李秀元 朱丹丹

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué) 435400)

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題，是高考的必考考點(diǎn).其中，利用恒成立求參數(shù)取值范圍是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).求解過程中如果不能直接分離參數(shù)與變量，學(xué)生往往很難把握分類標(biāo)準(zhǔn)，解題時(shí)漏洞百出，失分較嚴(yán)重.如果能適當(dāng)縮小參數(shù)的取值范圍，那么討論起來會簡單些.下面通過幾道例題，來說明如何利用題目恒成立的不等式條件，用特殊自變量的值來縮小參數(shù)取值范圍，使求解方向更明確，解題過程更簡捷，從而節(jié)省考試時(shí)間，提高得分率.

例1 已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx，x∈R.

(1)若a=0，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)令g(x)=f(x)-x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈(0，e](e是自然對數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

解析(1)過程略，切線方程為y=x.

綜合可知，a=e2.

即當(dāng)a=e2時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，e]上的最小值為3.

(1)當(dāng)a=-4時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間[1，4]上的最小值為8，求a的值.

綜上得a=-10.

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥-2時(shí)，f(x)≤kg(x)恒成立，求k的取值范圍.

解析(1)a=4，b=2，c=2，d=2.

(2)由(1)知，f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).

設(shè)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，則“f(x)≤kg(x)”等價(jià)于“F(x)≥0對x≥-2恒成立”，即“對任意的x≥-2，F(xiàn)(x)min≥0”.

依題意，必有F(-2)≥0且F(0)≥0，所以1≤k≤e2.

因?yàn)镕′(x)=2(x+2)(kex-1)，令F′(x)=0，得x1=-lnk，x2=-2.

當(dāng)1≤k0得x>x1.所以F(x)為(-2，x1)上的減函數(shù)，(x1，+)上的增函數(shù).

當(dāng)k=e2時(shí)，F(xiàn)′(x)=2(x+2)(ex+2-1)≥0，所以，F(xiàn)(x)為[-2，+)上的增函數(shù)，故F(x)min=F(2)=0，也符合題意.

綜合可得，1≤k≤e2.

點(diǎn)評由于g(x)的取值有正有負(fù)，因此分離參數(shù)法不太方便.如果不用特殊值縮小參數(shù)的范圍，勢必需要增加討論k≤0、0e，過程雖不難，但增大了書寫量.若只選擇一個(gè)特殊值，如x=-2，參數(shù)范圍雖有縮小，但還不是更小，更多的討論依然避免不了，因此我們選擇定義域內(nèi)的兩個(gè)特殊值，使參數(shù)范圍更小.

縱觀這幾道試題，我們發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵是利用了恒成立問題的必要條件，以縮小參數(shù)的取值范圍.在自變量的取值范圍內(nèi)，究竟選誰作為特殊值，是選一個(gè)還是多個(gè)，是沒有規(guī)定的.一般情況下，區(qū)間端點(diǎn)、中點(diǎn)、整點(diǎn)，或者使函數(shù)式為定值的自變量等等都是我們考慮的對象，選出特殊值，經(jīng)過簡單計(jì)算，擇其優(yōu)而用之. 通過縮小參數(shù)的取值范圍，我們只是盡可能多地減少解題過程中的討論環(huán)節(jié)，避免不必要的麻煩.但在具體討論過程中，一些細(xì)節(jié)依然要引起重視，如后兩例中對參數(shù)范圍的再分割，也是學(xué)生易忽視的地方，如不加分割，函數(shù)單調(diào)性表述將不嚴(yán)密，還是容易丟分.