陳林 桑芝芳

摘?要：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的分析，往往是學(xué)生思維和方法上的難點(diǎn)，本文借助GeoGebra軟件將粒子運(yùn)動形成的軌跡圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、縮放，可以非常方便地動態(tài)展示和分析磁場中的“旋轉(zhuǎn)圓”和“縮放圓”問題，形成一種“動態(tài)”的軌跡呈現(xiàn)，消除或減少學(xué)生在解題過程中的思維、方法障礙.

關(guān)鍵詞：GeoGebra;磁場;旋轉(zhuǎn)圓;縮放圓

文章編號：1008-4134（2020）05-0050中圖分類號：G633.7文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

作者簡介：陳林（1995-），男，碩士研究生，研究方向：學(xué)科教學(xué)（物理）.

通訊作者：桑芝芳（1971-），女，江蘇如東人，博士，教授，研究方向：課程與教學(xué)論（物理）.

磁場中的“動態(tài)圓問題”是高中物理的一個教學(xué)難點(diǎn)問題，其中運(yùn)動圓軌跡的規(guī)律變化對學(xué)生來說較為困難.因?yàn)楫?dāng)粒子的速度大小或方向變化時，其在磁場中運(yùn)動所形成的軌跡圓將會縮放或旋轉(zhuǎn).由于涉及到較為抽象和復(fù)雜的幾何關(guān)系，很多學(xué)生無法建立正確的物理模型，導(dǎo)致此類問題的出錯率較高[1].

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師通常采用一個定圓模型來模擬軌跡圓的旋轉(zhuǎn)問題，但圓的縮放還是無法直觀展示[2].而且定圓模型也難以方便地展示其中的幾何關(guān)系，致使學(xué)生對圓的軌跡變化規(guī)律難以理解，特別是臨界點(diǎn)情況.而GeoGebra正版免費(fèi)，下載方便且操作簡單，在國際上榮獲多項(xiàng)教育獎項(xiàng)[3].利用GeoGebra中的動態(tài)功能，可追蹤軌跡圓的變化狀態(tài)，把其隱性規(guī)律顯性化，化繁為簡，快速創(chuàng)設(shè)易于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)情境.筆者根據(jù)粒子速度變化的情況進(jìn)行分類討論，詳細(xì)介紹在GeoGebra中制作磁場動態(tài)圓的方法.

1?旋轉(zhuǎn)圓（入射方向有范圍）

例1?如圖1所示，在屏MN的上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里，P為屏上的一個小孔，PC與MN垂直，一束質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子（不計重力），以相同的速率v，從P處沿垂直于磁場的方向射入磁場區(qū)域.粒子入射方向在與磁場B垂直的平面內(nèi)，且散開在與PC夾角為θ?的范圍內(nèi)，則在屏MN上被粒子打中區(qū)域的長度為

A.??2mv（1-sinθ）Bq?B.2mv（1-cosθ）Bq

C.?2mvcosθBq?D.?2mvBq

1.1?課件原理

該問題粒子速度大小不變，所以粒子軌跡圓半徑大小為定值，只是軌跡圓圓心在運(yùn)動.經(jīng)分析判斷該圓心是在以P為圓心，mvqB?為半徑的一段圓弧上運(yùn)動.所以不難通過GeoGebra作出此段圓弧，并使該軌跡圓運(yùn)動，顯示出該圓與x軸交點(diǎn)痕跡長度.

1.2?課件制作

（1）選擇“垂線”工具，過x軸上一點(diǎn)P作x軸的垂線PC，選擇“射線”工具，過P點(diǎn)作射線PA.

（2）選擇“軸對稱”工具，作PA關(guān)于PC的對稱線PB.

（3）選擇“角度”工具，顯現(xiàn)∠CPA、∠CPB分別為θ?和θ′?，θ=θ′?.

（4）選擇“垂線”工具，過點(diǎn)P作PD垂直于PA.

（5）在輸入欄輸入：rotate（D，360°-2θ?，P），則PD′垂直于PB.

（6）選擇“圓弧”工具，作圓弧DD′.在圓弧上取點(diǎn)E，PE長為l.

（7）在輸入欄輸入：circle（E，l）.作圓心為E，半徑為l的圓E.

（8）選擇“交點(diǎn)”工具，點(diǎn)擊圓E與x軸的交點(diǎn)為F.右擊F設(shè)置“顯示軌跡”，則可觀察到圓E在旋轉(zhuǎn)過程中與x軸交點(diǎn)的痕跡.隱藏不需要的對象.

1.3?課件說明

該問題是粒子在有界磁場中的問題，關(guān)鍵問題依然是找圓心，定半徑.沿邊界PA射出，圓心在PA的垂線PD的D點(diǎn)，沿邊界PB射出，圓心在PB的垂線PD′的D′點(diǎn).所以該粒子從P點(diǎn)射入與PC夾角為θ?的范圍內(nèi)，形成的軌跡圓圓心就在圓弧DD′上.右擊E點(diǎn)，“啟動動畫”即可觀察到粒子形成的軌跡圓與屏MN（x軸）形成的痕跡，即為粒子打在屏MN上的范圍區(qū)域.如圖2線段所示.

拖動E點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)E運(yùn)動到D點(diǎn)，即粒子沿PA射入，粒子打到MN上痕跡最左端，如圖3所示;當(dāng)E運(yùn)動到x軸上，即粒子沿PC射入，粒子打到MN上痕跡最右端，如圖4所示，此時PF長為軌跡圓直徑;當(dāng)E運(yùn)動到D′點(diǎn)，粒子也是打到MN上痕跡最左端，如圖5所示.待到把粒子軌跡分析明白，再結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算，不難得到正確答案.

2?旋轉(zhuǎn)圓（入射方向無范圍）

例2?如圖6，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T.磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行.在距ab的距離l=16cm處，有一個點(diǎn)狀的α?放射源S，它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s?.已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比qm=5.0×107C/kg.現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度.

2.1?課件原理

粒子從放射源S發(fā)射，速度方向任意，但是大小不變，可以判斷該粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，形成的軌跡圓是一個半徑為mvqB=10cm?的圓且恒過S點(diǎn).在GeoGebra中不難通過“旋轉(zhuǎn)圓”法模擬出該圓運(yùn)動軌跡.通過設(shè)置追蹤軌跡可得到軌跡圓與感光板ab的交點(diǎn)掃過的區(qū)域的長度.

2.2?課件制作

（1）在輸入欄輸入：（0，-16），取點(diǎn)S;

（2）在輸入欄輸入：circle（S，10），作圓心為S，半徑為10的圓S;

（3）選擇“對象上的點(diǎn)”工具，在圓S上取一點(diǎn)O;

（4）在輸入欄輸入：circle（O，10），作圓心為O，半徑為10的圓O;

（5）選擇“射線”工具，作射線SO交圓C于E.則SE為圓O的直徑;

（6）選擇“交點(diǎn)”工具，圓O與感光板ab（x軸）交于F點(diǎn);

（7）右擊O點(diǎn)設(shè)置“啟動動畫”即可觀察到圓O與感光板交點(diǎn)掃過的區(qū)域，隱藏不需要的對象，如圖7所示.

2.3?課件說明

考慮粒子繞行方向是逆時針，不難發(fā)現(xiàn)拖動圓心O可以直觀地看到軌跡圓能擊中ab最右邊的交點(diǎn)到S的連線為直徑SE，如圖8所示.繼續(xù)逆時針拖動圓心O，當(dāng)軌跡圓與?ab相切時，切點(diǎn)是粒子能擊中的最左側(cè)的點(diǎn)，如圖9所示.求解兩個臨界狀態(tài)下交點(diǎn)間的距離，即可得到ab上被α?粒子打中區(qū)域的長度.這種情境的展示把抽象的空間軌跡運(yùn)動模型形象化，使學(xué)生解決問題事半功倍.

3?縮放圓（粒子速度方向相同，大小不同）

例3?如圖10所示，一足夠長的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，在AD邊中點(diǎn)O，方向垂直磁場向里射入一速度方向跟AD邊夾角θ?=30°、大小為v0的帶正電粒子，已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，AD邊長為L，AB邊足夠長，粒子重力不計，求：粒子能從AB邊上射出磁場的v0大小范圍.

3.1?課件原理

該粒子射出方向確定，所以其軌跡圓圓心在垂直于射出方向的直線上，半徑隨射出粒子速度大小變化而變化.在GeoGebra中可通過改變圓的半徑來模擬此過程，通過設(shè)置“顯示軌跡”來記錄軌跡圓在該磁場中縮放的過程.

3.2?課件制作

（1）選取“線段”工具，繪制矩形ABCD;

（2）選取“描點(diǎn)”工具，在線段AD上取中點(diǎn)O;

（3）在輸入欄依次輸入：sequence（（n，-1），n，1，7，2），sequence（（n，-2），n，1，7，2），sequence（（n，-3），n，1，7，2）.用來模擬磁場的“×”?符號;

（4）在輸入欄輸入：rotate（D，30°，O），將D點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)30°至D′點(diǎn);

（5）選取“向量”工具，連接OD′;

（6）選取“垂線”工具，過O點(diǎn)作OD′的垂線OF;

（7）選取“對象上的點(diǎn)”，在OF上取一點(diǎn)O′.選取“線段”工具，連接OO′，長為l.

（8）在輸入欄輸入：circle（O′，l）.作以G為圓心，l為半徑的圓O′.右擊圓O′，設(shè)置“顯示軌跡”.隱藏不需要的對象和標(biāo)簽.如圖11所示.

3.3?課件說明

根據(jù)題意，本題粒子運(yùn)動的軌跡圓是一個縮放圓.拖動圓心O′點(diǎn)即可看到軌跡圓的縮放過程.在拖動O′點(diǎn)的過程中不難發(fā)現(xiàn)，要使粒子能從AB邊上射出磁場，軌跡圓必須要與AB有交點(diǎn)，臨界狀態(tài)是軌跡圓與AB和CD分別相切時，對應(yīng)著粒子能打在AB邊上的最小和最大軌跡圓半徑，如圖12和圖13所示.

在此過程中，可通過右擊圓O′“顯示軌跡”，把縮放圓的動態(tài)過程記錄下來.如圖14所示.

教師在實(shí)際制作過程中，也可以利用GeoGebra中“圓弧”工具，將未在磁場中的軌跡用虛線表示.

軟件GeoGebra由于其簡單易學(xué)，功能強(qiáng)大，且不需要編程背景，在物理教學(xué)中給教師和學(xué)生們帶來了極大的便利.尤其是粒子在磁場中運(yùn)動這一章節(jié)，知識本身難度非常大，又需要學(xué)生具備動態(tài)想象能力，對很多學(xué)生來說，這一部分學(xué)習(xí)起來比較困難.而利用軟件GeoGebra中的動態(tài)功能，將磁場中的“旋轉(zhuǎn)圓”“縮放圓”問題制作成課件，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)可視化、更有體驗(yàn)感的教學(xué)情境，可大大降低學(xué)生的理解難度和教師的教學(xué)難度，且更有利于突破教學(xué)難點(diǎn)，達(dá)到事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]明翔宇.巧用幾何畫板動態(tài)分析磁場“縮放圓”和“旋轉(zhuǎn)圓”問題[J].物理教學(xué)探討，2017，35（12）：52-54+58.

[2]陳麗峰.用“動圓”巧解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動問題[J].物理教學(xué)探討，2012，30（04）：24-25.

[3]殷正徐，吳偉.GeoGebra軟件在高中物理課堂教學(xué)中的案例應(yīng)用分析——以簡諧振動和機(jī)械波為例[J].物理教師，2017，38（10）：70-73.

（收稿日期：2019-12-06）