宋福杰, 趙 凱

(1. 青島黃海學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部, 山東 青島 266427; 2. 青島大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 山東 青島 266071)

雙倍條件在經(jīng)典的調(diào)和分析理論中具有重要作用. 但研究表明, 在非雙倍條件下,n上許多經(jīng)典的函數(shù)空間理論以及奇異積分算子有界性的結(jié)論依然成立[1-5]. 目前, 關(guān)于非齊度量測度空間以及奇異積分算子在其上的有界性研究已得到廣泛關(guān)注[6-10]： 文獻(xiàn)[6]引入了一類滿足幾何雙倍條件和上雙倍條件的非齊度量測度空間, 這類空間同時包含了齊型空間和非雙倍測度空間; 文獻(xiàn)[7-8]引入了非齊度量測度空間上的Hardy空間, 并討論了一些等價刻畫及奇異積分算子的有界性等. 文獻(xiàn)[11-14]對n上的Herz型空間進(jìn)行了系統(tǒng)研究, 主要包括Herz空間、 Herz型Hardy空間、 Morrey-Herz空間等, 并在Herz型空間及其上許多奇異積分算子的有界性問題方面取得了豐富的成果. 基于上述結(jié)果, 文獻(xiàn)[15]引進(jìn)了非齊度量測度空間上的Herz空間和Herz型Hardy空間, 并討論了其等價刻畫、 一些相互關(guān)系以及奇異積分算子的有界性等.

基于齊型空間的結(jié)果, 在非齊度量測度空間上, Lin等[16]引進(jìn)了一類Marcinkiewicz積分算子, 并討論了其幾個有界性的等價結(jié)果. 本文主要討論非齊度量測度空間上Marcinkiewicz積分算子及其與RBMO函數(shù)生成的交換子在引進(jìn)的Morrey-Herz空間中的有界性, 應(yīng)用非齊度量測度空間的性質(zhì), 特別利用η-弱反向倍條件, 證明了Marcinkiewicz積分算子及其交換子在Morrey-Herz空間有界.

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)(X,d)是一個度量空間, 如果存在某個正整數(shù)N0, 使得對任意的球B(x,r)?X(其中x∈X,r∈(0,∞)), 都存在至多N0個球{B(xi,r/2)}i構(gòu)成B(x,r)的一個覆蓋, 則稱度量空間(X,d)是幾何雙倍的.

引理1[6]若(X,d)是一個度量空間, 則下列結(jié)論等價:

1) (X,d)是幾何雙倍的;

2) 對任意的ε∈(0,1)和任意的球B(x,r)?X(其中x∈X,r∈(0,∞)), 存在B(x,r)的一個有限球覆蓋{B(xi,εr)}i, 覆蓋的基數(shù)為N0ε-n0,n0∶=log2N0;

3) 對任意的ε∈(0,1)和任意的球B(x,r)?X(其中x∈X,r∈(0,∞)),B(x,r)包含在至多N0ε-n0個互不相交的球{B(xi,εr)}i中;

定義2[6]如果μ是X上的Borel測度, 并存在一個控制函數(shù)λ: X×(0,∞)→(0,∞), 使得對每個x∈X,λ(x,r)關(guān)于r都單調(diào)不減, 且存在一個依賴于λ的正常數(shù)C(λ), 使得對任意的x∈X和r∈(0,∞), 均有

μ(B(x,r))≤λ(x,r)≤C(λ)λ(x,r/2).

(1)

則稱度量測度空間(X,d,μ)是上雙倍的.

(2)

引理3[4]上雙倍條件等價于弱增長條件: 存在r的非減控制函數(shù)λ(x,r): X×(0,∞)→(0,∞), 以及只依賴于λ的正常數(shù)C(λ)和ε>0, 使得：

1) 對于所有的r∈(0,∞),t∈[0,r],x,y∈X和d(x,y)∈(0,r), 均有

|λ(y,r+t)-λ(x,r)|≤C(λ)[(d(x,y)+t)/r]ελ(x,r);

2) 對于所有的x∈X和r∈(0,∞), 均有μ(B(x,r))≤λ(x,r).

如果度量測度空間(X,d,μ)既滿足幾何雙倍條件又滿足上雙倍條件, 則稱其為非齊度量測度空間. 以下總假設(shè)(X,d,μ)是一個非齊度量測度空間, 并且控制函數(shù)λ滿足式(2).

定義3[6]令α,β>1, 若μ(αB)≤βμ(B), 則稱球B?X是一個(α,β)-倍球, 其中對所有的球B∶=B(cB,rB)和ρ∈(0,∞), 均有ρB∶=B(cB,ρrB).

定義4[6]設(shè)η>0, 若對所有的r∈(0,2diam(X ))和a∈(1,2diam(X )/r), 均存在一個只依賴于a和X的常數(shù)C(a)>1, 使得對所有的x∈X, 均有λ(x,ar)≥C(a)λ(x,r), 并且

(3)

則稱控制函數(shù)λ滿足η-弱逆倍條件.

易知, 若η1<η2,λ滿足η1-弱逆倍條件, 則λ也滿足η2-弱逆倍條件.

定義5[6]對于任意兩個球B?S?X, 定義非齊度量測度空間(X,d,μ)上的系數(shù)

對于任意整數(shù)k, 記Bk={x∈X:d(0,x)<2k},Ck=BkBk-1, 且χk=χCk.

(4)

其中

(5)

定義8[16]令ρ∈(1,∞). 如果存在常數(shù)C, 使得對任何球B?X和數(shù)fB, 均有

(6)

且對任意兩個球B和S滿足B?S?X, 有

|fB-fS|≤CKB,S.

(7)

文獻(xiàn)[16]研究表明, RBMO(μ)空間與ρ無關(guān). 因此, 本文選取ρ=2.

2 Marcinkiewicz積分及主要結(jié)果

(8)

且對任意的y,y′∈X, 有

(9)

則相應(yīng)于核K(x,y)的Marcinkiewicz積分算子定義為

(10)

引理4[16]假設(shè)(X,d,μ)是一個非齊度量測度空間, M是一個Marcinkiewicz積分算子, 則下列結(jié)論等價:

1) 對于某個p0∈(1,∞), M在Lp0(μ)上是有界的;

2) M是L1(μ)到L1,∞(μ)有界的;

3) 對于q>1, M在Lq(μ)上是有界的;

4) M是H1(μ)到L1(μ)有界的.

對于核函數(shù)K(x,y), H?mander型條件[9]為

(11)

H?rmander型條件(11)比條件(9)稍強(qiáng)[9], 并且如果核函數(shù)K(x,y)滿足式(8)和式(11), 則由式(10)定義的Marcinkiewicz積分算子M和函數(shù)b生成的交換子

[M,b]f(x)∶=b(x)Mf(x)-M(bf)(x),x∈X,

(12)

有如下結(jié)論.

引理5[9]假設(shè)(X,d,μ)是一個非齊度量測度空間, M是一個Marcinkiewicz積分算子, 其中核函數(shù)K(x,y)滿足式(8)和式(11). 若b∈RBMO(μ), M在L2(μ)上有界, 則交換子[M,b]在Lq(μ)(1

下面給出本文的主要結(jié)果.

對于I2, 由引理4知M在Lq(μ)上有界. 因此,

于是由不等式

(13)

以及非齊度量測度空間上Morrey-Herz空間的定義, 并應(yīng)用η-弱逆倍條件, 可得

對于I1, 注意到若j≤l-1,x∈Cl,y∈Bj, 則x∈X2Bj, 有d(x,y)～d(x,0)且λ(x,d(x,y))～λ(0,d(x,0)). 因此, 由定義9并應(yīng)用H?lder不定式, 有

再由式(13), 并注意到非齊度量測度空間上Morrey-Herz空間的定義, 應(yīng)用η-弱逆倍條件, 得

證畢.

對于J2, 由題設(shè)及引理5知交換子[M,b]在Lq(μ)上有界, 從而

再利用式(13), 并注意到非齊度量測度空間上Morrey-Herz空間的定義, 應(yīng)用η-弱逆倍條件, 有

對于J1, 同理注意到此時d(x,y)～d(x,0)且λ(x,d(x,y))～λ(0,d(x,0)), 由定義9, 應(yīng)用H?lder不等式, 并利用RBMO函數(shù)的性質(zhì)以及式(13), 可得

再應(yīng)用式(13), 并注意到非齊度量測度空間上Morrey-Herz空間的定義, 利用η-弱逆倍條件, 得

證畢.