■福建省德化第一中學(xué)

復(fù)數(shù)是近幾年來高考全國卷與各地市自主命題必考的一個知識點,考題一般設(shè)置在試卷的前面,難度不大。復(fù)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點,相關(guān)概念較多,理解概念是解決復(fù)數(shù)問題的基礎(chǔ)。本人通過研究近幾年全國各地的高考復(fù)數(shù)題,總結(jié)出復(fù)數(shù)考查的三條主線,幫助同學(xué)們學(xué)習(xí)。

主線一：通過復(fù)數(shù)運算獲得復(fù)數(shù)代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),再利用其相關(guān)概念、性質(zhì)進(jìn)行求解。

復(fù)數(shù)的運算包括：

復(fù)數(shù)的加法運算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

復(fù)數(shù)的減法運算：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

復(fù)數(shù)的乘法運算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

復(fù)數(shù)的除法運算：(a+bi)÷(c+di)=

復(fù)數(shù)的性質(zhì)包括：復(fù)數(shù)的模、實部、虛部、共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的坐標(biāo)等內(nèi)容。

例1(2019年全國Ⅰ卷文數(shù)第1題)設(shè)則|z|=( )。

解析：通過復(fù)數(shù)運算,化簡得所以

例2(2014年湖南卷)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的實部等于_____。

解析：通過復(fù)數(shù)運算,化簡得z=-3-i,所以實部為-3。

例3(2019年江蘇卷)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實數(shù)a的值是____。

解析：由題意知(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i,復(fù)數(shù)的實部為0,則a-2=0,a=2。

例4(2019年全國Ⅱ卷)設(shè)z=i(2+i),則

A.1+2i B.-1+2i

C.1-2i D.-1-2i

解析：z=i(2+i)=-1+2i,它的共軛復(fù)數(shù)為-1-2i,故選D。

例5(2017年北京卷理科數(shù)學(xué))若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是( )。

A.(-∞,1) B.(-∞,-1)

C.(1,+∞) D.(-1,+∞)

解析：z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i。因為對應(yīng)的點在第二象限,所以有解得a＜-1,故選B。

例6(2019年全國Ⅱ卷理數(shù))設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：計算得=-3-2i,其對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-3,-2),在第三象限,故選C。

以上例題均可通過復(fù)數(shù)運算,化簡獲得z=a+bi(a,b∈R)這種代數(shù)形式,再利用相關(guān)概念如實部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模等進(jìn)行解題。

主線二：通過求解復(fù)數(shù)方程,獲得復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),再利用其相關(guān)概念、性質(zhì)進(jìn)行求解。

例7(2019年全國Ⅲ卷理數(shù))若z(1+i)=2i,則z=( )。

A.-1-i B.-1+i

C.1-i D.1+i

解析：利用方程的思想,求得1+i,選D。

變式：(2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理數(shù))若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i(i為虛數(shù)單位),則|z|=( )。

解析：利用方程的思想,求得1+i,則選C。

例8(2019年上海卷)設(shè)i為虛數(shù)單位,3z-i=6+5i,則|z|=( )。

解析：解復(fù)數(shù)方程,可將z看成一個未知數(shù),通過解方程求出z即可,解得3z=6+6i,z=2+2i,|z|=,選B。

例9(2015年江蘇卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i(i為虛數(shù)單位),則z的模是____。

解析：可設(shè)z=a+bi(a,b∈R),再利用兩復(fù)數(shù)相等,實部相等且虛部相等獲得a,b的值。

(a+bi)2=3+4i,a2-b2+2abi=3+4i。

z=2+i或z=-2-i,則z的模為

例10(2015年山東卷)若復(fù)數(shù)z滿足其中i為虛數(shù)單位,則z=( )。

A.1-i B.1+i

C.-1-i D.-1+i

解析=i(1-i)=1+i,所以z=1-i,選A。

例11(2015年全國Ⅱ卷)若a為實數(shù),則a=( )。

A.-4 B.-3 C.3 D.4

解析,得2+ai=2+4i,a=4,故選D。

例12(2014年江西卷理數(shù))設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù),若=2(i為虛數(shù)單位),則z=( )。

A.1+i B.-1-i

C.-1+i D.1-i

解析：(法一)由得2z=2-2i,則z=1-i,選D。

(法二)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由a+bi+a-bi=2,得a=1；由(a+bi-a+bi)i=2,2bi2=2,得b=-1,z=1-i。故選D。

例13(2013年廣東卷)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,則x+yi的模( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：(法一)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),由iz=3+4i,得,選D。

(法二)ix+yi2=3+4i,則-y+xi=3+4i,y=-3,x=4。故4-3i的模為5,選D。

以上例題均可通過方程或方程組的思想求解,獲得復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的代數(shù)形式,再利用相關(guān)概念如實部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模等進(jìn)行解題,這也是求解復(fù)數(shù)問題的重要途徑之一。

主線三：復(fù)數(shù)與其他知識交匯求解問題。

復(fù)數(shù)的問題主要是按以上兩條主線進(jìn)行考查的,有時也會涉及一些交匯型問題,即把復(fù)數(shù)知識與其他的代數(shù)、幾何知識有機(jī)地結(jié)合起來,就是在復(fù)數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)上添加其他元素設(shè)計問題進(jìn)行考查。

例14(2019年全國Ⅰ卷理數(shù))設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則( )。

A.(x+1)2+y2=1

B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1

解析：由|z-i|=1,得其為以(0,1)為圓心,1為半徑的圓,故答案為C。

本題考查的是復(fù)數(shù)模的幾何意義,即復(fù)數(shù)模為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點到定點的距離。

例15(2015年陜西卷理數(shù))設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率是( )。

解析：先根據(jù)|z|≤1得(x-1)2+y2≤1,這是一個以(1,0)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部,再通過數(shù)形結(jié)合,用幾何概型的概率求解即可,選D。

例16(2013年湖北卷)i是虛數(shù)單位,設(shè)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點關(guān)于原點對稱,若z1=2-3i,則z2=____。

解析：z1=2-3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為(2,-3),點(2,-3)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(-2,3),所以z2=-2+3i。

本題考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點,再結(jié)合對稱這個考點進(jìn)行問題的設(shè)計。

例14、15、16主要是借助復(fù)數(shù)的幾何意義,考查復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點的位置或點的軌跡,同時結(jié)合圖形的面積與概率知識,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

例17(2015年福建卷)若集合A=｛i,i2,i3,i4｝(i為虛數(shù)單位),B=｛-1,1｝,則A∩B等于( )。

A.{-1} B.{1}

C.{1,-1} D.?

解析：本題是復(fù)數(shù)與集合的交匯,通過計算中A元素i,i2,i3,i4可得A=｛i,-1,-i,1｝,進(jìn)而A∩B=｛-1,1｝,故選C。

例18(2017年全國Ⅰ卷理數(shù))設(shè)有下面四個命題：

p1：若復(fù)數(shù)z滿足,則z∈R；

p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R；

p3：若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=

p4：若復(fù)數(shù)z∈R,則ˉz∈R。

其中的真命題為( )。

A.p1,p3B.p1,p4

C.p2,p3D.p2,p4

解析：本題是復(fù)數(shù)與命題知識的交匯,要理解復(fù)數(shù)的基本概念,利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x,y∈R)即可計算的代數(shù)形式,進(jìn)而判斷命題的正誤,選B。

例19(2014年陜西卷理數(shù))原命題為“z1,z2互為共軛復(fù)數(shù),則|z1|=|z2|,關(guān)于其逆命題,否命題,逆否命題的真假判斷依次如下,正確的是( )。

A.真假真 B.假假真

C.真真假 D.假假假

解析：解題過程略,選B。

例20(2015浙江)已知i是設(shè)虛數(shù)單位,a,b∈R,則“a=b=1是(a+bi)2=2i”的____。

解析：由a=b=1可推得(a+bi)2=2i,而(a+bi)2=2i卻有ab=1且|a|=|b|,則“a=b=1是(a+bi)2=2i”的充分不必要條件。

例17、18、19與例20則是考查復(fù)數(shù)的概念與集合、命題的交匯,主要是借助復(fù)數(shù)的概念考查命題的四種情況、真假性以及充要條件等基本知識。

結(jié)語：考查復(fù)數(shù)內(nèi)容的思路較直觀,命題者主要是根據(jù)以上三種思路進(jìn)行問題的設(shè)計,通過以上一些復(fù)數(shù)高考題的呈現(xiàn),同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中,能夠做到“知己知彼”、對本節(jié)知識“胸有成竹”,同時可適當(dāng)結(jié)合其他知識點進(jìn)行求解,這樣學(xué)習(xí)才能高效。