余平洋

(開封大學(xué)信息工程學(xué)院，河南 開封 475004)

一類非線性系統(tǒng)可以很好的描述應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)和力學(xué)中的許多控制問題，隨著控制理論技術(shù)的發(fā)展，需要通過穩(wěn)定性的非線性系統(tǒng)控制，結(jié)合模糊自適應(yīng)控制算法[1]，通過高次方程的優(yōu)化求解，與其它專家系統(tǒng)項(xiàng)結(jié)合，推動(dòng)人工智能和信息化技術(shù)的發(fā)展。一類由對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程構(gòu)成的非線性系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)計(jì)算智能和人工智能中具有較高的應(yīng)用價(jià)值[2-3]，通過研究非線性系統(tǒng)的平穩(wěn)周期穩(wěn)定解，構(gòu)建穩(wěn)定性的非線性控制模型，分析具有平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的收斂性和穩(wěn)定性條件，為智能控制提供數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。

1 一類非線性系統(tǒng)微分方程分析

采用對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程進(jìn)行一類非線性系統(tǒng)擬合和泛函性分析[4]，非線性對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分控制方程定義為：

(1)

其中u:I×IRd→IR是是灰色離散性微分邊界函數(shù)，d≥4，0∈I?IR是邊界方程的離散域區(qū)間。討論對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，設(shè)：

(2)

則映射u|→uλ將Cauchy-Hadamard型微分方程的平衡點(diǎn)的一個(gè)解映射為(1)的另一個(gè)解，在方程的邊界性約束條件下，滿足：

(3)

(4)

微分方程的解具有對(duì)合性特征，當(dāng)sc>1(即d≥4)時(shí)，sc滿足雙邊界函數(shù)條件。

u(t)=w(t)(u0,u1)+

(5)

其中，F(xiàn)(u)=|u|4u。

定義微分方程正多解f:→R的α>0階的Laplace時(shí)空分叉微分為：

(6)

若α>0，u∈C(0,1)∩L(0,1) 采用Bochner-Riesz矩陣進(jìn)行緊時(shí)間區(qū)間的變分結(jié)構(gòu)分解，滿足約束變量：

(7)

構(gòu)建Lyapunov泛函：

(8)

約束條件為ck=-c-k，若取q=4，b2=b-2=1,b1=b-1=2,b0=0，對(duì)任意的Bernoulli空間中的對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程非線性系統(tǒng)，存在唯一的格林正多解：

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N

(9)

其中：N為隨機(jī)穩(wěn)定凸時(shí)間序列的長(zhǎng)度，取值要求為大于或等于α的整數(shù)。

如果穩(wěn)定點(diǎn)u∈C(0,1)∩L(0,1)，α>0，并且強(qiáng)尼凸函數(shù)的微分邊界條件滿足：

(10)

那么：

(11)

其中：ci∈R,i=1,2…N。

2 平穩(wěn)周期穩(wěn)定解微分逼近分析

在采用對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程進(jìn)行一類非線性系統(tǒng)的擬合和建模的基礎(chǔ)上，在齊次Sobolev空間中采用能量超臨界波動(dòng)的廣義偽隨機(jī)特征分析方法進(jìn)行非線性系統(tǒng)平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的微分逼近[6]。

設(shè)I是緊時(shí)間區(qū)間，u:I×IRd→IR是下面波動(dòng)方程

(12)

對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程的二階矩波動(dòng)算子為w(t)(u0,u1)=cos(t||)它表示的是平衡性邊界條件下線性波動(dòng)條件為(u0,u1)時(shí)的平穩(wěn)周期穩(wěn)定解。在能量臨界情況下，采用灰色離散性邊界約束，判斷平衡點(diǎn)的Riesz基函數(shù)utt-Δu+|u|pu=0,(p>4)在IR3的規(guī)范正交基[7]，采用逐次逼近法求解Bergmann核，得到該類非線性系統(tǒng)在0<η≤η0緊時(shí)間區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)為：

(13)

(14)

記IRd上的二次有理逼近函數(shù)為：

(15)

對(duì)s≥0,平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的微分的Sobolev空間定義為：

(16)

時(shí)空范數(shù)定義為:

(17)

設(shè)R(t)為實(shí)概率空間(Ω,F,f(x),P)中的有理積分，在正交空間I×IRd上的時(shí)空范數(shù)滿足如下邊值條件

(18)

其中：

h:Rn×Rn×S

δ(t):[0,T]→R

v(dt,du)=v(dt,du)-π(du)dt

(19)

對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程有周期性穩(wěn)定解凸優(yōu)化條件組合描述為：

(ⅰ)C([a,b],R)為[a,b]在R中的連續(xù)函數(shù)，且滿足：

-τ<δ(t)

(20)

(ⅱ)初始值空間內(nèi)C([a,b],R)有上下邊界，且：

E|ζ(t)-ζ(s)|2

(21)

(ⅲ)在線性凸函數(shù)條件下，存在離散偏移狀態(tài)微分方程，滿足：

(22)

其中，?x1,x2,y1,y2∈R，通過微分逼近，對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定周期解的樣本軌跡{r,k=0,1,2,…}滿足增長(zhǎng)條件：

(23)

同理，?x1,x2,y1,y2∈R，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)Cauchy-Hadamard型微分方程平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的微分逼近，引入下面著名的Sobolev不等式。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)的穩(wěn)定性分析法在一類非線性系統(tǒng)中的有效性及可行性，進(jìn)行仿真驗(yàn)證分析。

在馬爾尼數(shù)鏈中采用五次波動(dòng)方程進(jìn)行平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的Lyapunove泛函，可以得到：

(26)

(27)

在穩(wěn)定凸函數(shù)控制下的非線性系統(tǒng)平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的離散近似解為：

(28)

其中ΔB=B(tn-1)+B(t1);I[u]為馬爾尼數(shù)鏈實(shí)整數(shù)，通過二階矩控制進(jìn)行對(duì)合Cauchy-Hadamard型非線性微分方程的二階矩求導(dǎo)，得到

Z(t)=∑Ixy(t)X(kΔ)=

∑Ixy(t)X((kΔ)[δ(k)])

(29)

R(t)=∑∑Ixy(t)X(kΔ)rt

(30)

在非確定條件對(duì)合Cauchy-Hadamard型非線性系統(tǒng)的非線性平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的最終近似解為：

(31)

求得具有平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的收斂性條件，在馬爾尼數(shù)鏈中采用五次波動(dòng)方程進(jìn)行平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的Lyapunove泛函，得到：

(32)

由于f(x)是對(duì)合Cauchy-Hadamard型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定凸函數(shù)，所以：

(33)

進(jìn)而得：

(34)

求得具有平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的收斂性條件，最后進(jìn)行了平穩(wěn)周期解的穩(wěn)定性和漸進(jìn)收斂性證明。

通過以上以計(jì)算得到穩(wěn)定凸函數(shù)確定下，對(duì)應(yīng)的E[·]，從而利用仿真驗(yàn)證法繪制出1/E[·]，如圖1所示：

4 結(jié)束語(yǔ)

本文分析一類由對(duì)合Cauchy-Hadamard型微分方程構(gòu)成的非線性系統(tǒng)的平穩(wěn)周期穩(wěn)定解，采用對(duì)合Cauchy-Hadamard型非線性方程進(jìn)行非線性系統(tǒng)的模型構(gòu)建，在馬爾尼數(shù)鏈中采用五次波動(dòng)方程進(jìn)行平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的Lyapunove泛函，求得具有平穩(wěn)周期穩(wěn)定解的收斂性條件，并進(jìn)行穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)分析，分析結(jié)果對(duì)提高非線性控制系統(tǒng)的參數(shù)自整定性和控制穩(wěn)定性具有數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)意義，在穩(wěn)定性控制中能有效滿足需求，具有較高的應(yīng)用價(jià)值。