侯位鋒

(浙江省諸暨中學(xué) 311800)

原題：電荷量為q的正電荷，均勻分布在由絕緣材料制成的質(zhì)量為m半徑為R的均勻細(xì)圓環(huán)上，現(xiàn)設(shè)法加外力使圓環(huán)從靜止開(kāi)始，繞通過(guò)環(huán)心的軸線勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)．試求從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到環(huán)的角速度達(dá)到某一值ω0的整個(gè)過(guò)程中外力所做的功．已知轉(zhuǎn)動(dòng)帶電圓環(huán)的等效電流為I時(shí)，等效電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)整個(gè)以圓環(huán)為周界的圓面的磁通量為Ф=kI，k為一已知常量．不計(jì)電荷作加速運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的輻射效應(yīng)．

原解法

解析當(dāng)環(huán)角速度達(dá)到ω0，環(huán)的動(dòng)能為

(1)

若在時(shí)刻t，環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則環(huán)上電荷所形成的等效電流

(2)

(3)

(4)

環(huán)加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)要克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功，功率為

P1=εI

(5)

因?yàn)槭莿蚣铀俎D(zhuǎn)動(dòng)，所以ω和I都隨時(shí)間t線性增加．若角速度從零開(kāi)始增加到ω0經(jīng)歷的時(shí)間為t0，則有

(6)

若與ω0對(duì)應(yīng)的等效電流為I0，則整個(gè)過(guò)程中克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做的功為

(7)

(8)

外力所做總功

另解法一動(dòng)力學(xué)方法

解析如圖1所示，圓環(huán)在勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，形成等效電流(變化)，產(chǎn)生一變化的磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生一渦旋電場(chǎng)，而帶電圓環(huán)在渦旋電場(chǎng)中會(huì)受到電場(chǎng)力F電作用(沿圓環(huán)的切線方向且與圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反)，要使圓環(huán)勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則外力F外應(yīng)該沿圓環(huán)的切線方向且與圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同．為求外力F外做的功則圓環(huán)勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中可以等效為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在外力F外和F電作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，速度為v=ωR．

若在時(shí)刻t，環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則環(huán)上電荷所形成的等效電流

(1)

(2)

由v=ωR及(1)(2)式可得

(3)

設(shè)等效勻加速運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的加速度為

(4)

(5)

最后角速度為ω0，此時(shí)等效質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為

v0=ω0R、位移x

(Rω0)2=2ax

(6)

由于外力為恒力，則外力做的總功

W=F外x

(7)

另解法二能量方法

解析帶電圓環(huán)在外力作用下，由靜止到運(yùn)動(dòng)，同時(shí)形成電流，電流產(chǎn)生磁場(chǎng)．則由功能關(guān)系可知，外力做功W一方面使圓環(huán)獲得動(dòng)能Ek，另一方面產(chǎn)生磁場(chǎng)即獲得磁場(chǎng)能W1，所以W=Ek+W1．

當(dāng)環(huán)角速度達(dá)到ω0，環(huán)的動(dòng)能為

(1)

環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω0，則環(huán)上電荷所形成的等效電流

(2)

(3)

(4)

由⑶⑷式得L=k

(5)

(6)

(7)

外力做的總功為

對(duì)于上述三種解法，筆者認(rèn)為原解法沒(méi)有比較直觀的揭示題中物理現(xiàn)象的本質(zhì)，而另解法一從動(dòng)力學(xué)角度揭示了題中物理現(xiàn)象的本質(zhì)，另解法二從能量的轉(zhuǎn)換角度揭示了題中物理現(xiàn)象的本質(zhì)．從解答過(guò)程來(lái)看另解法一、二物理原理更加直觀．所以筆者認(rèn)為從學(xué)生思維的角度來(lái)看，另解法一和二更容易學(xué)生理解，也利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)力學(xué)觀和能量觀．