陳志明，劉龍武，劉 瑞，駱州淮

（南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 210016）

近年來，無人飛行器，因其便捷、低成本等優(yōu)點已得到廣泛應(yīng)用與發(fā)展，四旋翼作為無人飛行器的一種，具有體積小、垂直起降、操作簡單等優(yōu)點，也成為航空領(lǐng)域的研究重點之一。

四旋翼無人機(jī)因其體積小、非線性、且為欠驅(qū)系統(tǒng)，對不確定干擾因素敏感，包括：風(fēng)力擾動、空氣摩擦以及自身的不確定性參數(shù)。針對四旋翼無人機(jī)，研究人員已進(jìn)行了許多相關(guān)研究并提出了一些魯棒性較好的控制系統(tǒng)，如干擾抑制控制[1]，模糊邏輯控制[2]、反步法控制[3,4]、LQR(linear quadratic regulator)控制[5,6]、滑?？刂芠7,8]等，但是，不確定外界干擾仍是四旋翼控制的關(guān)鍵點。如Linxing Xu，Hongjun Ma提出級聯(lián)有源干擾抑制控制作為無人機(jī)姿態(tài)控制分系統(tǒng)，此方案可一定程度上減少外界干擾帶來的影響，提高飛行穩(wěn)定性，但應(yīng)用于軌跡跟蹤控制時，對位置回路的干擾抑制較弱，無法保證軌跡跟蹤的準(zhǔn)確性；Qi Lu，Beibei Ren[9]，Alberto Castillo[10]，Nigar Ahmed[11]，Ning Wang[12]等設(shè)計了干擾觀測器估計外部不確定干擾和系統(tǒng)的不確定性，此方案可有效減少外部干擾帶來的影響，但是，干擾感測器使得控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且會帶來數(shù)據(jù)延遲；Tianpeng Huang[13]，Hakim Bouadi[14]，V.T. Hoang, M.D. Phung[15]等提出自適應(yīng)滑?？刂破飨叨群妥藨B(tài)跟蹤誤差，Justin M.Selfridge[16]提出模型參考自適應(yīng)控制應(yīng)用于無人機(jī)姿態(tài)通道控制，Anastasia Razinkova[17]采用自適應(yīng)補(bǔ)償方案減小外界干擾引起的無人機(jī)位置跟蹤誤差，雖然自適應(yīng)補(bǔ)償因子可有效估計外界干擾項，減小控制誤差，但無人機(jī)指令跟蹤的速度與準(zhǔn)確性仍是無人機(jī)控制的亟待解決的關(guān)鍵問題。此外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也被廣泛應(yīng)用于無人機(jī)的干擾補(bǔ)償，如：Hadi Razmi[18]提出基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模高度控制器減小高度誤差；Jesús Enrique Sierra，Matilde Santos[19]提出自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計器有效抑制風(fēng)力和有效載荷干擾；Yanmin Chen，Yongling He 設(shè)計了分散的PID 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制有效抵抗外界風(fēng)力干擾，保證穩(wěn)定性。雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的引入可實現(xiàn)更精確的不確定性干擾項的估計與補(bǔ)償，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性必定會增加控制率計算量，加重?zé)o人機(jī)控制器負(fù)擔(dān)，實時性難以保證。因此，如何有效解決外界不確定干擾影響，并保證無人機(jī)的軌跡精確跟蹤仍是無人機(jī)控制的關(guān)鍵難題。

本文提出一種位姿雙回路自適應(yīng)積分反步法實現(xiàn)無人機(jī)的軌跡精確跟蹤，其中自適應(yīng)因子可有效補(bǔ)償外界不確定性干擾帶來的影響，同時，姿態(tài)回路控制器中加入了積分因子，可保證姿態(tài)回路指令跟蹤的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。此方案可有效提高無人機(jī)的軌跡跟蹤能力，并保證無人機(jī)具有良好的魯棒性和穩(wěn)定性。

1 動力學(xué)模型建立

本文基于Parrot Minidrone 建立四旋翼無人機(jī)動力學(xué)模型，如圖1 所示。四旋翼利用四個電機(jī)不同的組合實現(xiàn)自身的俯仰、橫滾、偏航和升降運動，如表1 所示。其中“+”表示電機(jī)的轉(zhuǎn)速增加，“-”表示電機(jī)轉(zhuǎn)速減小。假定四旋翼無人機(jī)為一個均勻?qū)ΨQ的剛體，由牛頓歐拉動力學(xué)算法可得到四旋翼的動力學(xué)模型如下[20]：

其中，x，y，z，φ，θ，ψ分別表示無人機(jī)的3 個位置狀態(tài)量和3 個姿態(tài)角狀態(tài)量；p，q，r表示無人機(jī)滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航三通道的姿態(tài)角速度變化量；Ixx，Iyy，Izz為四旋翼的三軸轉(zhuǎn)動慣量；m為無人機(jī)質(zhì)量；l表示機(jī)體中心與旋翼中心的距離；U1，U2，U3，U4分別為四旋翼虛擬控制變量；g為重力加速度；dx，dy，dz，dφ，dθ，dψ表示無人機(jī)6 通道的不確定性干擾變量。

圖1 四旋翼動力學(xué)模型Fig.1 The dynamic model of quadrotor

表1 四旋翼電機(jī)轉(zhuǎn)速與飛行動作關(guān)系Tab.1 The relationship of the four rotors and flying action

2 控制器設(shè)計

四旋翼無人機(jī)是一個多變量非線性欠驅(qū)動系統(tǒng)，包括4 個虛擬控制輸入變量和6 個狀態(tài)輸出變量。假定四旋翼為一個嚴(yán)格對稱系統(tǒng)，則高度控制與偏航控制可以作為獨立的控制通道，俯仰、滾轉(zhuǎn)和水平位置控制通道間相互耦合，4 個虛擬控制輸入變量U=U1+U2+U3+U4與6 個狀態(tài)輸出變量(x，y，z，φ，θ，ψ)的關(guān)系可表示為：

當(dāng)U2，U3，U4已知時，姿態(tài)角和姿態(tài)角速度可由式(2)(3)反推得到，當(dāng)U1，U2，U3，U4已知時，則x，y，z，可根據(jù)式(1)-(3)得到。因此，本文設(shè)計了一個基于自適應(yīng)積分反步法的雙回路位姿控制系統(tǒng)，如圖2 所示。位置回路控制可保證四旋翼無人機(jī)快速響應(yīng)跟蹤指令并準(zhǔn)確跟蹤，姿態(tài)回路可解耦姿態(tài)與位置通道，同時保證四旋翼飛行的穩(wěn)定性。自適應(yīng)積分反步法可減少外部不確定性干擾給控制系統(tǒng)帶來的影響，提高四旋翼無人機(jī)控制系統(tǒng)的魯棒性。

圖2 基于自適應(yīng)積分反步法的四旋翼雙回路控制系統(tǒng)Fig.2 The general block diagram of the dual-loop control system

圖2 中，Ux，Uy表示位置回路的虛擬控制輸入變量：

假定偏航角ψ已知，則期望滾轉(zhuǎn)角φd與期望俯仰角θ d可根據(jù)式(5)反推得到，

2.1 位置回路控制器設(shè)計

為減少外部不確性干擾因素對軌跡跟蹤控制的影響，本文在傳統(tǒng)反步法控制器的基礎(chǔ)上，增加了自適應(yīng)因子，設(shè)計了一種自適應(yīng)積分反步法以補(bǔ)償干擾因素帶來的誤差，提高飛行控制系統(tǒng)的魯棒性，保證四旋翼無人機(jī)具有良好的飛行效果。

根據(jù)式(5)和式(1)，四旋翼Z 通道的動力學(xué)微分方程可表示為：

定義Z 軸方向的飛行速度分量為w=，位置誤差為e z=z-zd，zd為四旋翼期望位置Z 軸方向的分量，則狀態(tài)變量z的李雅普諾夫函數(shù)可表示為：

狀態(tài)變量z的李雅普諾夫函數(shù)關(guān)于時間的微分為：

定義Z 軸方向速度分量w為αw，則式(9)可表示為：

其中，βw為真實值w與w估計值αw的差值。

設(shè)定

其中，cz為一個正常數(shù)，cz＞ 0，則式(10)可表示為：

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)βw=0時，式(13)滿足則Z通道控制系統(tǒng)穩(wěn)定。然而，βw為狀態(tài)估計值與真實值之間的差值，不為零，則需進(jìn)一步設(shè)計控制器。

定義

則式(14)關(guān)于時間的微分為：

由式(11)(12)可得：

進(jìn)一步微分可得：

將式(17)帶入式(15)得：

進(jìn)一步化簡為：

設(shè)定：

其中，cw為正常數(shù)，即cw＞ 0，則式(19)可表示為：

式(21)表明滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。

由式(20)可反推得到w微分為：

根據(jù)式(7)和式(22)可計算得到Z 通道虛擬控制變量U1為

由于dz為未知量，設(shè)定dz估計值換dz，則式(23)可表示為：

進(jìn)一步，設(shè)計一個新的李雅普諾夫函數(shù)求取自適應(yīng)控制律，

其中，λz為自適應(yīng)因子，則式(25)的關(guān)于時間的微分可表示為：

根據(jù)式(10)(20)(21)，式(27)可表示為

進(jìn)一步化簡為：

式(30)表明滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。

則Z 通道的虛擬控制變量可表示為：

借鑒Z 通道設(shè)計方法，X 通道和Y 通道的虛擬控制變量可表示為：

其中，cu，cv，cx，cy，λx，λy為正常數(shù)；βu，βv分別表示X 軸速度分量u和Y 軸速度分量v的真實值與估計值的差值；分別為X 軸位置分量期望值和Y 軸位置分量期望值；ex，ey分別為X 軸位置分量x誤差和Y 軸位置分量y誤差。

2.2 姿態(tài)回路控制器設(shè)計

姿態(tài)回路與速度回路相互影響，穩(wěn)定的姿態(tài)回路指令跟蹤可保證位置回路的良好的軌跡跟蹤效果，與位置回路相似，姿態(tài)回路同樣采用自適應(yīng)反步法實現(xiàn)姿態(tài)指令的準(zhǔn)確跟蹤，同時，在設(shè)計的自適應(yīng)反步法的基礎(chǔ)上，增加了積分項，減小姿態(tài)指令跟蹤誤差，提高四旋翼無人機(jī)飛行穩(wěn)定性。

定義偏航角ψ跟蹤誤差為eψ=ψ-ψd，ψd為設(shè)定的期望偏航角，定義積分項為則關(guān)于偏航角ψ的李雅普諾夫函數(shù)可表示為：

其中，λψ為正常數(shù)，即λψ＞ 0。

式(33)關(guān)于時間的微分為：

定義偏航角ψ跟蹤誤差關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，估計值為αψ，則式(34)可表示為：

其中，

定義

其中，cψ為正常數(shù)，即cψ＞ 0。式(35)可簡化為：

定義：

根據(jù)式(36)(37)可得：

進(jìn)一步化簡可得：

根據(jù)式(39)-(41)可得：

定義:

其中，cr為正常數(shù)，即cr＞ 0，則式(42)可表示為：

采用同樣的設(shè)計方法設(shè)計滾轉(zhuǎn)和俯仰通道得虛擬控制輸入變量為：

其中，cp，cq，cφ，cθ，λφ，λθ，均為正常數(shù)；φd和θd分別為期望滾轉(zhuǎn)角和期望俯仰角；eφ，eφ分別為滾轉(zhuǎn)角和俯仰角跟蹤誤差；βφ和βθ為

3 仿真實驗與分析

為驗證本文設(shè)計的自適應(yīng)積分反步法抗干擾能力，這里選取已建立的四旋翼動力學(xué)模型為研究對象，并分別在不同頻率和不同強(qiáng)度隨機(jī)干擾影響下測試無人機(jī)指令跟蹤精度和跟蹤誤差修正能力。其中四旋翼動力學(xué)模型的關(guān)鍵參數(shù)如表2 所示。

表2 四旋翼動力學(xué)模型參數(shù)及初始化參數(shù)Tab.2 The model parameters and initialization parameters

其中，x0，y0，z0為四旋翼初始位置狀態(tài)量；u0，v0，w0為四旋翼初始速度變量；φ0，θ0，ψ0為四旋翼初始姿態(tài)角；p0，q0，r0為初始姿態(tài)角速度。

設(shè)定四旋翼位置回路控制參數(shù)為：cx= 7，cy= 7，cz=6.6，cu=1.38，cv=1.38，cw= 1.4，λx= 4.6，λy= 4.6，λz= 4.6；姿態(tài)回路自適應(yīng)積分反步法控制參數(shù)為：λφ= 0.1，λθ= 0.1，λψ=0.05，cφ= 3，cθ=3，cψ=5，cp=17，cq=17，cr=30，。

仿真1：設(shè)定四旋翼受強(qiáng)度為6 m/s2，頻率為1 Hz 的隨機(jī)干擾影響，驗證自適應(yīng)積分反步法雙回路控制系統(tǒng)在外界干擾下準(zhǔn)確跟蹤控制指令的能力。仿真結(jié)果如圖3-7 所示。

圖3 四旋翼隨機(jī)干擾變化曲線Fig.3 The disturbance of quadrotor

圖4 四旋翼指令跟蹤軌跡曲線Fig.4 The path of trajectory tracking

圖5 X 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.5 The responses of trajectory tracking of X channel

圖6 Y 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.6 The responses of trajectory tracking of Y channel

圖7 Z 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.7 The responses of trajectory tracking of Z channel

其中，圖3 為軌跡跟蹤過程中受到的隨機(jī)干擾曲線變化圖；圖4 為四旋翼無人機(jī)軌跡三維變化曲線；圖5、圖6 和圖7 中的上圖分別為X 通道、Y 通道和Z 通道的軌跡跟蹤曲線；圖5、圖6 和圖7 中的下圖為對應(yīng)的軌跡跟蹤誤差曲線。圖4-7 中紅色線條為參考軌跡，藍(lán)色為基于傳統(tǒng)反步法的指令跟蹤曲線，綠色為基于自適應(yīng)積分反步法的指令跟蹤曲線。

由圖4 以及圖5、圖6 和圖7 中的上圖可看出，藍(lán)色曲線存在多處震蕩偏離參考軌跡的現(xiàn)象，特別是圖7 上圖中的Z 通道軌跡變化曲線震蕩嚴(yán)重偏離了紅色曲線，而綠色曲線變化較為平滑，無劇烈震蕩現(xiàn)象，且更加接近于參考軌跡。圖5、圖6 和圖7 中的下圖反映了X、Y、Z 通道對應(yīng)的軌跡跟蹤誤差曲線，可明顯看出，綠色曲線振幅較小，ex、ey、ez在整個仿真周期中最大峰值僅為-0.30 m、0.39 m、-0.14 m，而藍(lán)色曲線最大峰值可達(dá)到-0.65 m、-0.69 m、1.64 m。表明在低頻率、高強(qiáng)度干擾影響下，基于自適應(yīng)積分反步法控制器能更好地估計并補(bǔ)償干擾誤差，表現(xiàn)效果更好。

仿真2：設(shè)定四旋翼受強(qiáng)度為62m/s ，頻率為5 Hz 的隨機(jī)干擾影響，驗證自適應(yīng)積分反步法雙回路控制系統(tǒng)在外界干擾下準(zhǔn)確跟蹤控制指令的能力。仿真結(jié)果如圖8-12 所示。

圖8 四旋翼隨機(jī)干擾變化曲線Fig.8 The disturbance of quadrotor

圖9 四旋翼指令跟蹤軌跡變化曲線Fig.9 The path of trajectory tracking

圖10 X 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.10 The responses of trajectory tracking of X channel

其中，圖8 為軌跡跟蹤過程中受到的隨機(jī)干擾曲線變化圖；圖9 為四旋翼軌跡三維變化曲線；圖10、圖11 和圖12 中的上圖分別為X 通道、Y 通道和Z 通道的軌跡跟蹤曲線；圖10、圖11 和圖12 中的下圖為對應(yīng)的軌跡跟蹤誤差曲線。圖9-12 中紅色線條為參考軌跡，藍(lán)色為基于傳統(tǒng)反步法的指令跟蹤曲線，綠色為基于自適應(yīng)積分反步法的指令跟蹤曲線。

圖11 Y 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.11 The responses of trajectory tracking of Y channel

圖12 Z 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.12 The responses of trajectory tracking of Z channel

由圖9 以及圖10-12 中的上圖可看出，藍(lán)色曲線存在多處震蕩偏離參考軌跡的現(xiàn)象，特別是圖12 的上圖中的Z 通道軌跡變化曲線震蕩嚴(yán)重偏離了紅色曲線，且通過對比圖5-7 中的上圖可知，四旋翼在同強(qiáng)度高頻干擾信號下跟蹤表現(xiàn)更好，實際飛行軌跡更加靠近參考軌跡，但無人機(jī)軌跡震蕩加劇，特別是在基于傳統(tǒng)反步法控制器下，無人機(jī)震蕩頻率更加頻繁，無人機(jī)穩(wěn)定性能表現(xiàn)更差。而圖9 以及圖10-12 的上圖中綠色曲線變化較為平滑，無劇烈震蕩現(xiàn)象，且更加接近于參考軌跡。圖10-12 中的下圖反映了X、Y、Z 通道對應(yīng)的軌跡跟蹤誤差曲線，可明顯看出，除初始階段綠色曲線出現(xiàn)較大峰外，后期軌跡跟蹤過程中基于自適應(yīng)積分反步法的四旋翼軌跡跟蹤誤差振幅明顯較小，而藍(lán)色曲線在整個飛行過程中均劇烈震蕩，且存在后期跟蹤過程中震蕩加劇現(xiàn)象，進(jìn)一步表明四旋翼在高頻率、高強(qiáng)度干擾影響下，基于自適應(yīng)積分反步法控制器能夠更快響應(yīng)干擾，并自適應(yīng)調(diào)整補(bǔ)償值，使得后期軌跡跟蹤效果明顯優(yōu)于基于傳統(tǒng)反步法的軌跡跟蹤效果。

仿真3：設(shè)定四旋翼受強(qiáng)度為12m/s ，頻率為1 Hz 的隨機(jī)干擾影響，驗證自適應(yīng)積分反步法雙回路控制系統(tǒng)在外界干擾下準(zhǔn)確跟蹤控制指令的能力。仿真結(jié)果如圖13-17 所示。

圖13 四旋翼隨機(jī)干擾變化曲線Fig.13 The disturbance of quadrotor

圖14 四旋翼指令跟蹤軌跡曲線Fig.14 The path of trajectory tracking

其中，圖13 為軌跡跟蹤過程中受到的隨機(jī)干擾曲線變化圖；圖14 為四旋翼軌跡三維變化曲線；圖15-17 中的上圖分別為X 通道、Y 通道和Z 通道的軌跡跟蹤曲線；圖15-17 中的下圖為對應(yīng)的軌跡跟蹤誤差曲線。圖13-17 中紅色線條為參考軌跡，藍(lán)色為基于傳統(tǒng)反步法的指令跟蹤曲線，綠色為基于自適應(yīng)積分反步法的指令跟蹤曲線。

圖15 X 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.15 The responses of trajectory tracking of X channel

圖16 Y 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.16 The responses of trajectory tracking of Y channel

由圖14 以及圖15-17 中的上圖可看出，在低頻、低強(qiáng)度隨機(jī)干擾影響下，基于自適應(yīng)反步法與基于傳統(tǒng)反步法的軌跡跟蹤均表現(xiàn)良好，進(jìn)一步說明該類型干擾對無人機(jī)實際飛行造成的影響可忽略不計，但圖中小圖仍可看出，綠色曲線較藍(lán)色曲線更加接近于參考軌跡。由圖15-17 的下圖可知，雖基于自適應(yīng)積分反步法的軌跡跟蹤誤差在初始階段誤差較大，但第一個峰值過后跟蹤誤差明顯減小，且能夠穩(wěn)定保持在較小的范圍內(nèi)震蕩；而基于傳統(tǒng)反步法的軌跡跟蹤誤差在全程均表現(xiàn)出大幅度震蕩現(xiàn)象。分析表明自適應(yīng)積分反步法在低強(qiáng)度、低頻率干擾下同樣表現(xiàn)出更加優(yōu)秀的跟蹤效果。

圖17 Z 通道指令跟蹤及誤差曲線Fig.17 The responses of trajectory tracking of Z channel

通過對比仿真1 與仿真2 測試效果可知，同強(qiáng)度下，低頻干擾對無人機(jī)飛行影響更大；對比仿真1 與仿真3 測試效果可知，同頻率下，高強(qiáng)度干擾對無人機(jī)更容易造成無人機(jī)失穩(wěn)現(xiàn)象。在低頻高強(qiáng)度干擾下，自適應(yīng)反步法軌跡跟蹤精度分別為0.30 m、0.39 m、0.14 m，傳統(tǒng)反步法跟蹤精度分別為0.65 m、0.69 m、1.64 m，跟蹤精度提高4.2 倍。且在軌跡跟蹤后期，自適應(yīng)積分反步法跟蹤誤差進(jìn)一步減小，三通道分別表現(xiàn)為0.1125 m、0.1109 m、0.1182 m，穩(wěn)定性提高13 倍。進(jìn)一步表明本文設(shè)計的自適應(yīng)積分反步法抗干擾控制器在各類干擾環(huán)境影響下具有更好的穩(wěn)定性。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于自適應(yīng)積分反步法的無人機(jī)軌跡跟蹤控制策略，有效解決了四旋翼無人機(jī)因外界干擾及自身不確定性因素造成的軌跡跟蹤誤差大，難以控制的問題，提高了無人機(jī)的軌跡跟蹤精度與速度，并保證了無人機(jī)良好的魯棒性和穩(wěn)定性。其中，在位置回路中加入了自適應(yīng)因子補(bǔ)償不確定性干擾誤差，提高軌跡跟蹤的精度，在速度回路中分別加入了自適應(yīng)因子和指令跟蹤誤差積分項，在弱化誤差影響的同時保證了無人機(jī)良好的穩(wěn)定性。最后通過不同強(qiáng)度、不同頻率下抗干擾測試，證明了自適應(yīng)積分反步法抗干擾控制器的有效性與可行性。

本文提出的自適應(yīng)積分反步法雖已在Simulink 環(huán)境下仿真驗證了其具有更好的抗干擾性能，但由于精力有限，未完成實物飛行測試，后續(xù)研究將從無人機(jī)實際飛行抗干擾測試方面進(jìn)一步深入研究，論證本文提出的自適應(yīng)積分反步法的工程適用性。