李 戎 ，楊 萌 ，梁 斌 ，NODA Nao-Aki

(1. 河南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，河南，洛陽 471023；2. 九州工業(yè)大學(xué)機械系，日本，北九州市 804-8550)

功能梯度材料圓筒(以下簡稱 FGM 圓筒)是一種可設(shè)計性非均勻復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，因其消除了傳統(tǒng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中存在的界面問題而被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、船舶與海洋工程等領(lǐng)域[1-2]。由于FGM圓筒服役期間通常處于極端環(huán)境，極易出現(xiàn)裂紋損傷。裂紋的存在不僅會影響結(jié)構(gòu)性能，還有可能導(dǎo)致整個工程結(jié)構(gòu)失效[3]。因此，對含裂紋FGM 圓筒結(jié)構(gòu)進行力學(xué)分析是保障工程結(jié)構(gòu)安全性與先進性的先決條件。

裂紋尖端的應(yīng)力強度因子是確定含裂紋構(gòu)件安全性的重要參數(shù)[4-7]。近年來，已有大量研究論文涉及了這一領(lǐng)域[8-13]，基于權(quán)函數(shù)法[8-9]、能量釋放率法[12]等方法研究含裂紋FGM圓筒的應(yīng)力強度因子。已有研究結(jié)果顯示，可以將針對含裂紋均勻材料的理論分析方法加以改進，應(yīng)用于含裂紋FGM圓筒應(yīng)力強度因子的研究中[8,11]。但是，由于FGM性質(zhì)的特殊性，F(xiàn)GM結(jié)構(gòu)力學(xué)行為比均勻材料結(jié)構(gòu)復(fù)雜很多。因此，盡管均勻材料結(jié)構(gòu)應(yīng)力強度因子已經(jīng)可由經(jīng)驗公式得到[14]，F(xiàn)GM 結(jié)構(gòu)應(yīng)力強度因子計算過程卻仍然難以擺脫復(fù)雜矩陣運算和數(shù)值積分[8-13,15]。課題組前期研究發(fā)現(xiàn)，可以基于參考問題模型與未知問題模型之間的穩(wěn)定應(yīng)力關(guān)系簡化奇異應(yīng)力場強度的分析步驟，但是研究對象僅限于膠接結(jié)構(gòu)，且界面端的材料組合以及幾何尺寸需完全相同[16-19]。如果能夠找到均勻材料結(jié)構(gòu)與FGM結(jié)構(gòu)應(yīng)力強度因子之間存在的穩(wěn)定關(guān)系，便有可能將復(fù)雜的FGM結(jié)構(gòu)應(yīng)力強度因子求解問題轉(zhuǎn)化為簡單的系數(shù)計算以及均勻材料結(jié)構(gòu)應(yīng)力強度因子經(jīng)驗公式求解問題。

為此，本文在課題組已有研究[16-19]的基礎(chǔ)上，探尋FGM圓筒與均勻材料圓筒這兩者裂紋尖端應(yīng)力與應(yīng)力強度因子之間存在的穩(wěn)定關(guān)系，最終基于裂紋尖端應(yīng)力比值，提出了一種適用于含環(huán)狀裂紋FGM圓筒的應(yīng)力強度因子高精度快速計算方法。為了適應(yīng)工程需要、降低計算難度，本文研究時不考慮裂紋尖端非奇異應(yīng)力的影響[20]。將本文計算結(jié)果與參考文獻計算結(jié)果進行對比，驗證了本文方法的可行性和優(yōu)越性。

1 力學(xué)模型

采用有限元軟件MSC. Marc Mentat 2012.1.0建立含環(huán)狀裂紋FGM圓筒2D軸對稱模型(見圖1)，裂紋深度為a，圓筒長度為2L，厚度為h，內(nèi)外半徑分別為Ri和Ro，材料沿厚度方向連續(xù)性變化，圓筒兩端施加拉力hσ。

圖1 FGM圓筒結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Dimension for FGM hollow cylinder

2 理論推導(dǎo)

2.1 功能梯度材料

假設(shè)功能梯度材料性質(zhì)沿厚度r′方向按照指數(shù)函數(shù)分布形式連續(xù)性變化[11]，則FGM圓筒內(nèi)、外表面材料的體積分數(shù)之間存在以下關(guān)系：

式中：Vi(r′)為內(nèi)表面材料體積分數(shù)；Vo(r′)為外表面材料體積分數(shù)；p為材料梯度指數(shù)(0 ≤ p ≤ ∞ )。當p=0時，F(xiàn)GM圓筒退化為均勻材料圓筒。

當FGM圓筒由兩種材料組成時，圓筒的材料性質(zhì)表現(xiàn)為從圓筒內(nèi)表面材料到圓筒外表面材料性能的連續(xù)性變化。基于線性混合法則[21]，圓筒的彈性模量E和泊松比ν可表示為：

式中，Ei和Eo、iν和oν分別為FGM圓筒內(nèi)外表面材料的彈性模量、泊松比。

2.2 應(yīng)力強度因子

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)，通常情況下的FGM結(jié)構(gòu)裂紋尖端應(yīng)力場表達式如下所示[22]：

式中：i, j = 1 ,2,3對應(yīng)空間坐標系的三個方向；r和θ為裂紋尖端極坐標(見圖 2)；為無量綱角函數(shù)；KI、 KII、 KIII為應(yīng)力強度因子，與材料梯度、載荷以及幾何尺寸有關(guān)。

圖2 圓筒裂紋尖端幾何模型Fig.2 Schematic of crack tip in hollow cylinder

對于圖1所示的兩端施加均勻軸向拉力的含環(huán)向裂紋FGM圓柱殼，其所對應(yīng)的Ⅰ型裂紋尖端應(yīng)力場可表示為：

材料梯度會影響應(yīng)力強度因子數(shù)值，但是不會影響應(yīng)力奇異性以及無量綱角函數(shù)[23]。因此，理論上可以利用“比例”形式消除奇異性以實現(xiàn)在保證精度的基礎(chǔ)上降低計算難度、簡化計算過程。

無量綱應(yīng)力強度因子FI和應(yīng)力強度因子KI滿足關(guān)系式：

當FGM圓筒和均勻材料圓筒裂紋受力情況、裂紋類型、裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分情況等均相同時，這兩者的裂紋尖端附近應(yīng)力比值與相應(yīng)應(yīng)力強度因子比值之間存在如下關(guān)系：

由式(5)和式(6)可知，當FGM圓筒與均勻材料圓筒兩端受力hσ相同時，和裂紋尖端應(yīng)力σy( r)之間存在如下比例關(guān)系：

式中： aFGM和a均勻材料可根據(jù)實際情況自由選擇，兩者數(shù)值可不相同；為遠距均勻軸向拉伸均勻材料圓筒的無量綱應(yīng)力強度因子(見式(9))[14]。

3 算例與討論

建立圖3所示1/4圓筒模型即可滿足計算需求，圓筒兩端施加拉應(yīng)力hσ=1 MPa，h=1 mm，使用四節(jié)點四邊形單元，裂紋尖端附近網(wǎng)格加密，emin=1/38mm、 Ri/Ro=0.8時單元總數(shù)為23 289，其中裂紋尖端附近單元數(shù)約為20 000。本文中，設(shè)定FGM圓筒外表面材料彈性模量Eo數(shù)值固定，內(nèi)表面材料彈性模量Ei可變。假設(shè)泊松比為常數(shù)，ν=0.3。當

o/i

E E=1時，F(xiàn)GM退化為均勻材料。

圖3 模型網(wǎng)格劃分示意圖Fig.3 Mesh pattern for model

3.1 裂紋尖端應(yīng)力分布

FGM圓筒外表面材料體積分數(shù)Vo沿厚度方向隨體積函數(shù)冪指數(shù)p變化(見圖4)，其可設(shè)計性可以通過控制內(nèi)外兩種材料組分比例實現(xiàn)[24]，Vo=1-Vi。當p≤0.2或p≥10時，大部分Vo值接近1或者0。以p≥10為例，雖然材料性能仍然由內(nèi)表面材料沿厚度方向連續(xù)性變化至外表面材料，但Vo初始變化幅度非常小，圓筒內(nèi)側(cè)材料對材料性能起主導(dǎo)作用；靠近筒外壁時，Vo變化幅度接近最大。

圖4 FGM圓筒外表面材料沿厚度方向體積分數(shù)Vo Fig.4 Variation of volume fraction of outside material Vo of FGM hollow cylinder in the thickness direction

由于裂紋尖端奇異性的存在，使用 Marc得到的應(yīng)力值yσ不僅受圓筒材料性質(zhì)影響，還會隨裂紋尖端附近最小網(wǎng)格尺寸emin以及裂紋尖端距離r的改變而發(fā)生變化(見圖 5)，不能直接使用。當h/ L ≥ 5 時，h/L對應(yīng)力值的影響可以忽略不計。圓筒幾何參數(shù)為：L/h＞5，Ri/Ro=0.8，a/h=0.1。

圖5 材料性質(zhì)和emin對裂紋尖端應(yīng)力分布的影響Fig. 5 The influences of material property and emin on the stress distribution at crack tip

當FGM圓筒與均勻材料圓筒厚度、載荷工況以及裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分等完全相同、emin又小到一定程度時，兩者裂紋尖端應(yīng)力比值穩(wěn)定，可以通過比值形式消除應(yīng)力奇異性。

由表 1中的 a)～b)可見，當 h / L ≥ 5 、emin=1/34mm時，裂紋端部應(yīng)力值隨r/h增大而減小，應(yīng)力比值變化幅度較大。當emin=1/38mm時，應(yīng)力值仍然隨r/h增大而減小，但是已經(jīng)基本恒定不變；表1中的c)，F(xiàn)GM 圓筒L/h=2，均勻材料圓筒仍然使用h/ L ≥ 5 。結(jié)果顯示，應(yīng)力比值變化規(guī)律與表1中的a)～b)中應(yīng)力變化情況相同，仍然在emin=1/38mm時達到穩(wěn)定狀態(tài)，并未受到筒體長度影響。因此，可以使用應(yīng)力比值進行應(yīng)力強度因子計算，并且僅使用裂紋尖端節(jié)點應(yīng)力值 σy0,FEM[16]即可滿足計算需求，此結(jié)論與文獻[16—19]相同。下文中，應(yīng)力值σy均為σy0,FEM。

表1 不同網(wǎng)格尺寸時裂紋尖端應(yīng)力分布)Table 1 Stress distributions for crack tip obtained by different mesh sizes (Ri /Ro = 0 .8, ( E o / E i ) F GM= 0 .4) of

表1 不同網(wǎng)格尺寸時裂紋尖端應(yīng)力分布)Table 1 Stress distributions for crack tip obtained by different mesh sizes (Ri /Ro = 0 .8, ( E o / E i ) F GM= 0 .4) of

a) / 5 L h≥ ,/ 0.1 a h= ofe = 1/38 mm min e = 1/34 mm min FGM ya/h0.1 σ = /σ均勻材料= /FGM y / 0.1 ya/h0.1σ σ FGM y / 0.1 r/h σ = /MPa均勻材料 r/h= =σ均勻材料= /FGM ya/h0.1ya/h0.1均勻材料MPa MPa y / 0.1 ah ah MPa σ σy / 0.1 ah ah= =→0 25.5710 41.719 0.613 →0 2.8120 4.5687 0.615 1/ 3812.7970 20.870 0.613 1/34 1.5169 2.3967 0.633 2/ 38 9.3436 15.233 0.613 2/34 1.1916 1.8388 0.648 3/ 38 7.4826 12.194 0.614 3/34 1.0298 1.5511 0.634 4/ 38 6.4610 10.525 0.614 4/34 0.9538 1.4049 0.679 b) / 5 L h≥ , / 0.8 ah= (FGM), / 0.1 ah= (均勻材料)e = 1/38 mm min e = 1/34 mm min σ σ σ = /FGM ya/h0.8σ均勻材料= /ya/h0.1σ σ FGM y a/h 0.8 ah= =σ = /MPa ofr/h ofr/h FGM ya/h0.8σ均勻材料= /ya/h0.1 FGM y / 0.8均勻材料 均勻材料MPa ofMPa ofy / 0.1 ofMPa ofy / 0.1 ah ah= =→0 251.070 41.719 6.01 →0 27.8580 4.5687 6.10 1/ 38 125.520 20.870 6.01 1/3413.8180 2.3967 5.77 2/ 38 91.548 15.233 6.01 2/34 9.9266 1.8389 5.40 3/ 38 73.230 12.194 6.01 3/34 7.7770 1.5511 5.01 4/ 38 63.160 10.525 6.01 4/34 6.5358 1.4049 4.65 c) / 2(FGM), / 5( )Lh Lh=＞ 均勻材料 ofe = 1/38 mm min e = 1/34 mm min σ = /σ均勻材料= /ya/h0.1 FGM ya/h0.1σ = / ofMPa ofσ σ FGM y / 0.1均勻材料 ofr/h ofr/h= =σ均勻材料= /FGM ya/h0.1ya/h0.1均勻材料MPa FGM y / 0.1 MPa σ σy / 0.1 ah ah MPa y / 0.1 ah ah= =→0 33.9930 41.719 0.815 →0 3.7346 4.5687 0.817 of1/ 38 17.0100 20.870 0.815 1/34 2.0012 2.3967 0.835 of2/ 38 12.4190 15.233 0.815 2/34 1.5608 1.8389 0.849 of3/ 38 9.9442 12.194 0.815 3/34 1.3385 1.5511 0.863 of4/ 38 8.5856 10.525 0.816 4/34 1.2305 1.4049 0.876 of

本文中，emin=1/38mm已經(jīng)可以滿足計算需求。若進一步細化網(wǎng)格，采用更小的emin，單元數(shù)量明顯增多，運算時間隨之延長，但對計算結(jié)果基本沒有影響。因此，不宜過度細化網(wǎng)格。

3.2 應(yīng)力強度因子計算

求解時，由式(8)可得含裂紋均勻材料圓筒無量綱應(yīng)力強度因子，再將由 Marc得到的裂紋尖端應(yīng)力值代入式(9)即可得到含裂紋FGM圓筒無量綱應(yīng)力強度因子，具體計算結(jié)果見表2。圓筒幾何參數(shù)為： L / h ≥ 5 ， Ri/ Ro=0.8。

表2 無量綱應(yīng)力強度因子計算Table 2 Calculation of dimensionless stress intensity factor F ⅠFGM

表2 無量綱應(yīng)力強度因子計算Table 2 Calculation of dimensionless stress intensity factor F ⅠFGM

含裂紋均勻材料圓筒 of 含裂紋FGM圓筒(o/i E E=0.4, p=1) ofa / h ofyσ均勻材料/ ofF均勻材料FGM yσ/ ofI F ofa/h ofMPa ofFGM I F MPa ofF均勻材料 FGM I I 0.1 of 25.572 of 0.6130 of 0.6959 0.2 of 41.556 of 0.7044 of 0.7996 0.3 of 59.597 of 0.8248 of 0.9363 0.1 of 41.719 of 1.1352 of0.4 of 81.484 of 0.9766 of 1.1087 0.5 of 108.800 of 1.1663 of 1.3240 0.6 of 143.400 of 1.4033 of 1.5931 0.7 of 188.400 of 1.7069 of 1.9378 0.8 of 251.070 of 2.1277 of 2.4155

圖6中針對FGM圓筒長厚比L/h、筒體內(nèi)外半徑比 Ri/ Ro、裂紋深度與圓筒壁厚比a/h、FGM性質(zhì)(內(nèi)外表面材料彈性模量比 Eo/Ei，材料梯度指數(shù) p)等影響因素，將本文方法計算結(jié)果與參考文獻[11—12]結(jié)果進行對比了分析。從中可以看出，本文計算方法結(jié)果與文獻計算結(jié)果吻合度較好，驗證了本文方法的正確性和有效性。

文獻[12]中，材料常數(shù) γ = Eo/Ei= eβ，彈性模量 E (r′ ) =。

本文方法是基于裂紋尖端應(yīng)力比值，而文獻采用位移有限元法、柔度法、有限差分法等方法，計算方法的不同是造成誤差的主要原因。由圖3可知，F(xiàn)GM圓筒材料性質(zhì)沿厚度方向隨冪指數(shù)p變化。當p=10時，靠近筒外壁處(a/h=0.1)Vo值變化幅度很大，對計算結(jié)果影響較為明顯。FGM圓筒內(nèi)、外表面材料性質(zhì)差異較大時，p影響更為顯著。

圖6 無量綱應(yīng)力強度因子對比分析Fig.6 Comparison of dimensionless stress intensity factor

由圖7可見，近90%的本文計算結(jié)果與參考文獻計算結(jié)果之間的誤差小于 4%，僅有一處數(shù)據(jù)誤差值超過7%。當h/L＜5、 a / h ≥ 0 .2時，誤差接近0%(見圖7)。當γ減小或 Eo/Ei增大時，誤差有增大趨勢，但最大誤差可控制在6.5%以內(nèi)。選取較大誤差位置所對應(yīng)參數(shù)進行校核( Eo/Ei=10、p=10、a/h=0.6)，計算結(jié)果=1.9067，參考文獻計算結(jié)果為1.9725，誤差為-3.3367%，仍保持在合理范圍內(nèi)。殼體參數(shù)類型改變時，計算誤差也并未出現(xiàn)明顯的規(guī)律性變化，計算結(jié)果穩(wěn)定。

圖7 計算誤差對比分析Fig.7 Comparison of calculation errors

表3 對計算結(jié)果的影響Table 3 The effect of on the results of

表3 對計算結(jié)果的影響Table 3 The effect of on the results of

含裂紋F GM圓筒 of/=2 E E ,p=10,i/o=0.8含裂紋均勻材料圓筒 ofL h≥ ，o/i=10/ 5 R R ,L h ,γ=2,i/o=0.5 R R , ofFGM FⅠ =1.973 [12] ofFGM FⅠ =1.352[11] ofa/h yσ均勻材料F均勻材料 a/h FGM yσ/FGMyσ/I F ofa/h ofFGM I FFGMI/MPa ofMPa ofMPa of0.1 41.72 1.135 1.907 1.440 0.2 63.65 1.171 1.823 1.377 0.3 85.55 1.228 1.742 1.315 0.4 109.40 1.310 1.677 1.267 0.5 136.40 1.426 1.638 1.237 0.6 167.80 1.596 1.632 1.233 0.7 206.00 1.855 1.670 1.261 0.8 258.20 2.303 0.6 171.60.1 52.92 1.7681.335

由于本文計算方法基于裂紋尖端應(yīng)力比值，裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分需滿足要求，需細化至裂紋尖端附近應(yīng)力比值基本穩(wěn)定不變時再進行計算，且FGM 圓筒與均勻材料圓筒裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分必須一致。

與文獻中使用的計算方法相比，本文計算方法避免了復(fù)雜的矩陣運算以及數(shù)值積分，計算精度高，計算量小，適用范圍廣。計算時，均勻材料圓筒可由經(jīng)驗公式獲得，過程簡便，適合工程應(yīng)用。本文方法不僅適用于含外表面環(huán)狀裂紋FGM圓筒，還可用于其他裂紋形式的FGM結(jié)構(gòu)的應(yīng)力強度因子計算，但是現(xiàn)有研究結(jié)果還很有限，本項目后續(xù)工作將進行深入研究。

4 結(jié)論

本文基于FGM圓筒與均勻材料圓筒裂紋尖端應(yīng)力值與應(yīng)力強度因子之間的穩(wěn)定比例關(guān)系，提出了一種適用于含外表面環(huán)狀裂紋的FGM圓筒應(yīng)力強度因子計算方法。該方法在保證精度的基礎(chǔ)上成功避免了復(fù)雜的矩陣運算和數(shù)值積分，僅通過使用含環(huán)狀裂紋均勻材料圓筒應(yīng)力強度因子經(jīng)驗公式、FGM圓筒與相應(yīng)均勻材料圓筒裂紋尖端應(yīng)力比值，即可得到FGM圓筒應(yīng)力強度因子，計算過程簡單。計算結(jié)果顯示，本文方法適用于不同F(xiàn)GM類型、圓筒尺寸以及裂紋深度時的應(yīng)力強度因子計算，計算時所用的可任意選取，且僅需計算一次即可滿足不同情況下的計算需求，計算精度高、結(jié)果穩(wěn)定，便于工程應(yīng)用。