倪海飛

摘? 要：負(fù)數(shù)的引入是對(duì)數(shù)系的一次擴(kuò)充，是對(duì)學(xué)生原有的數(shù)概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一次重新建構(gòu)。因此如何帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷負(fù)數(shù)的產(chǎn)生過程，關(guān)聯(lián)中學(xué)階段減法和直角坐標(biāo)系的運(yùn)用，需要教師具備高觀點(diǎn)意識(shí)，高屋建瓴地把握小學(xué)階段負(fù)數(shù)的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：負(fù)數(shù);高觀點(diǎn);直角坐標(biāo);概念

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家菲利克斯克·萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中指出：“數(shù)學(xué)教師應(yīng)具有較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，觀點(diǎn)越高，事物就越顯得簡(jiǎn)單。”他認(rèn)為可以從高等數(shù)學(xué)的角度來審視初等數(shù)學(xué)。高等數(shù)學(xué)寬闊的知識(shí)界面和深邃的思維方法，可以讓許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象得到深刻、通透的理解。這么看來，小學(xué)數(shù)學(xué)教師也須具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，能從學(xué)生的終生發(fā)展出發(fā)，知道小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)“從哪里來”“往何處去”。

筆者在某次研討課上執(zhí)教“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課，緊緊圍繞“高觀點(diǎn)立意”的理念來演繹數(shù)學(xué)化教學(xué)，追求自然地將小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合?！柏?fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”是一節(jié)概念課，負(fù)數(shù)這個(gè)概念從小學(xué)到初中學(xué)生需要知道這五層含義：

（1）利用相反意義的量的存在性，產(chǎn)生“數(shù)不夠用了”的困惑。

（2）引入負(fù)數(shù)，得到一種新的數(shù)。

（3）會(huì)用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量。

（4）闡述a-b與a+（-b）是相等的，如此，加減法封閉。

（5）獲得負(fù)數(shù)的兩個(gè)特征：①它和正數(shù)一起能表示具有相反意義的量;②它是一種新的數(shù)，這種數(shù)的最大作用就是滿足數(shù)系對(duì)加減法運(yùn)算的封閉性。

小學(xué)階段，孩子們只要理解并掌握前三層含義，后面則是初中的教學(xué)任務(wù)，站在這個(gè)高度上立意，才能更好地把握自己的教學(xué)。

片段一：素材整合，初識(shí)負(fù)數(shù)

觀眾朋友們?cè)缟虾?，我們來看城市天氣預(yù)報(bào)，今天三亞市最低氣溫零上20℃，哈爾濱最低氣溫零下20℃。同學(xué)們，你能想辦法表示出這零上20℃和零下20℃的不同嗎？

展示交流：

生1：20℃和■20℃。零上20℃很熱，零下20℃很冷。

師：一個(gè)很熱，一個(gè)很冷，兩者是——相反的。

生2：我這樣畫（如圖1）意思是零上20℃在0℃以上，零下20℃在0℃以下。

師：一個(gè)在0℃以上，一個(gè)在0℃以下，兩者的含義也是——相反的。

生3：我畫了溫度計(jì)（如圖2）。

師：你們能從溫度計(jì)上看出這兩個(gè)溫度有什么不同嗎？

生：零上20℃比0℃高，零下20℃比0℃低。

師：一個(gè)比0℃高，一個(gè)比0℃低，兩者的含義也是——相反的。

出示標(biāo)準(zhǔn)的溫度計(jì)（如圖3）：

怎樣找到零上20℃，先找誰？明確：先找到0℃，再往上找到20就是零上20℃。

怎樣找到零下20℃，先找誰？明確：先找到0℃，再往下找到20就是零下20℃。

總結(jié)：你們有的畫圖，有的畫溫度計(jì)，都表示出了零上20℃和零下20℃的含義是相反的。那數(shù)學(xué)上是如何直接用數(shù)來記錄這兩個(gè)相反的溫度呢？

展示作品：

生4：零上20℃我記作20℃，零下20℃我記作-20℃。

師：這個(gè)20我們都認(rèn)識(shí)，這個(gè)-20我們沒學(xué)過，這是一種新的數(shù)呀！對(duì)于這種新的數(shù)，同學(xué)們有什么疑問？想提出什么問題？

生：這種新的數(shù)叫什么？——負(fù)數(shù)。

生：這個(gè)數(shù)怎么讀，怎么寫？

生：我想問為什么表示溫度需要用到這種新的數(shù)？

師：這個(gè)問題很有價(jià)值。是呀！我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了那多的數(shù)，為什么這里還需要新的數(shù)來幫忙呢？

生：溫度有零上也有零下，以前的數(shù)不夠用了。

出示：在表示一組相反意義的量時(shí)，需要用到正數(shù)和負(fù)數(shù)。

師：這個(gè)數(shù)讀作正二十，書寫的時(shí)候在20前面加一個(gè)正號(hào)。這個(gè)數(shù)讀作負(fù)二十，書寫的時(shí)候在20的前面加一個(gè)負(fù)號(hào)。正數(shù)前面的正號(hào)可以省略，+20可以直接寫成20。負(fù)數(shù)前面的負(fù)號(hào)能省略嗎？

生：負(fù)號(hào)不能省略，省略的話就變成正數(shù)了。

師：0在這里起什么作用？

生：0℃是零上和零下的分界，也就是正負(fù)數(shù)的分界。

師：你們覺得和剛才畫圖、畫溫度計(jì)相比，用正負(fù)數(shù)表示有什么好處？

生：更簡(jiǎn)潔。

師：下面請(qǐng)同學(xué)們當(dāng)氣象記錄員，用正負(fù)數(shù)記錄以下幾個(gè)城市的氣溫。

生：張家港0℃，上海+4℃或4℃，南京-4℃。

師：老師繼續(xù)帶大家游覽祖國(guó)大好河山，請(qǐng)同學(xué)們當(dāng)?shù)刭|(zhì)勘探家。（出示例2主題圖）

生（齊讀）：你能看圖說出珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地比海平面高或低多少米嗎？

生：珠穆朗瑪峰比海平面高8844.4米，吐魯番盆地比海平面低155米。

師：你會(huì)用正負(fù)數(shù)表示它們的海拔高度嗎？

生：珠穆朗瑪峰+8844.4m，吐魯番盆地-155m。

師：這兩個(gè)數(shù)的含義有什么不同？

生：一個(gè)比海平面高，一個(gè)比海平面低，兩者是相反的。

師：這里的分界是——海平面，所以海平面的海拔高度為——0米。

【思考】筆者從孩子們熟悉的溫度入手，讓孩子們用自己喜歡的方法表示出零上20℃和零下20℃的不同。課堂中生成的表示方法非常豐富，有用文字表示的，有畫圖形的，有畫溫度計(jì)的，甚至出現(xiàn)了正數(shù)和負(fù)數(shù)等，這些不同的表示方法都體現(xiàn)了相反意義。與此同時(shí)，教師始終抓住“相反意義”進(jìn)行師生互動(dòng)和學(xué)生點(diǎn)評(píng)，由“數(shù)不夠用了”的困惑引入負(fù)數(shù)，感悟負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性，學(xué)生在經(jīng)歷比較各種方法的優(yōu)劣過程中體會(huì)到用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量有一個(gè)特點(diǎn)就是：簡(jiǎn)潔性。在練習(xí)用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)氣象記錄員和地質(zhì)勘探家的小游戲，在游戲中，學(xué)生接觸了另一個(gè)經(jīng)典的相反意義的量——海拔。

片段二：改造數(shù)軸，概念重構(gòu)

師：那學(xué)習(xí)了新的負(fù)數(shù)，會(huì)對(duì)我們以前的知識(shí)有什么影響呢？

師：這是我們熟悉的數(shù)軸，你能在上面找到+4嗎？

生：能。

師：你能在數(shù)軸上找到-4嗎？該怎樣改造一下數(shù)軸，從而找到-4？

生：我從0開始把數(shù)軸向相反方向延伸，0，-1，-2，-3，-4。

師：你們找到了+4和-4，那這里是+5，那里就是（-5），這里是+6，那里就是（-6）。+10呢？+100呢？+1000呢？正數(shù)找得完嗎？……所以負(fù)數(shù)也找不完。

師：我們得到了一條新的數(shù)軸，在這一過程中，你有什么體會(huì)？

生1：正數(shù)都在右邊。

師：正數(shù)都在誰的右邊？

生1：在0的右邊，所以正數(shù)都比0大。

生2：負(fù)數(shù)都在0的左邊，所以負(fù)數(shù)都比0小。

生3：正負(fù)數(shù)都一對(duì)一對(duì)出現(xiàn)，0很孤單。

師：說明0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

【思考】學(xué)科之所以為學(xué)科，而不是概念與知識(shí)要點(diǎn)的堆砌，其中很重要的原因就在于學(xué)科知識(shí)之間存在著不可割裂的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，因此在學(xué)生知道了負(fù)數(shù)這個(gè)概念后立馬上升到數(shù)軸。可為什么偏偏是數(shù)軸呢？因?yàn)閿?shù)軸是學(xué)生以前學(xué)習(xí)正數(shù)時(shí)很熟悉的數(shù)學(xué)工具，所以負(fù)數(shù)的引入對(duì)學(xué)生以往概念中的數(shù)軸認(rèn)識(shí)造成了很大的沖擊。學(xué)生在自己改造數(shù)軸的過程中將原有正向的數(shù)射線，拓展為雙向可以延長(zhǎng)的數(shù)直線，知道了負(fù)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，理解了負(fù)數(shù)<0<正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。

片段三：滲透坐標(biāo)，中小融通

師：有同學(xué)說在減法中見到過負(fù)數(shù)，如5-7=-2，你們是怎么想的？

生1：5-7=-2。我有5元，買7元的圓珠筆，我欠老板2元。

師：你把負(fù)數(shù)和生活中的欠錢聯(lián)系在一起，這樣解釋可以嗎？

生2：我原來在5樓，往下走7層，到了-2樓。

師：你想到了樓層，那老師就想到從0開始再畫一個(gè)立起來的數(shù)軸（如圖4）。

………

圖4

生：用磁鐵移動(dòng)說明5-7=-2。原來在5樓，減7就是向下移動(dòng)7格，到了-2樓，所以5-7=-2。

師：數(shù)軸的作用可真大，如果我在這條數(shù)軸上標(biāo)上東和西，又在那條數(shù)軸上標(biāo)上北和南，那這就是我們熟悉的方向——“上北下南左西右東”。

學(xué)生獨(dú)立完成下面兩題，全班匯報(bào)（如圖5）。

（1）如果小華從大樹起向東走為正，那從大樹起向西走4米記作（-4）米。

（2）如果小林從大樹起向北走為正，那從大樹起向南走4米記作（-4）米。

圖5

師：對(duì)于這兩個(gè)-4你有什么疑惑？可以提出什么問題？

生1：為什么會(huì)有兩個(gè)-4？

生2：藍(lán)色的-4表示向西走了4米，紅色的-4表示向南走了4米。

師：說得很好，兩個(gè)-4含義不同，說明這里有兩組相反意義的量（東和西是相反的，北和南是相反的），所以才會(huì)有兩個(gè)-4。

師：如果老師到了+4的位置，有幾種可能？

生：兩種。

師：觀察這里的兩個(gè)+4，兩個(gè)-4（如圖6），你能發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)嗎？

生：離0都有4格，也就是到0的距離一樣長(zhǎng)。

圖6

師：看，現(xiàn)在飛來了一只小蝴蝶，它圍繞著0在這四個(gè)點(diǎn)之間自在地飛來飛去，留下了一個(gè)美麗的軌跡，是什么呀？

生：圓。

師：哇！我們?cè)跀?shù)字里描繪出了一個(gè)圖形——圓，圓里面又包含了我們今天所學(xué)的正數(shù)和負(fù)數(shù)，多么神奇呀！

【思考】小學(xué)教師要了解整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，善于對(duì)小學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行融通，并有機(jī)地將中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)滲透其中，才能成就高眼界的學(xué)生。雖然現(xiàn)有的知識(shí)不能讓學(xué)生完全理解5-7=-2，但卻可以融合學(xué)生熟知的生活中的盈虧問題、上下電梯等現(xiàn)實(shí)情境，在數(shù)軸上用磁鐵的移動(dòng)幫助學(xué)生理解，平面直角坐標(biāo)系也順勢(shì)引出。遙想二年級(jí)時(shí)學(xué)過的“上北下南左西右東”與直角坐標(biāo)系有著前后呼應(yīng)的聯(lián)系，學(xué)生會(huì)很愿意親近它、掌握它，課堂因此有了溫度。

素材的統(tǒng)一整合，概念的重新建構(gòu)，高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的前后融合，讓學(xué)生不僅知道了負(fù)數(shù)從哪里來，而且感受到了負(fù)數(shù)將往何處去，學(xué)生的思維向著更深處漫溯。