陳勇玲 黃木鳳

【摘 要】本文以高二學生為教學對象，在立體幾何教學過程中利用“幾何圖霸”輔助工具幫助學生建構立體圖形概念，培養(yǎng)學生的空間感與直覺思維;實驗結果表明利用“幾何圖霸”輔助教學，能較好地提高學生的成績，改善學生對立體幾何模塊學習的態(tài)度。

【關鍵詞】立體幾何教學 幾何圖霸 直覺思維

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）34-0146-03

《義務教育數(shù)學課程標準 2011 年版》強調要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想，鼓勵學生進行創(chuàng)造性思維。徐立治先生認為，直覺指的是對事物本質的直接領悟或洞察。數(shù)學直覺就是對數(shù)學對象（結構及其聯(lián)系）的某種直接領悟或洞察。在實踐研究中，趙思林、朱德全以高中生為研究對象，研究得出直覺思維可以幫助學生分析數(shù)學現(xiàn)象，猜想數(shù)學命題中的解題思路，縮短思維時間培訓，獲得數(shù)學靈感等結論。

新課標中的立體幾何教學，在延續(xù)了傳統(tǒng)的幾何法的同時，引入了向量法。胡干彪通過測試的研究方法，對利用幾何法和向量法教立體幾何的效果作了對比，并對學生進行相關的問卷調查，以及對教材的特點、學生的認知特點和思想方法進行分析，發(fā)現(xiàn)用向量法講解立體幾何可降低難度，易于為學生接受。基于這樣的實驗結果，筆者針對普通高中學生空間想象和空間思維能力相對薄弱的學困生，運用“幾何圖霸”軟件輔助立體幾何教學，發(fā)現(xiàn)它對學生空間想象能力、空間思維能力、直覺思維的培養(yǎng)及在解立體幾何題中具有比較好的促進作用。

“幾何圖霸”是三維動態(tài)的圖形軟件，是一款新的且較好的立體幾何數(shù)學實驗與課件制作工具，它易懂且易學，可以在課堂上快速制作出常見的立體幾何圖形，具有比例放大縮小、上下左右移動、旋轉功能。在課堂上教師利用它可向學生展示相關立體圖形，讓學生直觀具體地觀察、分析立體圖形，引導學生多動手、多思考，激發(fā)學生的探知欲望和研究的興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺思維。

一、實驗教學概述

本研究的思路是根據(jù)數(shù)學直觀思維和“幾何圖霸”輔助立體幾何教學相關理論，以立體幾何中的向量法及三視圖為教學內容，設計實驗研究，利用“幾何圖霸”設計教學案例。在本校普通高中的平行班中選取對照班和實驗班展開教學實驗，在實驗后采用測驗調查和問卷調查法，分析“幾何圖霸”在立體幾何教學中對學困生的空間感、數(shù)學直覺思維培養(yǎng)的作用。通過教學實驗，提高學困生在解立體幾何題目中的數(shù)學直觀思維的應用能力。

二、實施實驗教學的具體措施

學生在立體幾何模塊的學習中存在較大困難，一方面，學生的空間感不強，面對一個立體圖形，難以想象其中的線面位置關系;另一方面，傳統(tǒng)的教學方式，呈現(xiàn)在學生面前的是靜止的立體圖形，學生看不到立體圖的其他角度的形狀，無法想象被擋線面的位置關系。針對這些問題，在教學中借助“幾何圖霸”輔助教學，利用“幾何圖霸”的轉動功能將立體圖形轉動，讓學生看到一個真實完整的立體圖形，培養(yǎng)學生的空間感和直覺思維。

（一）利用“幾何圖霸”輔助教學，培養(yǎng)學生的幾何空間意識

在實驗班的教學過程中，盡可能多地使用“幾何圖霸”輔助教學。首先，在學生剛接觸立體幾何這個模塊時，利用“幾何圖霸”快速向學生展示各種常見的立體幾何圖形，如正方體、長方體、三棱柱、三棱錐、三棱臺、圓錐等，并且旋轉不同的角度讓學生觀察，增強學生的空間感，建立一定的立體幾何圖形基礎。其次，在平時習題講解中，遇到不好觀察立體圖形的角度，課前制作好課件，并在課上展示以輔助教學。在教學中融入大量的課例，逐步培養(yǎng)學生的空間感與直覺思維，培養(yǎng)學生的幾何空間意識，使學生在今后的解題過程中能下意識地想起相關的立體圖形，并借助直覺思維初步做出判斷，然后利用相關定理、公式進行邏輯推理及證明。

（二）利用“幾何圖霸”直觀地展示幾何圖形，培養(yǎng)學生的空間感和直覺思維

在以往的教學中，對立體幾何的教學，通常都會用實體模具供學生觀察，然后抽象出課本的靜止圖形，但是缺少一個由實物過渡到只有點、線、面組合的立體圖形的過程。這是一個關鍵的過程，利用“幾何圖霸”可以很好地幫助學生從實物階段過渡到點、線、面的立體圖形階段。例如，在講授一個圓臺上放一個球的三視圖時，可以先展示實體狀態(tài)，如圖 1，然后過渡為透明狀態(tài)，如圖 2，可以直觀地清楚地看到幾何體的輪廓，最后抽象為只有點、線、面的立體圖形，如圖 3，而且展示的三個階段的圖形都可以任意旋轉角度。這個過程讓學生更直觀地觀察立體圖形，通過這三個狀態(tài)的過渡，培養(yǎng)學生的空間感和直覺思維。

（三）利用“幾何圖霸”指導學生觀察、建坐標系、分離平面圖形

在立體幾何大題解題過程中，建立空間直角坐標系是第一步，也是困難的一步。建立坐標系需要學生在圖形中找到三條直線兩兩垂直的條件，如果空間想象能力匱乏，那么會把原本垂直的位置關系看成斜相交關系。因此，在例題講解中使用“幾何圖霸”制作相應的立體幾何圖形，向學生展示立體圖形不同方位的狀態(tài)，初步讓學生找到垂直條件，再利用邏輯推理證明這個結果，確定坐標系原點，憑借直觀感覺建立空間直角坐標系。建立坐標系以后，學生還會難以確定某些非坐標軸上的點的坐標。針對這個問題，如果只是讓學生觀察靜止的圖形，那么還是不夠的。教師要利用軟件操作課件，轉動立體圖形，引導學生觀察立體幾何圖形不同方位的狀態(tài)，觀察點在平面內的相對位置，然后分離出平面圖形，再通過線段與角度的關系計算出點的坐標。例如，2019 年高考浙江卷第 19 題：

如圖 4，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E 和 F 分別是 AC 和 A1B1 的中點。（1）證明：EF⊥BC;（2）求直線 EF 與平面 A1BC 所成角的余弦值。

一看到這個立體圖形，有些同學認為線段 A1C、EF 是相交直線，這時，教師可以旋轉圖形到圖 5 的位置，學生可以清楚地看出線段 A1C 與 EF 是異面直線，初步幫助學生看透這個立體圖形。對于第（2）問來說，可利用向量法求線面角。首先，需要建坐標系，但這是一個斜三棱柱，題目中沒有明顯的三條直線兩兩垂直的條件。教師可通過轉動幾何體，并結合題目中所給的條件，引導學生找到豎直方向的垂直條件。易知，A1E⊥AC 于點 E。初步做出猜想，以 E 為原點建立坐標系。但題中沒有現(xiàn)成的 x 軸，可以過點 E 做 AC 的垂線為 x 軸，這樣即可建坐標系，如圖 6。其次，建坐標系后，因為 B 點不在坐標軸上，所以學生要確定點 B 的坐標存在較大的困難。教師可以把幾何體的底面旋轉到合適角度讓學生觀察，如圖 7，指導學生把底面分離出來，得到一個平面圖形。在直角三角形 BPE 中，結合角度和邊長的大小，計算出點 B 的坐標。

總的來說，“幾何圖霸”是一個三維動態(tài)的數(shù)學工具，里面有各種現(xiàn)成的立體幾何圖形，教師稍加研究就可以制作教學中常見的幾何體圖形。這些豐富的資源可以放到教室的電腦上供學生自主動手操作，讓學生共同探討、交流，培養(yǎng)直觀思維;使學生通過操作，認識問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，攻克立體幾何問題。

三、實驗教學結果與分析

（一）實驗前后成績比較分析

2019 年 5 月之前，學校高二年級還沒有教授立體幾何的內容。在教授立方體幾何內容之前，采用兩次學業(yè)水平模擬考試中兩道立體幾何題目來測試學生掌握立體幾何的情況。我們以兩次模擬考試中的兩道立體幾何題的平均分作比較，發(fā)現(xiàn)實驗班的平均分與對照班的平均分基本持平。結果如表 1 所示：

經過兩個月的教學實驗后，再對兩個班進行考試，兩次考試中立體幾何內容，即試卷中有關立體幾何的一道小題和一道大題都相同，測試的結果如表 2 所示：

實驗前，實驗班的平均分與對照班的平均分基本持平;實驗后，實驗班的平均分比對照班分別提高了 1 至 2 分。對實驗前后的數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，利用“幾何圖霸”輔助立體幾何教學對學困生有幫助，學困生的立體幾何的成績明顯提高。從實際答題情況來看，實驗班能建立空間直角坐標系的人數(shù)比對照班多。值得關注的一點是，雖然有部分同學缺少必要的邏輯證明能力，但是能憑直覺正確地找到坐標原點和三條直線兩兩垂直的關系，從而建立坐標系。由此可見，利用“幾何圖霸”輔助立體幾何教學可以提高學生空間感和直覺思維。

（二）實驗前后教學效果調查分析

實驗后對實驗班進行了問卷調查與訪談調查。從調查的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，學生非常喜歡老師利用“幾何圖霸”輔助課堂教學。課中大部分同學會積極向老師提問、與老師互動，對立體幾何模塊的學習也更有興趣。通過對實驗班部分同學的訪談調查發(fā)現(xiàn)，他們覺得平時教學中用“幾何圖霸”三維動態(tài)展示立體幾何圖形，不僅有助于他們的空間想象能力的培養(yǎng)，而且使他們在做題時能更容易地建立空間直角坐標系，對直覺思維的培養(yǎng)很有幫助。

本研究是針對學校普通高中學生學習立體幾何知識存在較大困難的情況下，使用三維動態(tài)畫板“幾何圖霸”輔助教學，培養(yǎng)學生的空間感與直覺思維，以提高學生的考試成績與數(shù)學學習的興趣。教學實驗結果顯示，效果初顯，可見這種教學方式對學困生的立體幾何學習是有積極作用的。

【參考文獻】

[1]徐利治，王 前.數(shù)學與思維[M].大連：大連理工大學出版社，2008.

[2]趙思林，朱德全.論事論數(shù)學直覺思維的培養(yǎng)策略[J].數(shù)學教育學報，2010（1）.

[3]胡干彪.對空間向量教學的調查、研究與思考[D].蘭州：西北師范大學，2003.

【作者簡介】陳勇玲，女，籍貫廣西貴港，中學一級，現(xiàn)就職于南寧市第二十四中學，研究方向為信息技術與高中數(shù)學教學融合。

（責編 盧建龍）