馬新發(fā)

(河南省魯山縣第二高級中學(xué),467300)

一、教學(xué)分析

1.內(nèi)容分析

“用二分法求方程的近似解”一節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)1》人教A版第三單元第一節(jié)第二課.它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點存在定理”為確定方程解所在的區(qū)間為依據(jù),從求方程近似解這個側(cè)面來體現(xiàn)“方程與函數(shù)的關(guān)系”.本節(jié)課滲透了“算法思想”、“數(shù)學(xué)逼近”等數(shù)學(xué)思想;充分體現(xiàn)新課程“滲透數(shù)學(xué)方法、關(guān)注數(shù)學(xué)文化以及重視信息技術(shù)應(yīng)用”等理念.

2.學(xué)情分析

同學(xué)們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ),對函數(shù)的零點具備基本的認(rèn)識,而二分法來自生活,是從生活中抽象而來的,只要我們選材得當(dāng),就能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,達(dá)到滲透數(shù)學(xué)思想關(guān)注數(shù)學(xué)文化的目的；學(xué)生也能夠很容易理解這種方法中運用“二分法”進(jìn)行區(qū)間縮小的依據(jù)、總結(jié)出“運用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運用到生活實際,是需要學(xué)生“跳一跳”才能摘到的“桃子”.

3.教學(xué)目標(biāo)

(1)通過具體實例理解二分法的概念、掌握用二分法求方程的近似解的步驟；

(2)通過觀察類比、動手實踐、歸納概括等活動體驗函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)逼近等思想方法,初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識.

4.教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點能夠借助計算器用二分法求方程的近似解.

教學(xué)難點(1)概括用二分法求方程的近似解的步驟;

(2)理解用二分法求方程的近似解的步驟中的精確度.

5.教學(xué)方法及教具

教學(xué)方法學(xué)案導(dǎo)學(xué)法、情景類比法、探究學(xué)習(xí)法.

教具導(dǎo)學(xué)案、多媒體課件、計算器、展示板等.

二、課堂實錄

環(huán)節(jié)1復(fù)習(xí)舊知,提出問題

師:上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的零點及其存在性定理,哪位同學(xué)回答一下?

生1:使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)f(b)<0,則y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.

師:很好！既然函數(shù)有零點等價于方程有實數(shù)解,那么求函數(shù)的零點問題是不是都能轉(zhuǎn)化為求方程的解的問題呢?我們看下面的問題.

問題1請同學(xué)們觀察下面的兩個方程,請思考一下怎么求解這兩個方程？

(1)x2-2x-1=0；

(2)lnx+2x-6=0.

生2:方程(1)可以利用一元二次方程的求根公式求解,方程(2)不會求解.

設(shè)計意圖章建躍博士指出，落實核心素養(yǎng)的重要抓手是“四基” 、“四能”．筆者認(rèn)為,問題是激發(fā)學(xué)生主動思考的抓手,是思維的先導(dǎo)．問題1中方程(1)學(xué)生很熟悉,通過一元二次方程的求根公式容易得到,根據(jù)上節(jié)課知識知道方程(2)有實數(shù)解,但是并不能像方程(1)那樣來求解,從而引發(fā)學(xué)生思維的碰撞,激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣和欲望.

師:下面我們通過一段微課了解一下數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家們對方程的解的探索(播放視頻微課“中外歷史上的方程求解”)．根據(jù)阿貝爾以及后人的研究,我們知道了高次方程和超越方程不存在求根公式．但是在計算數(shù)學(xué)中這是一個非常重要的課題,我們有必要尋找求其近似解的方法．這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容(板書課題).

設(shè)計意圖《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“2017年版課標(biāo)”)中明確指出:數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容[1]．?dāng)?shù)學(xué)有時候是枯燥的,而文化帶有靈性,課堂需要文化來增色,學(xué)生的心靈更需要文化來浸潤．這就需要老師在課堂教學(xué)中一點一滴地去落實,這樣的教學(xué)設(shè)計也會更豐滿更有色．微課呈現(xiàn)了中外歷史上數(shù)學(xué)家們對方程的解的探索,既增強了同學(xué)們的民族自豪感,又在同學(xué)們心中埋下了科學(xué)探索精神的種子.

環(huán)節(jié)2師生共研,解決問題

問題2如何求方程lnx+2x-6=0的近似解?

根據(jù)所學(xué)知識,幫助學(xué)生把該問題分解為四個小問題.

分解問題1該方程的解的問題可以轉(zhuǎn)化成什么問題?

生3:求方程lnx+2x-6=0 的解的問題，可以轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點的問題.

分解問題2相應(yīng)函數(shù)的零點大致在哪個區(qū)間?

生4:因為f(2)f(3)<0,所以f(x)=lnx+2x-6的零點在區(qū)間(2,3)內(nèi).

師:我們?nèi)绾沃鸩娇s小這個區(qū)間呢?生活中有沒有類似的例子可供參考?

生5:開放性問題,無固定答案.

師:我們共同來看一個例子．(播放中央電視臺“購物街”欄目“給商品猜價格”的視頻)

設(shè)計意圖“2017年版課標(biāo)”中指出:情境主要有“現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境”[2]．該視頻就來源于現(xiàn)實生活,采用同學(xué)們比較熟悉的例子,啟發(fā)思路的同時,讓同學(xué)們體會的數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

分解問題3類比實例,我們可以采用什么方法逐步縮小這個區(qū)間?

生6:采用取區(qū)間中點的方法.

分解問題4什么條件下停止這個縮小過程?

生7:區(qū)間滿足精確度ε,即|a-b|<ε.

(PPT呈現(xiàn)上面的過程,給定精確度為0.1和0.01分別求解結(jié)果,深化學(xué)生對精確度的理解)

設(shè)計意圖把難度較大的問題分解為幾個小問題,逐個突破,層層遞進(jìn),實現(xiàn)問題的解決,讓學(xué)生體會解決復(fù)雜問題的方法．通過生生互動、師生互動,一起尋找生活中的實例,既為問題的解決提供了思路,又讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

師:請同學(xué)們用自己的語言敘述一下二分法的定義.

生8:對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且滿足f(a)f(b)<0 的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x) 的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection).

環(huán)節(jié)3合作探究,小組交流

例求方程 2x+3x-7=0的近似解(精確度0.1).

生9:第一步:設(shè)函數(shù)f(x)=2x+3x-7,則問題轉(zhuǎn)化為求f(x)零點的近似值.因為f(x)在R上是連續(xù)不斷的增函數(shù),且f(1)=-2，f(2)=3，f(1)f(2)<0,所以 函數(shù)f(x) 有唯一的零點x0∈(1,2).

師：第二步:小組合作探究,其中兩個人分別操作計算器,兩個人記錄,兩個人共同填寫各組的展示板(表格)，根據(jù)表格,結(jié)合精確度得到結(jié)果.

(請各個小組展示結(jié)果,并結(jié)合PPT對各個小組的結(jié)果進(jìn)行點評)

師:根據(jù)以上的探究,請同學(xué)們概括一下用二分法求方程的近似解的一般步驟(學(xué)生敘述,老師補充).

生10:二分法的步驟：

(1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0,給定精確度ε.

(2)求區(qū)間(a,b)的中點c.

(3)計算f(c):(i)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點;(ii) 若f(a)f(c)<0,則令b=c(此時零點x0∈(a,c));(iii) 若f(c)f(b)<0,則令a=c(此時零點x0∈(c,b)).

(4)判斷a，b是否達(dá)到精確度ε:即若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否則重復(fù)步驟(2)～(4).

師:以上過程體現(xiàn)了“算法思想”,同時我們可以將以上過程簡記為以下四個步驟:

(1)“定”——確定解所在的區(qū)間;

(2)“算”——計算區(qū)間端點函數(shù)值的符號;

(3)“分”——將解所在的區(qū)間一分為二;

(4)“判”——判定結(jié)果是否達(dá)到精確度.

設(shè)計意圖掌握一種方法,需要經(jīng)歷模仿演練.“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行”．只有通過自己親身的模仿操作才能將知識、方法內(nèi)化到原有知識結(jié)構(gòu)中[3]．筆者認(rèn)為,學(xué)生是課堂的主人,課堂教學(xué)中重點的深化、難點的突破一定要讓學(xué)生參與.

環(huán)節(jié)4課堂訓(xùn)練(略)

環(huán)節(jié)5總結(jié)提升

(1)二分法的定義與步驟(授之以魚)

(2)本節(jié)課涉及到的數(shù)學(xué)思想(授之以漁):數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、算法思想、逼近思想等.

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升還是要落實在課堂學(xué)習(xí)中,通過總結(jié),使學(xué)生實現(xiàn)從知識到能力,從能力到思想,從思想到素養(yǎng)的提升.

環(huán)節(jié)6作業(yè)布置

(1)書面作業(yè):教材第92頁第1，2，3題.

(2)課后探究:閱讀教材第91-92頁內(nèi)容.借助互聯(lián)網(wǎng),了解高次方程和超越方程的其他的數(shù)值解法,如牛頓法、擬牛頓法、弦截法等.

設(shè)計意圖書面作業(yè)意在強化本節(jié)二分法的理解與應(yīng)用.課后探究意在通過搜集資料了解其他求方程近似解的方法,拓展學(xué)生思維,開闊學(xué)生視野；同時,給“吃不飽”的學(xué)生以繼續(xù)提高的空間和契機(jī).