張君

摘 要：深度學(xué)習(xí)是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、方法、本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑?！缎抡n標(biāo)》指出“學(xué)生要開展基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)，基于問題的學(xué)習(xí)，基于挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)”，這個(gè)學(xué)習(xí)就是指深度學(xué)習(xí)。如何精心設(shè)計(jì)教學(xué)、利用課堂有限的時(shí)間提升學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力是教師當(dāng)下需要致力于研究并解決的重要課題。數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重、難點(diǎn)，2019浙江卷就涉及到數(shù)學(xué)歸納法。本文以高三一輪復(fù)習(xí)時(shí)數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，圍繞“什么是數(shù)學(xué)歸納法;如何用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”展開，引導(dǎo)學(xué)生“想得到”用數(shù)學(xué)歸納法又“想得通”如何用數(shù)學(xué)歸納法，以達(dá)到提升學(xué)生邏輯推理能力、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);高三一輪復(fù)習(xí);數(shù)學(xué)歸納法;教學(xué)設(shè)計(jì)

2019浙江卷第20題考的是數(shù)列的知識，它考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力以及綜合應(yīng)用的能力，其第二小題可以直接用放縮法證明，亦可數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合來證明。考生在這題上的得分是偏低的，高考后筆者問卷調(diào)查了所在學(xué)校的考生，發(fā)現(xiàn)考生在嘗試證明第二小題時(shí)碰到以下困難：1.想不到用數(shù)學(xué)歸納法證明;2.能夠想到用數(shù)學(xué)歸納法證明，但完成第一步歸納奠基之后，不能完成第二步歸納遞推，以致解題失敗。高三復(fù)習(xí)課的目標(biāo)就是使學(xué)生搞清楚新授課時(shí)沒有搞清楚的知識、方法，在深度理解知識點(diǎn)后，通過深度學(xué)習(xí)，能夠運(yùn)用知識、方法解決數(shù)學(xué)問題，從而理清知識脈絡(luò)、掌握知識體系。筆者就一輪復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)歸納法的復(fù)習(xí)課為例，針對“什么是數(shù)學(xué)歸納法;如何用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”這兩個(gè)問題設(shè)計(jì)了一堂課，敬請專家批評指正。

一、數(shù)學(xué)歸納法復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1、教學(xué)內(nèi)容分析

數(shù)學(xué)歸納法是人教版數(shù)學(xué)選修2-2第二章推理與證明的第三節(jié)的內(nèi)容，是以演繹推理為主的一種數(shù)學(xué)證明方法，是典型的三段論，也是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，數(shù)學(xué)家皮亞諾建立自然數(shù)的公理體系時(shí)，確立了數(shù)學(xué)歸納法是自然數(shù)的公理之一（歸納公理）。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明題目的基本步驟：第一步歸納奠基，第二步是歸納遞推，這兩步缺一不可，共同確保了論證的嚴(yán)密性和正確性。高考對數(shù)學(xué)歸納法的要求是會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單數(shù)學(xué)命題。

2、學(xué)情分析

筆者今年帶教的兩個(gè)畢業(yè)班都是文科班，數(shù)學(xué)底子不夠扎實(shí)，學(xué)生在高二時(shí)粗略地學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法的定義以及應(yīng)用。其學(xué)習(xí)困難主要表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：一是概念模糊，不清楚數(shù)學(xué)歸納法的原理，所以碰到能夠用數(shù)學(xué)歸納法證明的題目時(shí)想不到用數(shù)學(xué)歸納法來證明;二是邏輯推理能力不夠，在證明歸納遞推，也即假設(shè)命題P（k）成立證明P（k+1）也成立時(shí)碰到困難，導(dǎo)致哪怕想得到要用數(shù)學(xué)歸納法來證明也證明不出來。

3、教學(xué)目標(biāo)

追本溯源，使學(xué)生從本質(zhì)上理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理、意義，明確其適用范圍、證明步驟，掌握證明歸納遞推時(shí)用到的基本思想、方法;培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力。

4、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：明確數(shù)學(xué)歸納法的原理、基本步驟、以及證明歸納遞推的基本思想、方法。

教學(xué)難點(diǎn)：如何證明歸納遞推;培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力。

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

本節(jié)課的基本流程安排如下：由具體例題引出數(shù)學(xué)歸納法→引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟→通過提問使學(xué)生明確數(shù)學(xué)歸納法的原理→引導(dǎo)學(xué)生探索證明歸納遞推的基本思想、方法→學(xué)生歸納總結(jié)→教師點(diǎn)評。

1、設(shè)置問題，引發(fā)深度思考

問題一：

講義發(fā)下后學(xué)生普遍感到困難，很多學(xué)生已經(jīng)忘記用數(shù)學(xué)歸納法證明的基本步驟，整個(gè)班級只有二十來個(gè)學(xué)生寫出了第一步：驗(yàn)證當(dāng)n=2時(shí)不等式成立，至于第二步就無從下筆了。

師：大家普遍感到困難，今天我們的任務(wù)就是理清數(shù)學(xué)歸納法的原理、基本步驟和基本方法。大家還記得多米諾骨牌嗎？我們先來整理一下：多米諾骨牌能夠全部倒下的條件是什么？

生：先要按倒第一塊，然后因?yàn)閿[放得當(dāng)，只要前面一塊倒下后面一塊一定倒下。

師：所以第一步是按倒第一塊，第二步是只要前面一塊倒下那么后面一塊就倒下，結(jié)合這兩步骨牌就全部倒下了。類比多米諾骨牌，我們把這兩步化歸到數(shù)學(xué)歸納法是哪兩步？

生：驗(yàn)證第一項(xiàng)，也即n=1時(shí)結(jié)論成立，第二步是證明假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，那么n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。

師：（板書證明的基本步驟歸納奠基、歸納遞推）這兩步缺一不可，第二步證明了如果前面一項(xiàng)成立則后面一項(xiàng)一定成立，也即證明了傳遞性，這個(gè)時(shí)候驗(yàn)證第一項(xiàng)確實(shí)成立，那么第一項(xiàng)成立根據(jù)傳遞性推出第二項(xiàng)成立，第二項(xiàng)成立推出第三項(xiàng)成立，以此類推，哪怕n無窮大，也即證明了所有項(xiàng)都成立。我們來再次解題。

設(shè)計(jì)意圖：開門見山直面主題——用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。學(xué)生證明遇到困難，通過回憶，思考數(shù)學(xué)歸納法的原理與基本步驟。

2、明確原理，促進(jìn)深度理解

學(xué)生繼續(xù)解題。

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步是驗(yàn)證第一項(xiàng)，也就是按倒第一塊，這個(gè)第一項(xiàng)一定指n=1的時(shí)候嗎？

生：不一定。

師：所以同學(xué)們在證明第一步的時(shí)候斟酌一下滿足條件的第一項(xiàng)是哪一項(xiàng)，對于本題滿足條件的初始項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

生：第二項(xiàng)。

生描述解題過程，師規(guī)范板書并強(qiáng)調(diào)書寫格式。

設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)候需要注意的細(xì)節(jié)比如初始項(xiàng)，可以通過具體問題由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)從而強(qiáng)化記憶。

師：第二步，假設(shè)

下面想證當(dāng)n=k+1 時(shí)，結(jié)論也成立，我們來分析一下，我們要根據(jù)什么條件來證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，也即什么條件可以推出n=k+1時(shí)也成立這個(gè)結(jié)論？n=k+1時(shí)的結(jié)論是什么？

生：條件是假設(shè)

結(jié)論是證明

師：對的，你能歸納一下用數(shù)學(xué)歸納法解題的第二步，我們本質(zhì)上是做了什么事情？

生：就是利用n=k時(shí)命題成立作為條件推導(dǎo)出n=k+1時(shí)命題也成立這個(gè)結(jié)論。也就是證明了只要前面一項(xiàng)成立那么后面一項(xiàng)一定也成立。

師：很好，數(shù)學(xué)歸納法的第二步重點(diǎn)是證明：若P（k）為真，則P（k+1）為真，也就是證明結(jié)論具有傳遞性，這樣的話結(jié)合之前第一步已經(jīng)驗(yàn)證了P（1）成立，那么就能夠得到所有項(xiàng)都成立，所以數(shù)學(xué)歸納法就是用有限的步驟來證明無窮項(xiàng)都成立，這就是數(shù)學(xué)歸納法的精妙所在。所以我們在處理和正整數(shù)有關(guān)，特別是與數(shù)列有關(guān)的證明，遇到常規(guī)方法行不通的時(shí)候我們就可以嘗試用數(shù)學(xué)歸納法來證明命題成立，或者先猜測結(jié)論，再由數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法的“形”是沒有多大問題的，但是真正掌握數(shù)學(xué)歸納法的“神”一直是個(gè)難點(diǎn)，如果沒有搞清楚數(shù)學(xué)歸納法的原理，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明就無從談起。通過剛才的提問和回答，學(xué)生就會明白數(shù)學(xué)歸納法的第二步就是證明了“ 若P（k）則P（k+1）”為真命題，這樣的話，結(jié)合第一步，很容易就得到了 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，也就清楚了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，體會到數(shù)學(xué)歸納法的正確性、嚴(yán)密性以及實(shí)用性，達(dá)到深度理解的目的。

3、探索方法，達(dá)到深度學(xué)習(xí)

學(xué)生在使用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的過程中，往往困難會發(fā)生在

的時(shí)候，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題并不是歸納法“孤軍奮戰(zhàn)”的過程，我們往往通過分析條件和結(jié)論，運(yùn)用多種方法解決問題，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)歸納法的威力。

方法1：分析法與作差法結(jié)合

師：所以我們在證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?放大到

，然后呢？我們想證明的是

，這個(gè)時(shí)候我們該怎么處理？

生： 式是利用前面一項(xiàng)作為條件得到的結(jié)論，一定是可行的，而后面 式是我們要證明的結(jié)論，也一定是對的，那么我們只要證明

即可。

師：很好，通過分析我們發(fā)現(xiàn)只要證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 就能夠證明結(jié)論成立，那我們怎么證明該不等式成立？

生：作差比較，減一減。

師：所以我們要善于分析得到的結(jié)論和想證的結(jié)論有什么聯(lián)系，如果需要比大小我們首先考慮減一減，也就是做差比較。當(dāng)然，如果是用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，我們該怎么處理？

生：想辦法把得到的結(jié)論化成想證的結(jié)論。

（教師板書過程并規(guī)范格式）。

設(shè)計(jì)意圖： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，碰到需要比大小，學(xué)生首先要想到運(yùn)用作差比較法來證明結(jié)論成立。

方法2：分析法與放縮法結(jié)合

問題二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

學(xué)生嘗試解題。

教師用投影儀投影某學(xué)生解題過程：

“第一步：當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，右邊=2 ， ? ? ? ? ? ? ，成立

第二步：假設(shè)當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時(shí)，

那么，當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”

師：這位同學(xué)還沒有做完，請同學(xué)們點(diǎn)評一下，這位同學(xué)解的過程正確與否。

生：第一步是對的，第二步中的假設(shè)也對的，但是n=k+1時(shí)的式子是錯誤的。

師：請你改一改。

生：

師：好的，說明我們在由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，必須要清楚 n=k到n=k+1時(shí)兩個(gè)式子的項(xiàng)的變化規(guī)律。那么本題里，從 n=k到n=k+1，多了哪幾項(xiàng)？多了幾項(xiàng)？

生：多了 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，總共 ? ? 項(xiàng)

師：接下來我們該如何分析？

生：

是利用n=k時(shí)成立推出的結(jié)論，而我們的目的是證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以，我

們只需要證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，也就是證明

即可

師：作差比較法這里適用嗎？

生：不適用，因?yàn)椴荒芡ǚ忠膊豢赡軠p一減。

師：想一想，這里有2k項(xiàng)個(gè)分式的和，既不是等差數(shù)列求和又不是等比數(shù)列求和，想證明它們的和小于1，也不能用直接作差比較的方法，我們觀察一下這些項(xiàng)的特征，怎么去把它們的和和1去比較呢？

生：

師：（學(xué)生口述，師板書過程）很好，從 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時(shí)，要證A

設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)知識的發(fā)展過程，教師必須有目的的引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題發(fā)生以及解決的過程。通過本題學(xué)生明確了：1、在進(jìn)行歸納遞推證明的時(shí)候，必須先弄清楚從n=k到n=k+1時(shí)項(xiàng)的變化規(guī)律，然后根據(jù)具體的需要來決定用什么方法進(jìn)行證明;2、證明不等式的時(shí)候首選比較法，如果比較法行不通，可以嘗試先放縮再比較，把不容易比較的式子放縮成相對簡單的式子，從而體驗(yàn)到了使用放縮法的必要性。

問題二變式：（2019浙江卷20題）

第一小題因?yàn)橛?jì)算過程不簡單所以學(xué)生解答的時(shí)候耗時(shí)不短，但學(xué)生剛剛復(fù)習(xí)過數(shù)列，問題不大，所以筆者用實(shí)物投影儀直接投出了某位學(xué)生的解答過程。因?yàn)楸竟?jié)課是復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，第二小題又是正整數(shù)相關(guān)的命題的證明，所以學(xué)生在證明第二小題時(shí)很自然的想通過數(shù)學(xué)歸納法來證明。涉及到放縮，所以學(xué)生在由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時(shí)還是有困難。筆者繼續(xù)投影學(xué)生的證明過程：

學(xué)生在這里遇到了困難，很多學(xué)生把不等式右邊的項(xiàng)移到左邊，進(jìn)行做差比較，雖然只有三項(xiàng)，但是帶根號、通分之后化簡很不方便，所以大部分學(xué)生開始往放縮法轉(zhuǎn)移。繼續(xù)投影學(xué)生的證明過程：

學(xué)生方法一：

學(xué)生方法二：

設(shè)計(jì)意圖：放縮法是證明不等式最重要的方法之一，把數(shù)學(xué)歸納法和放縮法雙劍合璧可以極大的簡化證明過程，但極其考驗(yàn)學(xué)生分析、推理的能力，是學(xué)生掌握的一個(gè)難點(diǎn)。問題二及變式通過放縮法化零為整，使證明過程簡單明了。尤其是變式，它是2019高考題，學(xué)生利用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立時(shí)，把不等式化歸到幾項(xiàng)間比大小，在第二步做差比較行不通時(shí)，通過比較、分析，利用適當(dāng)?shù)姆趴s達(dá)到目的，知道了運(yùn)用放縮法解題是很自然的過程，其本意是為了更方便比較，放縮法沒有想象的那么高大上，同時(shí)體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)歸納法以及放縮法的威力，既挑戰(zhàn)了高考難題又激發(fā)了學(xué)習(xí)的積極性。

4、師生小結(jié)，完成總結(jié)提升

之后學(xué)生小結(jié)師點(diǎn)評并歸納總結(jié)。（過程略）

三、課后反思、總結(jié)

針對高三一輪復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)歸納法的復(fù)習(xí)，筆者設(shè)計(jì)了兩課時(shí)，以上是第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)。在引導(dǎo)學(xué)生完成了數(shù)學(xué)歸納法原理的梳理之后，筆者把重點(diǎn)放在了推動學(xué)生探索如何結(jié)合分析法、比較法和放縮法來證明歸納遞推。第二課時(shí)講評數(shù)學(xué)歸納法的課后作業(yè)，通過評練結(jié)合，鞏固證明歸納遞推的幾種重要方法。盲目地搞題海戰(zhàn)術(shù)會嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，所以教師必須有的放矢地設(shè)計(jì)高質(zhì)量的課堂教學(xué)，精選素材，巧設(shè)問題，推動探索，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力，為迎戰(zhàn)高考夯實(shí)基礎(chǔ)。筆者有以下幾點(diǎn)建議，拋磚引玉。

1、必須引導(dǎo)學(xué)生把新授課時(shí)沒有弄懂的定義、概念、原理理解清楚。數(shù)學(xué)方法確實(shí)很重要，但定義、概念、原理是對事物數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)的描述，是數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)，教師在一輪復(fù)習(xí)時(shí)切不可急于講授數(shù)學(xué)方法，學(xué)生只有在掌握了數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的本質(zhì)后才能掌握方法、靈活地運(yùn)用方法解題。

2、必須推動學(xué)生把新授課時(shí)學(xué)而不全的知識點(diǎn)、方法探索全面。俗話說得好“成功在于細(xì)節(jié)”，很多學(xué)生對知識點(diǎn)、方法掌握不透不深，導(dǎo)致解題不能得高分、滿分，這時(shí)候教師一定要巧設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生做得出、講得清。

3、必須推動學(xué)生把新授課時(shí)沒有學(xué)過的、比較困難的方法探索透徹。有些知識點(diǎn)、方法新授課時(shí)沒有涉及到過，本身也比較困難，那么在復(fù)習(xí)課的時(shí)候就該把這個(gè)知識點(diǎn)、方法通過具體問題、情境，辯證、聯(lián)系地講練清楚，使學(xué)生明確其產(chǎn)生的來龍去脈以及使用方法。

4、必須強(qiáng)調(diào)知識點(diǎn)、方法間的聯(lián)系，從而形成知識體系。數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)是相互聯(lián)系的，教師在上復(fù)習(xí)課的時(shí)候切忌一節(jié)課只涉及一個(gè)知識點(diǎn)，應(yīng)該把涉及到的知識點(diǎn)間的聯(lián)系講解清楚，進(jìn)行整體教學(xué)，使學(xué)生對該系列的知識點(diǎn)有全面的理解，從而形成體系。

5、必須引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成深度思考、全程參與的習(xí)慣，進(jìn)而深度理解。高三復(fù)習(xí)時(shí)間緊任務(wù)重，有些教師為了能夠講解更多的題目采取了“滿堂灌”的方法，這是極不可取的，深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生只有親身經(jīng)歷問題的提出以及解決的過程，學(xué)生自己能夠講出來、講透徹，才可能對問題的本質(zhì)有所了解，才能真正掌握知識、方法。

本文最后，以張金良先生的話結(jié)尾：“在現(xiàn)實(shí)課堂教學(xué)中，如何在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)引導(dǎo)學(xué)生做到深度學(xué)習(xí)確實(shí)不易，既要完成既定的教學(xué)任務(wù)，又要讓學(xué)生盡量充分地去體驗(yàn)學(xué)習(xí)的過程，這是一線教師開展深度學(xué)習(xí)最難解決的矛盾，首先要求教師要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深度的學(xué)習(xí)，只有這樣才能深度理解教學(xué)內(nèi)容、批判質(zhì)疑有關(guān)問題、揭示問題的本質(zhì)”[1]。

參考文獻(xiàn)：

[1]張金良.構(gòu)建深度學(xué)習(xí)課堂 促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（11）：1-5.