焦衛(wèi)東，曾嵐風(fēng)

（中國(guó)民航大學(xué)天津市智能信號(hào)與圖像處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300300）

近年來，基于實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)（RTK，real time kinematic）載波相位差分技術(shù)定位的測(cè)量技術(shù)應(yīng)用越來越廣泛，可快速準(zhǔn)確地獲得高精度的三維測(cè)量數(shù)據(jù)，不僅極大提高了工作效率，且減輕了野外勞動(dòng)強(qiáng)度，是民航飛行程序設(shè)計(jì)、機(jī)場(chǎng)建設(shè)等控制測(cè)量作業(yè)的首選方法[1-2]。但RTK 測(cè)量存在基準(zhǔn)面的缺陷，導(dǎo)致高程誤差較大，因此，提出高程擬合方法。

高程擬合方法是對(duì)觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行幾何水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)，同一點(diǎn)的大地高減去正常高得到該點(diǎn)的高程異常，再把測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面假定為多項(xiàng)式曲面或其他數(shù)學(xué)曲面來擬合已知高程異常點(diǎn)，擬合的曲面內(nèi)插其他點(diǎn)的高程異常值。常規(guī)擬合法分為線性擬合模型、平面擬合模型和曲面擬合模型（含多項(xiàng)式擬合、多面函數(shù)擬合及三角形網(wǎng)格擬合等）3類[3]，其中：線性擬合局限最大，適用范圍最??；平面擬合僅適用于平原等起伏不大的地區(qū)；曲面擬合的多項(xiàng)式擬合和多面函數(shù)擬合方法，其擬合函數(shù)受擬合區(qū)域的地形影響而改變[4-5]，三角形網(wǎng)格擬合方法中的DT（delaunay triangulation）網(wǎng)格方法的“三角形中最小角最大”特性最大限度地避免了出現(xiàn)狹長(zhǎng)、尖銳的三角形連接，且DT三角剖分的逐點(diǎn)插入法對(duì)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)具有容易實(shí)現(xiàn)、空間要求不大等優(yōu)點(diǎn)[6]，較適合已知RTK高程點(diǎn)集的擬合。DT網(wǎng)格擬合方法只保證三角形的最佳形狀，并不能明顯提高網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的擬合精度。

通過分析高程擬合的評(píng)估方法，在檢測(cè)點(diǎn)已知的情況下，針對(duì)三角形網(wǎng)格擬合方法，提出了兩種提高外符合精度的方法：第一種是將外符合精度作為限制條件進(jìn)行三角形網(wǎng)格構(gòu)建，可在同樣數(shù)量的頂點(diǎn)下明顯地提高精度；第二種是在DT網(wǎng)格頂點(diǎn)中加入計(jì)算外符合精度的檢測(cè)點(diǎn)來進(jìn)行網(wǎng)格構(gòu)建，雖增加了頂點(diǎn)數(shù)，但效率和精度都明顯提高。

1 高程擬合及精度評(píng)估

1.1 高程擬合

高程測(cè)量中，高程異常ζ為似大地水準(zhǔn)面H與橢球面h 之間的差距，即

已知測(cè)區(qū)的若干水準(zhǔn)點(diǎn)，由式（1）求得這些點(diǎn)的高程異常，構(gòu)造各種數(shù)學(xué)模型的似大地水準(zhǔn)面，然后內(nèi)插出未知點(diǎn)的高程異常值ζ，進(jìn)而求出正常高。

1.2 擬合精度評(píng)估

對(duì)于高程擬合精度的評(píng)估，從理論和應(yīng)用上主要有兩種方法：內(nèi)外符合精度和測(cè)量等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)[7]。

1.2.1 內(nèi)外符合精度

設(shè)V=[v1v2… vn]，vi=ζi-ζi′，則內(nèi)外符合精度定義為

其中：當(dāng)vi表示在擬合點(diǎn)得到測(cè)量高程異常ζi與通過擬合公式計(jì)算獲得的擬合后的高程異常值ζi′之差時(shí)，μ 表示內(nèi)符合精度，n為參加擬合的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)，可反映擬合點(diǎn)的觀測(cè)值與擬合值間的精密度；當(dāng)vi表示在高程檢測(cè)點(diǎn)得到的高程異常ζi與通過擬合公式計(jì)算獲得的擬合后的高程異常值ζi′之差時(shí)，μ 表示外符合精度，n為參加檢測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

內(nèi)符合精度是反映擬合數(shù)據(jù)對(duì)擬合結(jié)果造成的偏差，而外符合精度是反映擬合結(jié)果的真實(shí)偏差。內(nèi)、外符合精度從點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)角度出發(fā)，是一種相對(duì)意義上的絕對(duì)精度評(píng)估。內(nèi)、外符合精度越小，表明擬合模型的精度越高；反之，則表明擬合模型的精度越低。

1.2.2 國(guó)家高程控制測(cè)量等級(jí)

國(guó)家高程控制測(cè)量等級(jí)如表1所示，其中，測(cè)區(qū)長(zhǎng)度L 是所有測(cè)量點(diǎn)連線的長(zhǎng)度。

一、二等測(cè)量需要嚴(yán)格的測(cè)量設(shè)備，主要應(yīng)用于地質(zhì)、水文等勘測(cè)工程測(cè)量；三、四等水準(zhǔn)主要應(yīng)用于橋梁、道路等一般工程測(cè)量。

表1 國(guó)家高程控制測(cè)量等級(jí)Tab.1 National elevation control survey level

2 三角形網(wǎng)格高程擬合方法

通過RTK 定位測(cè)量，可得到水準(zhǔn)點(diǎn)（擬合點(diǎn)）集Q={Q1，Q2，…，Qn}的厘米級(jí)精度的三維數(shù)據(jù)，基于這些水準(zhǔn)點(diǎn)，建立三角形網(wǎng)格。通過三角形頂點(diǎn)（擬合點(diǎn)）的高程數(shù)據(jù)擬合三角形內(nèi)各點(diǎn)的高程數(shù)據(jù)，當(dāng)網(wǎng)格頂點(diǎn)密度極高時(shí)，三角網(wǎng)格的每個(gè)三角形可體現(xiàn)該范圍內(nèi)的地形高程，從而得到測(cè)區(qū)的高程數(shù)據(jù)。

設(shè)高程表示為h=f（x，y），（x，y）∈D，D為點(diǎn)集所在區(qū)域，高程網(wǎng)格共有N個(gè)三角形，分別記為Ti，i=0，1，…，N-1。稱函數(shù)

為高程的一個(gè)“描述”、“表示”或“逼近”，其中，gi（x，y）是f（x，y）在Ti上的“逼近函數(shù)”，且滿足某一限制條件。當(dāng)N 趨近于無限大時(shí)，G 趨近于真實(shí)高程。

三角形網(wǎng)擬合方法中最常用網(wǎng)格構(gòu)造方法是DT網(wǎng)格方法[8-9]，具有兩個(gè)特性：

1）空?qǐng)A特性 DT三角網(wǎng)格是唯一的（任意4 點(diǎn)不能共圓），在DT三角形網(wǎng)中任一三角形的外接圓范圍內(nèi)不會(huì)有其他點(diǎn)存在；

2）最大化最小角特性 在散點(diǎn)集可能形成的三角剖分中，DT三角剖分所形成的三角形的最小角最大。

利用DT網(wǎng)格來對(duì)RTK 測(cè)量的地形高程進(jìn)行擬合時(shí)，采用逐點(diǎn)插入法，該方法是一種非常適合三維高程數(shù)據(jù)的三角網(wǎng)格連接方法。其步驟如下：首先，構(gòu)造一個(gè)超級(jí)三角形，包含所有散點(diǎn)，放入三角形鏈表；其次，將點(diǎn)集中的散點(diǎn)依次插入，在三角形鏈表中找出其外接圓包含插入點(diǎn)的三角形（稱為該點(diǎn)的影響三角形），刪除影響三角形的公共邊，將插入點(diǎn)同被影響的三角形的全部頂點(diǎn)連接起來，從而完成一個(gè)點(diǎn)在DT三角形鏈表中的插入；再根據(jù)優(yōu)化準(zhǔn)則對(duì)局部新形成的三角形進(jìn)行優(yōu)化，將形成的三角形放入DT三角形鏈表；最后循環(huán)插入所有散點(diǎn)，建立三角形。

獲得三角形網(wǎng)格連接后，逼近函數(shù)g（x，y）可在每個(gè)三角形3個(gè)頂點(diǎn)確定的平面上進(jìn)行構(gòu)造，通過3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確定的平面方程為

其中：（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3）分別表示三角形的3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。通過式（4）就可得到該平面內(nèi)各點(diǎn)的擬合高程。

3 基于外符合精度的三角網(wǎng)格方法

DT網(wǎng)格的兩個(gè)特性保證了其在形狀布局上的最佳，但若將其應(yīng)用于高程擬合上，在水準(zhǔn)點(diǎn)較少的情況下（一般情況下為20～30個(gè)擬合點(diǎn)），該方法并不能保證其擬合精度達(dá)到最佳。在已知檢測(cè)點(diǎn)的情況下，討論了兩種提高外符合精度的方法。

3.1 基于外符合精度最小準(zhǔn)則法

在三角網(wǎng)格中擬合點(diǎn)一定是擬合網(wǎng)格頂點(diǎn)，由式（2）內(nèi)符合精度概念可知三角網(wǎng)格擬合點(diǎn)處內(nèi)符合精度為0，在擬合點(diǎn)處已達(dá)到最優(yōu)，不可作為限定條件；而外符合精度是由外部檢測(cè)點(diǎn)計(jì)算得到，反映的是擬合模型的精確度和擬合結(jié)果的實(shí)際可信度，可作為限定條件。因此，取限制條件C為外符合精度最小準(zhǔn)則，即使得式（2）達(dá)到最小。

對(duì)檢測(cè)點(diǎn)集P = {P1，P2，…，Pn}，由式（1）ζi= Hihi，ζi′=Hi′-hi′，則最小外符合精度準(zhǔn)則為

依然按照逐點(diǎn)插入法，建立擬合點(diǎn)的一個(gè)初始網(wǎng)格，由式（4）計(jì)算檢測(cè)點(diǎn)集合P={P1，P2，…，Pn}的高程，然后由式（2）計(jì)算其外符合精度，遍歷所有三角網(wǎng)格連接鏈表，選取使C（P）最小的三角形作為網(wǎng)格中的三角形Ti，最終找到最小外符合精度的整體三角形網(wǎng)格。在20個(gè)擬合點(diǎn)、5個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的情況下分別進(jìn)行DT網(wǎng)格法及基于外符合精度的三角形網(wǎng)格法處理，最終的網(wǎng)格連接結(jié)果分別如圖1和圖2所示。

由圖1和圖2 對(duì)比可看到，圖2的三角網(wǎng)格并不再是規(guī)則的DT網(wǎng)格，其中，2、10、13、15 這些點(diǎn)的三角形連接發(fā)生了明顯變化，這種變化是由外符合精度決定的，變化后的三角形的外符合精度更小，符合添加的精度準(zhǔn)則。

圖1 DT網(wǎng)格Fig.1 DT mesh

圖2 基于外符合精度的三角形網(wǎng)格Fig.2 Triangular mesh based on external coincidence accuracy

3.2 加入檢測(cè)點(diǎn)的DT網(wǎng)格擬合

實(shí)際上，由式（2）可見，當(dāng)所有檢測(cè)點(diǎn)均為擬合點(diǎn)時(shí)，高程擬合的外符合精度直接達(dá)到最優(yōu)值0，因此為了提高DT網(wǎng)格的擬合精度，在檢測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)已知且不可進(jìn)行改變的情況下，將檢測(cè)點(diǎn)加入到擬合點(diǎn)集中，把擬合點(diǎn)和檢測(cè)點(diǎn)均看作網(wǎng)格頂點(diǎn)進(jìn)行DT網(wǎng)格的構(gòu)建，這時(shí)擬合結(jié)果的外符合精度必然為0。從理論上講：一方面，檢測(cè)點(diǎn)加入到擬合點(diǎn)集中相當(dāng)于擴(kuò)充了原始的擬合點(diǎn)集，隨著擬合點(diǎn)或網(wǎng)格頂點(diǎn)的增多，擬合平面的精度自然要高于僅采用擬合點(diǎn)進(jìn)行擬合的DT網(wǎng)格；另一方面，由于檢測(cè)點(diǎn)參與DT網(wǎng)格構(gòu)建，因此當(dāng)仍用這些檢測(cè)點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，外符合精度值自然為0。含有20個(gè)擬合點(diǎn)和5個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的DT網(wǎng)格如圖3所示。

圖3 加入檢測(cè)點(diǎn)的DT網(wǎng)格Fig.3 DT mesh with detection points

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)室采用司南基站M-300和移動(dòng)站M-600 接收機(jī)進(jìn)行RTK 測(cè)量數(shù)據(jù)獲取，在應(yīng)用RTK 測(cè)量過程中由于環(huán)境條件、儀器等原因會(huì)使觀測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)粗差，數(shù)據(jù)處理中首要任務(wù)是檢驗(yàn)并剔除存在粗差的觀測(cè)值，否則會(huì)導(dǎo)致高程異常模型的失真或扭曲，極大地影響擬合精度。

通常在高程擬合中已知點(diǎn)不會(huì)太多，通常以標(biāo)準(zhǔn)化殘差ζi進(jìn)行β 檢驗(yàn)[10]，即

其中：n為觀測(cè)組數(shù)；p為未知參數(shù)個(gè)數(shù)；β（a，b）是β 分布。取顯著水平α，當(dāng)β ＞β(α)時(shí)，認(rèn)為此殘差是粗差，并剔除，可有效提高RTK 測(cè)量數(shù)據(jù)的可靠性。

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

采用粗差剔除后的數(shù)據(jù)，均勻選取20個(gè)數(shù)據(jù)作為擬合點(diǎn)，分別進(jìn)行平面、二次曲面、三次曲面、四次曲面、多面函數(shù)等常規(guī)擬合方法，DT網(wǎng)格方法，基于外符合精度的三角形網(wǎng)格（方法1）和加入檢測(cè)點(diǎn)的DT網(wǎng)格（方法2）進(jìn)行擬合，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行比較和精度分析。擬合后的高程對(duì)比結(jié)果，如表2所示。

表2 曲面擬合高程異常殘差結(jié)果Tab.2 Curved surface fitting results of elevation anomaly residuals

表2 中殘差值是指擬合平面上高程和實(shí)際曲面高程的差值。對(duì)于三角網(wǎng)格方法（DT網(wǎng)格法、方法1及方法2），由于三角網(wǎng)格擬合頂點(diǎn)處內(nèi)符合精度為0，因此，僅比較網(wǎng)格的外符合精度值。由表2 可看出，常規(guī)平面、曲面方法較DT網(wǎng)格在高程擬合的精度方面有一定優(yōu)勢(shì)，但方法加外符合精度最小這一約束條件后，三角形網(wǎng)格方法精度的提高尤為明顯，提高了約121%的外符合精度值，且優(yōu)于其他常規(guī)高程擬合方法。外符合精度一定程度上反映了擬合模型的可行性，通過這種方法可以有效地改進(jìn)DT網(wǎng)格擬合在精度上不足，從而提高擬合結(jié)果。此外，方法2 把檢測(cè)點(diǎn)也當(dāng)作擬合點(diǎn)（網(wǎng)格頂點(diǎn)），可看出其平均殘差相比DT網(wǎng)格有明顯提高，又由于網(wǎng)格頂點(diǎn)一定在擬合曲面上，其內(nèi)外符合精度均為0。

方法1、2 計(jì)算的測(cè)區(qū)長(zhǎng)度大于6 km，其四等水準(zhǔn)限差為4.8 cm，基于外符合精度的三角網(wǎng)格方法擬合結(jié)果滿足國(guó)家四等水準(zhǔn)測(cè)量等級(jí)以上。

從時(shí)間效率來看：三角網(wǎng)格擬合方法耗時(shí)均長(zhǎng)于常規(guī)擬合方法；方法1 耗時(shí)相對(duì)較長(zhǎng)，是DT網(wǎng)格的近3 倍，實(shí)際擬合過程中，通常使用20～30個(gè)擬合點(diǎn)，因此方法1的時(shí)間效率可接受；方法2 在20個(gè)網(wǎng)格頂點(diǎn)的基礎(chǔ)上又加入5個(gè)檢測(cè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，屬于成熟DT網(wǎng)格方法，在精度提高的同時(shí)時(shí)間效率變化不大。

5 結(jié)語

結(jié)合RTK 測(cè)量的特點(diǎn)，考慮到其高程上存在的不足，基于外符合精度，提出了兩種三角形網(wǎng)格擬合方案。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該三角形網(wǎng)格方法在已知檢測(cè)點(diǎn)的情況下可顯著提高RTK高程擬合的精度，精度高于曲面擬合和DT網(wǎng)格擬合方法，能較好地?cái)M合出實(shí)際高程。該方法對(duì)民航飛行程序設(shè)計(jì)、機(jī)場(chǎng)建設(shè)等工程應(yīng)用的高程測(cè)量有一定的應(yīng)用價(jià)值。