盧應(yīng)發(fā) 習(xí)常志 劉珉瑋 梁 晨

(湖北工業(yè)大學(xué) 土木建筑與環(huán)境學(xué)院， 武漢 430068)

美籍科學(xué)家鐵木辛柯等眾多研究學(xué)者對(duì)材料力學(xué)特性研究有獨(dú)特的見解，通過分析材料量綱等力學(xué)參數(shù)，得到材料應(yīng)力理論解，這種應(yīng)力理論解方法在懸臂梁、大壩等建筑物、構(gòu)筑物均可應(yīng)用[1-5].

文獻(xiàn)[6-9]針對(duì)材料應(yīng)力-應(yīng)變特性進(jìn)行研究，提出了許多本構(gòu)模型，如：理想彈塑性模型、線彈性模型、彈脆性模型等，針對(duì)流變模型，提出的本構(gòu)模型有：粘彈性模型、粘塑性模型、粘性-粘彈性-粘塑性模型等，上述模型對(duì)應(yīng)的比例極限應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)和臨界應(yīng)力準(zhǔn)則有Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Mises準(zhǔn)則、Hoek-Brown準(zhǔn)則等，這些模型和準(zhǔn)則材料峰值應(yīng)力之前的力學(xué)特性能夠很好描述，這對(duì)于巖土學(xué)科在力學(xué)方面的發(fā)展有一些推動(dòng)作用.在應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)值解研究中，文獻(xiàn)[10-11]介紹了幾種應(yīng)力數(shù)值解法，如：有限差分法、邊界單元法、攝動(dòng)法等，這對(duì)巖土工程的學(xué)科發(fā)展具有一定的推動(dòng)作用.

在邊坡理論研究中，文獻(xiàn)[12-14]針對(duì)邊坡強(qiáng)度折減理論提出一種新理論，對(duì)未破壞區(qū)和已破壞區(qū)均適用；文獻(xiàn)[14-16]研究了巖土材料力學(xué)特性，將巖土體特性劃分為Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型，建立關(guān)于材料力學(xué)特性全過程變化模型，對(duì)其參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定；文獻(xiàn)[13，17-20]針對(duì)牽引式滑坡和推移式滑坡破壞機(jī)制做出說明，將滑坡沿滑面分為4個(gè)區(qū)域：①不穩(wěn)定區(qū)，②臨界區(qū)，③欠穩(wěn)定區(qū)，④穩(wěn)定區(qū)，也可概括為兩大區(qū)域：①驅(qū)動(dòng)下滑區(qū)，②阻滑區(qū).在驅(qū)動(dòng)下滑區(qū)內(nèi)，下滑應(yīng)力和摩阻應(yīng)力不是連續(xù)的，相應(yīng)的位移同樣不連續(xù)，只有法向應(yīng)力顯示出連續(xù)特征，對(duì)此，提出一種數(shù)值分析方法——滑面邊界法.在邊坡變形破壞機(jī)理的基礎(chǔ)上，提出了基于矢量和法的綜合下滑力-抗滑力法、主推力法(或主拉力法)、綜合位移法、富余位移法和拉破壞法.文獻(xiàn)[19]提出不平衡推力法，指出邊坡漸進(jìn)破壞行為不能用理想彈塑性模型描述.文獻(xiàn)[21-22]提出改進(jìn)不平衡推力法，認(rèn)為傳統(tǒng)不平衡推力法不適合牽引式滑坡分析.文獻(xiàn)[23]提出滑坡破壞轉(zhuǎn)動(dòng)角概念，認(rèn)為滑坡破壞與應(yīng)力軸偏轉(zhuǎn)相關(guān).本文在上述研究的基礎(chǔ)上，基于文獻(xiàn)[24]，針對(duì)懸臂梁?jiǎn)栴}提出在不同邊界條件下，將獲得不同的理論解，并提出廣義理論解求解思想，該求解思想可應(yīng)用于邊坡工程之中.

1 基本思想

對(duì)于任意材料(物體)，由于具有一定形狀，在某種邊界應(yīng)力作用下，應(yīng)力理論解是存在的，邊界條件不同，理論解也隨之變化，基于這種變化規(guī)律，研究連續(xù)介質(zhì)材料時(shí)，首先假定材料(物體)滿足一些邊界條件(平衡方程)，結(jié)合材料(物體)幾何特征，便可計(jì)算材料(物體)應(yīng)力理論解.這種理論解方法對(duì)于二維問題和三維問題均可適用.如果研究對(duì)象邊界應(yīng)力條件不規(guī)律，能夠計(jì)算應(yīng)力不連續(xù)理論解，基于此，可以得到應(yīng)力連續(xù)理論解，這種方法能夠求解各種模型在破壞過程中的應(yīng)力-應(yīng)變不連續(xù)問題，求解過程如下：

1)測(cè)量材料(物體)幾何數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)幾何特征方程；

2)研究材料(物體)比重特征，建立相應(yīng)比重特征方程；

3)研究材料(物體)邊界條件應(yīng)力，建立相應(yīng)應(yīng)力方程；

4)選擇應(yīng)力方程表示方法，在滿足邊界條件和平衡方程基礎(chǔ)上，求解相應(yīng)常系數(shù)；

5)根據(jù)各種本構(gòu)模型，分析材料(物體)受力特征和變形特性.

2 懸臂梁傳統(tǒng)理論解

懸臂梁理論解σx在傳統(tǒng)的彈性力學(xué)或材料力學(xué)教科書中存在，對(duì)于圖1所示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出τxy，σy，并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程.

在題目給定的條件下，先求橫截面上正應(yīng)力σx，又任意截面的彎矩為：M=-q0x3/(6l)，截面慣性矩為：I=h3/12.

由材料力學(xué)計(jì)算公式橫截面上正應(yīng)力為：

利用衡微分方程求σy、τx y：

其中：X=0，Y=0，將式(1)代入式(2)，有

將式(4)代入式(3)，積分得：

利用邊界條件：

將σy、f2(x)代入的表達(dá)式，有

所求應(yīng)力分量的解如下：

3 廣義應(yīng)力解

3.1 懸臂梁廣義解基本形式

在上述基本思想的基礎(chǔ)上，針對(duì)懸臂梁研究如下：

對(duì)于理論解方法(1)，精準(zhǔn)測(cè)量懸臂梁的宏觀幾何特征，建立懸臂梁幾何特征方程，如圖1所示懸臂梁受力圖，對(duì)于AB、BC、CD、DA4條邊，用式y(tǒng)=kx+b統(tǒng)一表示，若形狀是曲線形式，將方程變換成曲線方程.

對(duì)于(2)，研究懸臂梁比重特征，建立懸臂梁比重特征方程：Xw，x，Yw，y.

對(duì)于(3)，研究懸臂梁邊界條件應(yīng)力，建立懸臂梁應(yīng)力方程.在AB面邊界條件法向(σANB

，B)和 切 向

(τANB

，B)應(yīng)力表達(dá)式為：

式中，l，m為AB面外法向方向余弦為AB邊邊界應(yīng)力.當(dāng)應(yīng)力連續(xù)時(shí)，方程(9)和(10)為AB邊邊界應(yīng)力和邊界條件應(yīng)力方程，此方程可以對(duì)邊界條件應(yīng)力和邊界應(yīng)力完整描述.

對(duì)于應(yīng)力不連續(xù)問題，應(yīng)力在不連續(xù)處不相等，此時(shí)在懸臂梁X方向和Y方向的邊界條件應(yīng)力應(yīng)考慮其中，同時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)力矩平衡方程也應(yīng)考慮其中，注意這種宏觀力的平衡條件對(duì)于連續(xù)問題也應(yīng)該成立，如本文討論的懸臂梁，其整體(見圖1：ABCD)也應(yīng)該平衡.另外，BC等邊界均具有與AB邊界面一致的特征.

對(duì)于(1.5)，根據(jù)各種本構(gòu)模型，分析懸臂梁受力特征和變形特性.在二維條件下，假設(shè)應(yīng)力表達(dá)式(注：也可以取其它表示形式)為：

假設(shè)對(duì)應(yīng)的比重方程(注：也可以取其它表示形式)為：

式 中，a1，i，a2，i，a3，i，a4，i，a5，i為 常 系 數(shù)；i為 零 和 整數(shù)；σxx，σyy，τxy分別為X、Y軸方向應(yīng)力和剪應(yīng)力；Xw，x，Yw，y分別為X、Y軸方向比重.

上述應(yīng)力滿足平衡方程：

在任意坐標(biāo)條件下，應(yīng)力平衡方程滿足的必要條件為相對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)為零，在假設(shè)比重為常數(shù)(Xw，x=0，Yw，y=ρ)，(注：可 以 研 究 比 重 滿 足 方 程(15、16)的情況)，則有：

由方程(17)可得：

由方程(18)可得：

針對(duì)連續(xù)介質(zhì)問題，利用方程(9)至(30)，結(jié)合邊界條件，可以獲得相應(yīng)的理論解.

3.2 懸臂梁邊界條件

在上述基本思想的基礎(chǔ)上，針對(duì)懸臂梁，在圖1的坐標(biāo)下，其部分邊界條件等(注：從參考文獻(xiàn)[1～5]獲得)歸納如下：

(e)當(dāng)x=l時(shí)，整個(gè)研究對(duì)象(如圖：ABCD)力平衡：∑F x=0

(f)當(dāng)x=l時(shí)，整個(gè)研究對(duì)象(如圖：ABCD)力平衡：∑F y=0

(g)當(dāng)x=l時(shí)，整個(gè)研究對(duì)象(如圖：ABCD)力矩平衡：M xy=0

上述舉出了13個(gè)條件，下面舉出5種組合，并求出相對(duì)應(yīng)的解，且討論解的特征：

組合1：(a)+(b)+(c)+(d)+(h)+(i)+(j)++(k)+(m)

組合2：(a)+(h)+(i)+(j)+(k)+(m)

組合3：(a)+(e)+(h)+(i)+(j)+(k)+(l)+(m)

組合4：(a)+(h)+(i)+(j)+(k)+(l)+(m)

組合5：(a)+(e)+(g)+(j)+(k)+(m)

3.3 不同邊界條件的理論解

為了 與現(xiàn)行 的 解 加 以 比 較，?。篨w，x=0，Yw，y=0，針對(duì)上述條件組合，選取不同廣義應(yīng)力表達(dá)式，從而獲取對(duì)應(yīng)的理論解.選取σxx，σyy，τxy的完整4次方方程：

按照組合1和2的條件，均可以獲得原解(見方程6、7、8)，簡(jiǎn)稱：解1.

選取σx，σy，τxy的完整5次方方程：

按照組合3的條件，也可以獲得原解1，按組合4，可以獲得解如下(簡(jiǎn)稱：解2)：

選取σx，σy，τxy的完整3次方方程：

3.4 討論

從上述推導(dǎo)可知，不同的邊界條件，其解并不相同.在4、5次方情況下，既可以獲得與書本上一致的解，也可以獲得不同的解，甚至在3次方的情況下，也可以獲得不同的解.

針對(duì)邊界條件(b，c，d)和(j，k，l)，這兩組邊界條件均滿足圣文南原理，滿足(j，k，l)條件，必然滿足(b，c，d)條件，但(j，k，l)條件比(b，c，d)要嚴(yán)格，因而同時(shí)滿足這兩組條件，但解不一定相同，亦即解1與解2不相同.針對(duì)解3，該解不滿足條件(h，i，l)，即解3也許不正確，另外也有可能：條件(h，i，l)值得商榷.

選取l=8 000 mm，h=500 mm，q0=10 N/mm，對(duì)該懸臂梁進(jìn)行應(yīng)力分析，結(jié)果如圖2所示，從數(shù)值結(jié)果可知，3種解的結(jié)果相差很大，其巨大差別提醒科研工作者，針對(duì)研究對(duì)象的解，應(yīng)加強(qiáng)邊界條件的研究.

圖2 懸臂梁在不同邊界條件下的解

針對(duì)該懸臂梁，其基本邊界條件為：整個(gè)研究對(duì)象(如圖：ABCD)的力平衡：∑F x=0，∑F y=0和力矩平衡：M xy=0，如圖3所示；亦即主要為BC斷面所對(duì)應(yīng)的邊界條件應(yīng)力保持ABCD研究對(duì)應(yīng)的力平衡和力矩平衡，另外的基本條件為施加應(yīng)力邊界條件，如：該懸臂梁的施加應(yīng)力邊界條件為：當(dāng)y=-h/2時(shí)，.其它邊界條件是相互變化的，其推論結(jié)果見表1.從表1可知，有些邊界條件針對(duì)該懸臂梁實(shí)質(zhì)是重疊的，而另外的一些邊界條件在特定條件下可能是成立的.

圖3 懸臂梁邊界條件力關(guān)系圖

表1 不同解演繹出對(duì)應(yīng)的邊界條件

本文研究具有應(yīng)用前景的結(jié)果為解2，從解2可以看出，當(dāng)x=l時(shí)，其彎矩中心不位于(l，0)中心(注：傳統(tǒng)解1位于中心)，而位于(l，(2+268/3)h/32)位置，近似為該截面高度的1/3處，該結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)結(jié)果是可以加以比較的，并對(duì)滑坡抗滑設(shè)計(jì)、抗彎設(shè)計(jì)等具有重大的指導(dǎo)作用.

4 結(jié) 語

本文在文獻(xiàn)[27]研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)懸臂梁在有限的不同邊界條件下，獲得了相對(duì)應(yīng)的理論解，得出了如下結(jié)論：

1)對(duì)于任意形狀的材料(或物體)，由于具有一定形狀，在邊界應(yīng)力作用下，應(yīng)力解是存在的.該解隨著邊界條件的變化而變化.

2)隨著邊界條件的增加，亦即約束越來越多，研究對(duì)象的變形能力減小(或增加)，當(dāng)約束達(dá)到一定程度時(shí)，變形能力減小的解可以自動(dòng)滿足協(xié)調(diào)方程(即：小變形條件).

3)邊界條件不同或邊界條件相同，但表示形式不同，解的差別很大，因此對(duì)于科學(xué)研究，應(yīng)加強(qiáng)針對(duì)邊界條件的研究，從而獲得滿足邊界條件的解，即真實(shí)解；從本文解的結(jié)果和傳統(tǒng)解的結(jié)果可知，獲得的理論解是與X、Y坐標(biāo)成高度非線性關(guān)系，這個(gè)高度非線性關(guān)系是值得深思的.

4)對(duì)于大多數(shù)材料，按照本文的方法，可以獲得相對(duì)應(yīng)的靜、動(dòng)態(tài)理論解，本文方法可以推廣，從而形成一種新的數(shù)值方法，其結(jié)果可以用Excel展示.