK。因此，F(xiàn)(Γ)?Γ。

因f∈C1([0,K]2,R)，存在M＞0，滿足|f(u1,v1)-f(u2,v2)|≤M(|u1-u2|+|v1-v2|)，其 中ui,vi∈[0,K],i=1,2。于是，對φ,ψ∈Γ，有

因此，可得

它表明F:?！Ｔ贐λ(R,R)中關(guān)于范數(shù)‖·‖Bλ是連續(xù)的。另一方面，對任意φ∈Γ，ξ∈R，當ξ1≥ξ2，ξ1,ξ2∈R時，

這表明對于ξ∈R，{F(φ)(ξ):φ∈Γ}是一致有界并且等度連續(xù)。因此，通過Arzela-Ascoli 定理，對于在F(Γ)中任意給定的序列{ψn}n∈N，存在nk→∞和 ψ∈C(R,R)，使得在 R任何緊支集上(ξ)=ψ(ξ)關(guān)于 ξ一致成立。因為，對任意的，于是有即ψ(ξ)∈Γ。另外有

因此，對任意ε ＞0，可以找到M0＞0，使得對任意的|ξ|≥M0，可得

此外，當|ξ|≤M0時，一致存在，于是存在k*＞0，當k≥k*時，對任意的|ξ|≤M0，可得

由此可得，當k→∞時，所以，F(xiàn):?！Ｔ贐λ中關(guān)于范數(shù)‖·‖Bλ全連續(xù)。

定理1 的證明。

證明根據(jù)引理6 和Schauder 不動點定理，F(xiàn)存在一個不動點φ∈Γ。因φ(ξ)非減且有界，所以。由洛必達法則，可得

定理1 得證。