鄒藝宣

(福建省漳州市華安一中 363800)

一、模型呈現(xiàn)

如圖1，點(diǎn)A、E、C在同一條直線上，已知∠1=∠2=∠3=α，其中α角可以是任意的角，可以是銳角、直角或鈍角，都有結(jié)論：△ABE≌△CED.

證明因?yàn)椤?=∠2=∠3=α，所以∠B+∠AEB=180°-α，∠DEC+∠AEB=180°-α,所以∠DEC=∠B，又∠1=∠3，所以△ABE≌△CED.

這個(gè)基本模型的特征是有三個(gè)相等的角，且三個(gè)角的頂點(diǎn)在同一條直線上，則它們的邊所構(gòu)成的兩個(gè)三角形會(huì)始終相似.我們把這個(gè)基本圖形稱為一線三等角模型.

二、模型應(yīng)用

1.顯性模型，直接應(yīng)用

例1如圖2，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，連結(jié)AP，作∠APQ=∠B，PQ交AC于點(diǎn)Q.

(1)若BP=2,求CQ的長(zhǎng)；

(2)若BP=x,CQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)BP為何值時(shí)CQ取得最大值.

分析第(1)問(wèn)題目所給條件很明顯已經(jīng)具備一線三等角模型的特征，所以熟悉這個(gè)模型就可以快速聯(lián)想到可以用相似來(lái)解題，可以提高解題的速度.第(2)問(wèn)是要求由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的最值問(wèn)題，這是初中生的一個(gè)難點(diǎn)，但是第(2)的解答可以從第(1)題獲得啟發(fā)，兩題之間是有聯(lián)系的，只是把數(shù)字換成了字母，所用的方法是一樣的，還是由一線三等角模型可以得到三角形相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例就可以得到y(tǒng)和x的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)知識(shí)即可求出最大值.

例2如圖3，矩形ABCD中，AB=8,AD=10.點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，把△ADE沿直線DE翻折，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，則DE=.

2.隱性模型，構(gòu)造轉(zhuǎn)化

例3如圖4，矩形OABC的兩邊OA,OC分別在x軸和y軸上，并且OA=5，OC=3若把矩形OABC繞著O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的A1處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為( )

分析本題乍一看條件沒(méi)有滿足一線三等角模型的特征，但要求點(diǎn)的坐標(biāo)，常添加的輔助線是過(guò)所求點(diǎn)C1作坐標(biāo)軸的垂線，所以過(guò)點(diǎn)C1作C1E⊥x于點(diǎn)E，則會(huì)發(fā)現(xiàn)∠C1EO=∠C1OA1=90°.聯(lián)想到一線三垂直模型，只要再過(guò)點(diǎn)A1作A1D⊥x于點(diǎn)D，則很快就可以找到解題的突破口.由△C1EO∽△ODA1得出答案為A.

分析本題乍看不符合一線三等角模型，但時(shí)如果注意到∠DFE=∠OAB=90°,已經(jīng)有點(diǎn)模型的影子，只要過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA于點(diǎn)H，則馬上構(gòu)造出一線三等角模型，快速找到解題的突破口.

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，“如何找到解題的突破口”是很多學(xué)生較為困惑的.很多學(xué)生解題時(shí)沒(méi)有思路和方向，而基本模型的提煉學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在眾多的數(shù)學(xué)問(wèn)題中找到具有共性的模型，這樣可以為學(xué)生解題提供準(zhǔn)確的解題思路和線索，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).