李順勇， 張鈺嘉

（山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

肺結(jié)核作為我國重大傳染病之一，其發(fā)病數(shù)的預(yù)測已經(jīng)成為衛(wèi)生統(tǒng)計領(lǐng)域中一項熱門課題［1-3］. 研究肺結(jié)核發(fā)病數(shù)的一種有效方法是對其建立數(shù)學(xué)模型，不同的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到肺結(jié)核時序上時，擬合效果也不盡相同. Kermark 提出的SIS（Susceptible-Infected-Susceptible）模型是一種常見的傳染病模型，能夠較好地描述肺結(jié)核傳播機(jī)制［4］. 傳統(tǒng)時間序列模型由于其模型簡單易于實現(xiàn)得到了廣泛的應(yīng)用，但其在預(yù)測肺結(jié)核發(fā)病數(shù)時會出現(xiàn)滯后性等問題. BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過其較為強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力建立起了數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系，在傳染病發(fā)病數(shù)預(yù)測方面有一定的優(yōu)勢，但其不能很好地適用于肺結(jié)核發(fā)病數(shù)模型［5-7］. 肺結(jié)核發(fā)病數(shù)的時序中不僅含有線性時序成分，還包括非線性時序，若采用單個預(yù)測模型則很難體現(xiàn)出該事件序列的復(fù)合特征，因此，不少學(xué)者將ARIMA、GM（1，1）、SVR等模型應(yīng)用到肺結(jié)核發(fā)病數(shù)預(yù)測中［8-13］. 2017年，Taylor 等研究人員提出了Prophet模型，該模型支持加入Holiday以及Changepoint，能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)預(yù)測模型（如ARIMA）靈活性、通用性的不足，在肺結(jié)核發(fā)病數(shù)的時序預(yù)測方面有較強(qiáng)的魯棒性［14-15］. Hochreiter 等學(xué)者提出了LSTM模型，該模型本質(zhì)上是RNN模型，該模型在實際應(yīng)用中能夠解決梯度彌散問題，廣泛應(yīng)用于圖像處理、自然語言處理、傳染病預(yù)測中［16］.

本文針對肺結(jié)核發(fā)病數(shù)時間序列數(shù)據(jù)展開實驗，分別利用Prophet模型與LSTM模型對2011—2019年中國肺結(jié)核發(fā)病數(shù)時序數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，比較兩種模型擬合效果以及預(yù)測性能，并解釋肺結(jié)核發(fā)病數(shù)的規(guī)律，掌握該病發(fā)展情況，為中國肺結(jié)核的防控工作提供依據(jù).

圖1 Prophet模型流程圖Fig.1 Prophet model flow chart

1 Prophet模型

Prophet 模型是Taylor 等研究人員在2017 年提出的時序模型，該模型能夠有效地分析數(shù)據(jù)本身的特征以及變化規(guī)律，并有良好的預(yù)測性能. 該模型相較于傳統(tǒng)時序模型，加入了Holidays以及Changepoint 因子，預(yù)測更加靈活［13］，Prophet 工作流程如圖1所示.

Prophet 模型可以理解為加性模型，由growth、seasonality、holidays三個部分組成，模型構(gòu)成如式（1）所示.

式（1）中：t為時間，g(t)為growth項，是模型的核心項，用來擬合時序中的非周期性變化，該項函數(shù)如式（2）所示.

式（2）中：C代表容量；k代表模型的增長率；b代表模型偏移量；t為時間. 可以看出，t增加時，1+e-k(t-b)趨近于1，即g(t)趨近于C.

s(t)為seasonality項，該項使用傅里葉級數(shù)代表周期因子，表達(dá)式如式（3）所示.

式（3）中：T 代表周期；an，bn是被估參數(shù)；t為時間；n代表模型中使用周期數(shù)的一半.

h(t)為holidays項，該項將節(jié)日影響分成不同的獨(dú)立模型，表達(dá)式如式（4）所示.

式（4）中：每個holiday用i表示；t為時間；Z(t)=[1 (t ∈D1),…,1(t ∈Di)] ，1(t ∈Di)為指示函數(shù)，Di為holidays集合，若t在Di中，則1(t ∈Di)的值為1，若t不在Di中，則1(t ∈Di)的值為0；κi為每個holidays 的參數(shù)，代表對每個holiday的影響.

2 LSTM模型

LSTM 是循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）的一種形式，與RNN 不同的地方在于LSTM 模型增加了Gated，解決了RNN 在層數(shù)較多時出現(xiàn)梯度彌散的問題，LSTM 模型在處理肺結(jié)核發(fā)病數(shù)時間序列時有較好的效果［14］. LSTM 模型的關(guān)鍵之處在于三個“門”結(jié)構(gòu)，即Input Gate、Output Gate、Forget Gate，具體組成結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 LSTM組成結(jié)構(gòu)圖Fig.2 LSTM model framework

LSTM模型具體計算公式如式（5）～（10）所示.

式（5）～（10）中：it為Input Gate，ot為Output Gate，ft為Forget Gate，c?t為t時Cell中輸入的值，ct為t時Cell中的更新值，ht為儲存了t時以及之前隱藏信息的向量；sigmoid，tanh 為激活函數(shù)；Wf，Wi，Wc，Wo均為權(quán)重矩陣，bf，bi，bc，bo為對應(yīng)Wf，Wi，Wc，Wo的偏置，具體單元結(jié)構(gòu)圖如圖3所示.

3 仿真實驗

3.1 數(shù)據(jù)獲取

選取2011年7月到2019年9月一共98個月的肺結(jié)核發(fā)病數(shù)作為研究數(shù)據(jù)，具體內(nèi)容如表1所示.

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)進(jìn)一步得到肺結(jié)核發(fā)病數(shù)隨著時間變化的曲線，如圖4所示.

圖4的坐標(biāo)橫軸表示98個月份，坐標(biāo)縱軸為肺結(jié)核發(fā)病數(shù)，從圖4可以看出，我國肺結(jié)核發(fā)病數(shù)每月波動較為明顯，具有逐年下降的趨勢，并且有一定的周期性.

3.2 評價指標(biāo)選取

為檢驗LSTM模型以及Prophet模型對肺結(jié)核發(fā)病數(shù)預(yù)測的效果，選取MAE以及RMSE兩個指標(biāo)作為評估的標(biāo)準(zhǔn)，指標(biāo)計算公式如式（11）、式（12）所示.

式（11）～（12）中：x 為肺結(jié)核當(dāng)月發(fā)病數(shù)的實際值；x?為LSTM模型或者Prophet模型的預(yù)測值；n 為預(yù)測的總月數(shù).

3.3 LSTM模型擬合效果

采用Tensorflow 與Keras 庫建立LSTM 模型，該模型有三層，即Input、Output、Hidden 層，模型的epochs 設(shè)置為500，單元數(shù)設(shè)置為128，batch_size設(shè)置為1，loss函數(shù)設(shè)置為mean_squared_error，optimizer設(shè)置為adam，train_size設(shè)置為數(shù)據(jù)量的2/3，look_back設(shè)置為15，運(yùn)用LSTM模型對表1中數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合. 此時，該模型的loss值為6.457 1×10-4，訓(xùn)練集的RMSE值1 439.99，預(yù)測集的RMSE值為5 915.26，訓(xùn)練結(jié)果如圖5所示.

圖5 LSTM模型擬合效果Fig.5 LSTM model fitting effect

從圖5可以看出，LSTM模型有較好的擬合效果以及預(yù)測性能，能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測出肺結(jié)核發(fā)病數(shù)的趨勢以及人數(shù).

3.4 Prophet模型擬合效果

采用fbprophet庫建立Prophet模型，模型的interval_width設(shè)置為0.95，periods設(shè)置為12，fre設(shè)置為MS，運(yùn)用Prophet模型對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合. 此時，該模型的RMSE值為4 856.66，擬合效果如圖6所示.

圖6 Prophet模型擬合效果Fig.6 Prophet model fitting effect

圖6中陰影部分為interval_width 等于0.95時的Prophet模型預(yù)測值的上下界. 由圖6可知，Prophet模型有較好的擬合效果，預(yù)測結(jié)果也與實際情況相吻合.

3.5 模型對比

為比較兩種模型預(yù)測值，運(yùn)用LSTM模型以及Prophet模型對表1中2007年6月至2018年12月的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，并對2019年1月至2019年6月的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖7所示.

圖7 LSTM模型與Prophet模型對比效果Fig.7 Comparison of LSTM model and Prophet model

由圖7中兩個模型6個月的預(yù)測曲線可以看出，兩種模型均能較好地預(yù)測肺結(jié)核發(fā)病數(shù)的變化趨勢；相比LSTM模型，Prophet模型預(yù)測曲線與肺結(jié)核發(fā)病數(shù)實際曲線更加接近，預(yù)測效果更好，能夠更好地對發(fā)病數(shù)的趨勢、發(fā)病數(shù)的周期進(jìn)行擬合，并且，Prophet模型在發(fā)病數(shù)波動較大時也能有較好的擬合效果.

ARIMA模型與灰度模型常用于對傳染病發(fā)病人數(shù)進(jìn)行預(yù)測［6-7］，為進(jìn)一步判斷LSTM模型與Prophet模型的預(yù)測性能，本節(jié)對ARIMA、GM（1，1）、LSTM、Prophet四種模型的預(yù)測性能進(jìn)行對比，運(yùn)用四種模型對表1中2007年7月至2018年12月的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，對2019年1月至2019年6月的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，并計算各個模型的MAE與RMSE值，模型對比結(jié)果如表2所示.

表2 四種模型對比結(jié)果Tab.2 Comparison of four models

從表2可以看出，Prophet模型的MAE值與RMSE值分別為5 124.33、5 905.32，兩項指標(biāo)的值均低于其余三種模型，說明Prophet模型的預(yù)測性能最好. 通過比較ARIMA、GM（1，1）、LSTM、Prophet四種模型的MAE、RMSE值可以看出，ARIMA模型的預(yù)測性能在四種模型中表現(xiàn)最差，GM（1，1）模型略微優(yōu)于ARIMA模型，而LSTM模型又優(yōu)于GM（1，1）模型，其MAE值與RMSE值分別為6 851.71、9 287.70，僅次于Prophet模型.

4 結(jié)語

對肺結(jié)核發(fā)病數(shù)的準(zhǔn)確預(yù)測能夠為該病的防控工作提供一定的科學(xué)理論指導(dǎo)，本文將LSTM 模型與Prophet模型應(yīng)用到肺結(jié)核月發(fā)病數(shù)的預(yù)測中. 實驗結(jié)果表明，LSTM模型與Prophet模型均有較好的擬合效果以及預(yù)測性能. 并且，本文將以上兩種模型的預(yù)測性能與ARIMA、GM（1，1）模型進(jìn)行對比，對比結(jié)果表明Prophet模型的預(yù)測性能最好，其MAE值與RMSE值分別為5 124.33、5 905.32，其次為LSTM模型，ARIMA 模型預(yù)測性能最差.