（桂林師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)系，廣西桂林541199）

一、問題重述

“薄利多銷”是通過降低單位商品的利潤來增加銷售數(shù)量，從而使商家獲得更多盈利的一種擴(kuò)大銷售的策略。對于需求富有彈性的商品來說，當(dāng)該商品的價(jià)格下降時(shí)，如果需求量（從而銷售量）增加的幅度大于價(jià)格下降的幅度，將導(dǎo)致總收益增加。在實(shí)際經(jīng)營管理中，“薄利多銷”原則被廣泛應(yīng)用。2019全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽E題（以下簡稱E題）提供了某商場較長時(shí)間里的銷售流水記錄，根據(jù)其中2018年1月1日起至2019年1月2日的銷售流水記錄，可以建立數(shù)學(xué)模型對薄利多銷問題進(jìn)行討論，分析“薄利多銷”這一原則對于整個(gè)商場的經(jīng)營是否適用，以及對于不同類型的商品是否適用。

二、符號說明

t——單日營業(yè)額，c——單日總成本，r——單日利潤，rp——單日利潤率，D——打折力度。

三、模型假設(shè)

1.假設(shè)商場中的同類商品的利潤率相同。

2.假設(shè)除了打折促銷外，沒有物價(jià)上漲等其他因素造成商品價(jià)格變化。

3.假設(shè)打折促銷均以現(xiàn)金折扣形式進(jìn)行，不考慮買一送一、滿金額立減及贈送現(xiàn)金券等打折方式。

四、模型的建立和求解

（一）商場整體的“薄利多銷”討論

由于未知原因，E題所給數(shù)據(jù)中非打折商品的成本價(jià)缺失。因此，需要先計(jì)算出缺失的成本價(jià)，步驟如下：

1.對于每一類商品，先在銷售流水記錄中找到這類商品的所有訂單，再找到有成本價(jià)的訂單，利用門店價(jià)和成本價(jià)計(jì)算這些訂單中商品的利潤率，并計(jì)算出平均值，用來估計(jì)該類商品的平均利潤率；

2.找到該類商品成本價(jià)缺失的訂單，用第1步得到的平均利潤率和訂單中的門店價(jià)回推缺失的成本價(jià)。這樣，就得到了完整的銷售流水記錄。

數(shù)據(jù)處理過程利用MATLAB編寫程序完成?？紤]到超市中的商品一般不存在太大的品牌溢價(jià)，同類商品利潤率應(yīng)該基本相同，這樣回推出的成本價(jià)是比較合理的。

算出缺失的成本價(jià)后，可以根據(jù)銷售流水記錄，統(tǒng)計(jì)2018年1月1日起至2019年1月2日期間商場每天的營業(yè)額、成本額、利潤及利潤率。

接下來建立指標(biāo)度量商場每天的打折力度?？紤]利用兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行度量。一是每天的打折商品率，即商場中打折商品在所有商品中所占的比率，這個(gè)比率越大，客戶越有機(jī)會買到自己想要的打折商品。二是打折商品的平均折扣率。折扣率越大，客戶購買打折商品就越省錢。將這兩個(gè)指標(biāo)取平均值，即可衡量每天的打折力度。由于只有銷售流水記錄，打折力度只能通過對流水進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘來實(shí)現(xiàn)，步驟如下：

1.遍歷每一天的所有訂單，若其中的銷售價(jià)小于門店價(jià)，說明該筆訂單存在打折行為，稱其為打折訂單。統(tǒng)計(jì)這類訂單的總數(shù)，稱為打折訂單數(shù)。用當(dāng)天的打折訂單數(shù)除以當(dāng)天的總訂單數(shù)，作為衡量當(dāng)天打折商品率的指標(biāo)，稱其為打折訂單率。

2.對于當(dāng)天的每一筆打折訂單，分別計(jì)算其折扣率，計(jì)算當(dāng)日所有打折訂單的折扣率的平均值，得到當(dāng)日打折商品的平均折扣率。

3.計(jì)算當(dāng)天打折訂單率和平均折扣率的平均值，作為當(dāng)天的打折力度。

利用MATLAB計(jì)算出2018年1月1日起至2019年1月2日每天的各個(gè)指標(biāo)值如表1（由于數(shù)據(jù)量較大，文中僅展示部分?jǐn)?shù)據(jù)）：

表1 商場經(jīng)營指標(biāo)匯總表

利用MATLAB做出打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率的散點(diǎn)圖如圖1：

圖1 打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率的散點(diǎn)圖

計(jì)算打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率的相關(guān)系數(shù)如表2：

表2 打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率的相關(guān)系數(shù)

從散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)可以看出打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率均存在較為顯著的相關(guān)性。打折力度與營業(yè)額、利潤的關(guān)系為正相關(guān)，與利潤率為負(fù)相關(guān)，即打折力度增大時(shí)，營業(yè)額和利潤會增大，而利潤率會減少。從分析結(jié)果來看，“薄利多銷”的原則對商場的銷售來說是適用的。

對打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率進(jìn)行回歸分析，結(jié)果如表3：

表3 打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率的線性回歸結(jié)果匯總表

從回歸分析的結(jié)果可以看出，打折力度與營業(yè)額的線性回歸方程為：

t＝-66410.455＋346137.33D；

打折力度與利潤的線性回歸方程為：

r＝-4782.658＋34007.669D；

打折力度與利潤率的線性回歸方程為：

rp＝0.334-0.533D.

三個(gè)模型及模型中的系數(shù)都具有顯著性。

利用MATLAB繪制殘差圖如圖2：

圖2 打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率的殘差圖

殘差圖中存在少量異常點(diǎn)?？紤]到在商場銷售活動中存在一些節(jié)假日等營業(yè)額特別高的日期，這樣的情形是可以接受的。

從回歸得到的線性方程來看，打折力度每增加一個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)計(jì)會使得營業(yè)額增加三千余元，利潤增加三百余元，而利潤率則會下降約0.5個(gè)百分點(diǎn)。與相關(guān)分析得到的結(jié)果一樣，對大型商場而言，“薄利多銷”是確實(shí)存在的，而且還能帶來利潤的增長。事實(shí)上，2018年1月1日起至2019年1月2日商場每天打折訂單率的最小值為0.18，平均折扣率最小值為0.19，打折力度最小值為0.2，即商城每天都存在著打折行為，“薄利多銷”是商場經(jīng)營過程中的常態(tài)。

（二）不同類型商品的“薄利多銷”討論

不同類型商品的價(jià)格彈性有很大差別，“薄利多銷”原則對于某些類型的商品未必適用。為驗(yàn)證“薄利多銷”原則在不同類型商品上的體現(xiàn)，按如下步驟進(jìn)行分析。

1.根據(jù)2018年1月1日起至2019年1月2日期間商場的銷售流水，統(tǒng)計(jì)各類商品每天的打折力度、營業(yè)額、利潤和利潤率。

2.觀察統(tǒng)計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有些類型的商品不經(jīng)常打折，所以一年中有很多天打折力度為0，這會影響相關(guān)分析和回歸分析的顯著性，因此剔除掉這些天的數(shù)據(jù)。稱一類商品打折力度不為零的天數(shù)為該類商品的打折天數(shù)，打折天數(shù)小于等于8的商品，由于樣本容量太小，也不再對其進(jìn)行分析。

3.對剩余商品的剩余數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析和回歸分析，結(jié)果如表4：

表4 各類商品打折力度與營業(yè)額、利潤及利潤率的相關(guān)、回歸分析結(jié)果匯總表

續(xù)表

從表4可以看出，2018年1月1日起至2019年1月2日期間，節(jié)慶用品、文化用品、美食、運(yùn)動戶外、家用電器、玩具6類商品從不打折或很少打折，所以無法分析其打折力度和營業(yè)額、利潤、利潤率的關(guān)系。其余21類商品中，打折力度與營業(yè)額呈負(fù)相關(guān)的有8種，分別為：辦公用品、紡織用品、營養(yǎng)保健、醫(yī)療器械、服裝服飾、情趣用品、寵物生活、居家日用；呈正相關(guān)的有8種，分別為：休閑食品、水產(chǎn)、日配／冷藏、進(jìn)口商品、個(gè)洗清潔、肉品、糧油副食、水果／蔬菜；相關(guān)性不顯著的有5種，分別為：日化用品、家居家裝、酒水飲料、烘焙、母嬰。打折力度與利潤呈負(fù)相關(guān)的有15種，分別為家居家裝、辦公用品、紡織用品、情趣用品、醫(yī)療器械、營養(yǎng)保健、服裝服飾、寵物生活、居家日用、烘焙、酒水飲料、水產(chǎn)、母嬰、日化用品、休閑食品；呈正相關(guān)的只有2種，分別為水果／蔬菜、糧油副食；相關(guān)性不顯著的有4種，分別為個(gè)洗清潔、日配／冷藏、肉品、進(jìn)口商品。所有類型的商品的打折力度和利潤率都呈明顯著的負(fù)相關(guān)。

分析結(jié)果說明，所有類型的商品的打折行為都會造成“薄利”，即利潤率減少。但很多類型的商品，打折未必會帶來“多銷”，即營業(yè)額增長，更不能帶來明顯的利潤增長?！氨±噤N”對于許多類型的商品事實(shí)上是不適用的。

既然“薄利多銷”原則對于許多類型的商品不適用，為什么卻會對商場整體適用呢？觀察各類商品的打折天數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)打折天數(shù)超過300天商品共有11類，打折力度和營業(yè)額呈顯著正相關(guān)的8類商品均在其中，而呈顯著負(fù)相關(guān)的8類商品，僅有1類在其中，其余的7類商品的打折天數(shù)均不超過200天，少的甚至只有幾十天?？梢娚虉鲈谥贫ù蛘鄞黉N的策略時(shí)，會優(yōu)先考慮“薄利多銷”的商品，而對于其他商品，則會只在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)打折銷售。大型商場商品種類齊全，通過部分商品的打折促銷可以帶動其他商品的銷售，增加客流量，加快資金流轉(zhuǎn)速度，所以即使許多類型的商品并不滿足“薄利多銷”，大型商場整體卻能實(shí)現(xiàn)“薄利多銷”。

五、模型的評價(jià)和分析

模型通過商場銷售流水記錄，分析了商場經(jīng)營中的“薄利多銷”情況，也討論了不同類型商品是否遵循“薄利多銷”這一原則。分析過程涉及到商場一年時(shí)間里的近八十萬條銷售流水，數(shù)據(jù)量非常大。為提高效率，從數(shù)據(jù)讀取到數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計(jì)分析和數(shù)據(jù)輸出都由MATLAB編寫程序完成，最后只需要對輸出的結(jié)果進(jìn)行分析解讀即可。對程序稍加改動，還可以進(jìn)行更深入的數(shù)據(jù)挖掘，分析解決更多的問題。