四川省成都市樹(shù)德中學(xué)

2018年12月2日,筆者參加了在桂林舉行的“第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”,因出色的表現(xiàn)獲得了“示范課現(xiàn)場(chǎng)展示證書(shū)”.章節(jié)引言課的教學(xué)實(shí)踐案例少,可借鑒資料有限,尤其在西部,教師幾乎不予理會(huì).為了突破固有的常規(guī)課范式,同時(shí)還緊扣核心素養(yǎng)的培育,在切實(shí)關(guān)注本校實(shí)際教育教學(xué)情況的基礎(chǔ)上,筆者大膽對(duì)此課型作了嘗試.筆者以《數(shù)列引言》為展示課題,得到了與會(huì)老師們的一致好評(píng),人民教育出版社副編審龍正武老師在點(diǎn)評(píng)環(huán)節(jié)特別贊賞了該課的大膽創(chuàng)新與設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)的精到,他認(rèn)為該課文化素材的選取與融合、學(xué)生的主體作用的發(fā)揮、問(wèn)題的引領(lǐng)、目標(biāo)的達(dá)成均可圈可點(diǎn),是一個(gè)比較成功的引言課教學(xué)范例.現(xiàn)將這節(jié)課呈現(xiàn)前后的一些思考整理成文,與同行們交流,不妥之處敬請(qǐng)指正.

1 章引言課的地位與功能

章引言是一章學(xué)習(xí)的起源,它是高中數(shù)學(xué)一個(gè)章節(jié)、一個(gè)知識(shí)板塊教學(xué)的第一課時(shí).在這一課時(shí)中,教師往往要取材于章頭圖、章節(jié)引言,關(guān)注數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程,把握高中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu),結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平,設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題導(dǎo)引,帶領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)本章的主要知識(shí)脈絡(luò),揭示本章的基本思想方法,喚起學(xué)生對(duì)本章學(xué)習(xí)的熱情.章引言課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少,又是需要重點(diǎn)關(guān)注的課型之一.

2 文化的理解與素材的選擇

百度百科上給出了數(shù)學(xué)文化的定義.從狹義上看數(shù)學(xué)文化指的是數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀(guān)點(diǎn)、語(yǔ)言,以及它們的形成和發(fā)展.從廣義上理解,數(shù)學(xué)文化除上述內(nèi)涵以外,還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育,數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等.

為了在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化,筆者在該課的設(shè)計(jì)上下足了功夫,文化素材的選擇既有來(lái)自于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展,也有源于學(xué)生生活實(shí)際的改編.該課恰如其分的使用了文化素材,既挖掘了文化的內(nèi)涵,也積極地引導(dǎo)和激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)心向;筆者在課堂中注重對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中真、善、美的追求,力圖使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中真正感受到數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)家的理性精神、我國(guó)的古典文化,以期在文化和數(shù)學(xué)之間的對(duì)話(huà)中提高學(xué)生的思想境界和文化修養(yǎng).

數(shù)學(xué)教學(xué)通過(guò)文化的滲透使學(xué)生喜愛(ài)數(shù)學(xué)以后,下一階段就是發(fā)展學(xué)生的思維,不僅是分析、解決問(wèn)題的思維,也包括對(duì)于學(xué)習(xí)的思考和領(lǐng)悟.核心素養(yǎng)的落地需要在關(guān)鍵能力上有所突破,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)無(wú)疑是其中最重要的關(guān)鍵能力之一,但這樣的關(guān)鍵能力的培養(yǎng)絕不是口頭上的套話(huà),而應(yīng)是有切實(shí)的實(shí)施方法和輔助工具的.本課中,筆者以思維導(dǎo)圖貫穿始終,就如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力做了很好的示范和嘗試.

3 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

本課的教學(xué)環(huán)節(jié)擬分為“明、引、悟、結(jié)”四個(gè)環(huán)節(jié),各個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)流程及大致時(shí)間分配如下:

圖1 以情境為載體,以活動(dòng)為主線(xiàn)

3.1 開(kāi)宗明義

問(wèn)題函數(shù)章節(jié)的知識(shí)大致分為幾個(gè)板塊?

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比函數(shù),關(guān)注并構(gòu)建數(shù)列的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖,啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)前后都關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

3.2 為什么學(xué)

情境1刻畫(huà)離散現(xiàn)象的模型舉例(數(shù)學(xué)界的“地震”)

9月24日,年近九旬的菲爾茲獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)雙料得主邁克爾阿蒂亞在海德堡宣講了久負(fù)盛名的黎曼猜想的證明,期間費(fèi)馬有如下的猜測(cè):

(1)Fn=22n+1,由于F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,故費(fèi)馬認(rèn)為:當(dāng)n取自然數(shù)時(shí),Fn都是質(zhì)數(shù).

(2)黎曼猜想:用以刻畫(huà)質(zhì)數(shù)分布的精確規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖以數(shù)學(xué)界的“地震”為切入點(diǎn)吸引學(xué)生的注意力,調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,為引入數(shù)列的必要性鋪墊了良好的氛圍.融入質(zhì)數(shù)規(guī)律的認(rèn)識(shí)歷程,學(xué)生在感受數(shù)學(xué)發(fā)展的坎坷的同時(shí),也一定程度上認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的本質(zhì),并借助數(shù)學(xué)家對(duì)真理的執(zhí)著追求感染學(xué)生對(duì)學(xué)問(wèn)孜孜以求.

情境2八戒與悟空的故事.

八戒與悟空相會(huì)在紀(jì)念西天取經(jīng)十周年的慶典上,兩人推杯換盞、促膝相談,且在午夜子時(shí)就簽訂了一個(gè)合約,合約的內(nèi)容是在接下來(lái)的三十天,悟空第一天付給八戒21 萬(wàn),且以后每天所付的錢(qián)數(shù)都比前一天多一萬(wàn),而八戒只需在第一天付給悟空一萬(wàn),且以后每天所付的錢(qián)數(shù)都是前一天的兩倍,做著富翁夢(mèng)的八戒,卻不幸破產(chǎn)了.

設(shè)計(jì)意圖聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際生活情境,編撰了悟空與八戒的金融故事,并通過(guò)多媒體動(dòng)態(tài)演示故事,為數(shù)列概念的了解和進(jìn)一步研究問(wèn)題作鋪墊,并設(shè)置懸念,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.

3.3 學(xué)什么與怎么學(xué)

問(wèn)題1-1請(qǐng)寫(xiě)出情境2中,八戒與悟空每一天所收入錢(qián)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩列數(shù)?

問(wèn)題1-2問(wèn)題1-1中寫(xiě)出的兩列數(shù),每列數(shù)中的任意兩個(gè)數(shù)之間能否調(diào)換順序,為什么?

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)不同素材的體驗(yàn),學(xué)生初步感悟數(shù)列的概念,引出數(shù)列的符號(hào),在類(lèi)比集合的表示給出數(shù)列的簡(jiǎn)寫(xiě)的同時(shí),揭示數(shù)列的內(nèi)涵:列數(shù),并為后續(xù)深入研究作好鋪墊.

問(wèn)題1-3你能利用函數(shù)的知識(shí)解釋八戒為什么會(huì)破產(chǎn)嗎?

設(shè)計(jì)意圖聯(lián)系學(xué)生已有知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系研究,在將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程中養(yǎng)育學(xué)生的抽象素養(yǎng).期間,利用圖象解釋其離散性,通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)列的定義域是引起這種特殊性的根源,從而揭示數(shù)列的外延:數(shù)列是特殊的函數(shù).

思考1情境2中涉及的兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}分別為21,22,23,···,50 與1,2,4,···,229,類(lèi)比函數(shù),你還有什么方法刻畫(huà)這兩個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律?

設(shè)計(jì)意圖深刻體會(huì)數(shù)列是離散的這一特性并引出刻畫(huà)數(shù)列規(guī)律的第一種方式—-通項(xiàng)公式.

問(wèn)題1-4你能量化地利用數(shù)學(xué)的一個(gè)不等式解釋八戒破產(chǎn)嗎?

設(shè)計(jì)意圖將學(xué)生的認(rèn)識(shí)引向深入,帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)列的和,順勢(shì)引出刻畫(huà)數(shù)列規(guī)律的第二種方式—-前n項(xiàng)和.

練習(xí)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

(1)若通項(xiàng)公式an=1,則其前n項(xiàng)和Sn=___

(2)若通項(xiàng)公式an=n,則其前n項(xiàng)和Sn=_____

(3)若前n項(xiàng)和Sn=1,則其通項(xiàng)公式an=____

(4)若前n項(xiàng)和Sn=n,則其通項(xiàng)公式an=___

設(shè)計(jì)意圖鞏固得到的刻畫(huà)數(shù)列規(guī)律的兩種方式,體會(huì)這兩種方式之間的聯(lián)系,并初步建立本章的知識(shí)、方法網(wǎng)絡(luò).

思考2上述練習(xí)對(duì)你后續(xù)學(xué)習(xí)有何啟示?

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的探究恰好可以很切實(shí)的引導(dǎo)學(xué)生思考,同時(shí)也預(yù)知后續(xù)學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難.

情境3(畫(huà)畫(huà)看)1 條直線(xiàn)可將平面分成2個(gè)部分,2 條直線(xiàn)最多可將平面分成4個(gè)部分,若n條直線(xiàn)最多可將平面分成an個(gè)部分,則a5的值是多少? 你有什么發(fā)現(xiàn)呢?

設(shè)計(jì)意圖拾級(jí)而上,通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、交流討論、反思總結(jié),引出刻畫(huà)數(shù)列的第三種方式—遞推關(guān)系(相鄰項(xiàng))的同時(shí)對(duì)情境中的遞推關(guān)系作出解釋,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感悟數(shù)列研究中的遞推思想,也為有效突出本章重點(diǎn),突破本章難點(diǎn)作準(zhǔn)備.

延伸1平面內(nèi)n個(gè)圓,至多可將平面分成多少個(gè)部分?

延伸2空間內(nèi)的n個(gè)平面,至多可將空間分成多少個(gè)部分?

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)問(wèn)題延伸,實(shí)現(xiàn)引言課的功能之一,引出問(wèn)題,為后續(xù)深入研究做好鋪墊.

問(wèn)題2你能用遞推關(guān)系刻畫(huà)八戒與悟空的收入對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律嗎?

設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用遞推關(guān)系再次刻畫(huà)故事中數(shù)列的規(guī)律,使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)列中的兩種特殊數(shù)列模型:等差數(shù)列模型和等比數(shù)列模型,初步體會(huì)這兩種模型在研究一般數(shù)列規(guī)律中的地位和作用.

情境4 欣賞與感悟

有人說(shuō):“大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”,不知你注意過(guò)沒(méi)有,樹(shù)木的生長(zhǎng),向日葵花盤(pán)上種子的排列,某些花的花瓣數(shù)量都與1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89···這列數(shù)有關(guān).我們來(lái)看個(gè)小視頻.

設(shè)計(jì)意圖將“章頭圖”、“章引言”、“數(shù)字之美”的視頻融入其中,引出歷史上著名的斐波那契數(shù)列,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化、欣賞數(shù)學(xué)美的同時(shí),增加學(xué)習(xí)的興趣和信心.

問(wèn)題3你能用什么方式刻畫(huà)與情境4 有關(guān)的數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,···的變化規(guī)律?

思考3 此問(wèn)題你還可以延伸出什么問(wèn)題?

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步體會(huì)遞推關(guān)系在認(rèn)識(shí)數(shù)列規(guī)律中的特殊地位,感悟遞推思想.

3.4 小結(jié)與延伸

3.4.1 課堂小結(jié)

問(wèn)題4-1你能完善一下本課的思維導(dǎo)圖嗎?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用思維導(dǎo)圖梳理知識(shí)、構(gòu)建體系,從而對(duì)本章的知識(shí)、方法有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí),進(jìn)而在結(jié)構(gòu)體系中體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

問(wèn)題4-2本課學(xué)習(xí)對(duì)你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有何啟示?

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生學(xué)會(huì)反思,在反思中發(fā)展能力的同時(shí)拓展學(xué)生的視野,為后續(xù)學(xué)習(xí)做好知識(shí)和心理上的準(zhǔn)備.

3.4.2 課后檢測(cè)與延伸

1.右圖中的三個(gè)正方形塊中,著色正方形的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3 項(xiàng),請(qǐng)寫(xiě)出該數(shù)列的一遞推關(guān)系?

圖2

2.嘗試解決課堂中的思考題及延伸問(wèn)題.

3.查閱資料了解斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中還有哪些應(yīng)用,感興趣的同學(xué)可以思考如何利用遞推關(guān)系推導(dǎo)斐波那切數(shù)列的通項(xiàng)公式?

設(shè)計(jì)意圖將課堂內(nèi)容延伸到課外,在檢測(cè)學(xué)生對(duì)遞推關(guān)系的理解和應(yīng)用的同時(shí),感悟數(shù)學(xué)文化,為研究數(shù)列的核心問(wèn)題伏筆.

4 教學(xué)反思

結(jié)合該課例的課堂教學(xué)實(shí)踐和反思,筆者認(rèn)為章引言課的設(shè)計(jì)應(yīng)該主要從以下三個(gè)方面布局、潤(rùn)色、發(fā)力.

4.1 浸潤(rùn)傳統(tǒng)文化、滲透數(shù)學(xué)思想、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

課堂中洋溢的數(shù)學(xué)文化氣息不應(yīng)是刻意附庸,而應(yīng)是教學(xué)中不可或缺的文化元素,并且適當(dāng)?shù)臐B透有利于養(yǎng)育學(xué)生的人文素養(yǎng).數(shù)列是刻畫(huà)自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,課堂中適度安排學(xué)科發(fā)展前沿問(wèn)題、傳統(tǒng)文化相關(guān)內(nèi)容能夠讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程,養(yǎng)育學(xué)生數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.2 章引言課的設(shè)計(jì)關(guān)鍵在于“引”和“種”

章引言課的設(shè)計(jì)要在“引”和“種”上下功夫.一方面要能引起學(xué)生的興趣、引發(fā)學(xué)生的共鳴、引出學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難.這就需要從素材、情境、問(wèn)題上入手,素材的選取要能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,情境的設(shè)置要能引出本章的內(nèi)容和方法,問(wèn)題的設(shè)計(jì)要有利于引領(lǐng)本章關(guān)鍵問(wèn)題的研究.另一方面,玩數(shù)學(xué)就是玩概念,厘清了數(shù)學(xué)的概念就是抓住了數(shù)學(xué)的核心與本質(zhì),引言課也不例外.在引言課的設(shè)計(jì)中注重概念深種,注意概念教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié),關(guān)注概念的情境創(chuàng)設(shè)以及新舊概念的聯(lián)系等,可使引言課更具特色.

4.3 實(shí)現(xiàn)教材中“章頭圖、旁白和閱讀材料”等素材的教育價(jià)值和作用

作為引言課,對(duì)時(shí)下的數(shù)學(xué)發(fā)展、我國(guó)的經(jīng)典文化及教材中“章頭圖、旁白和閱讀材料”的整合是很有必要的,這些素材是搭建新舊知識(shí)之間聯(lián)系的橋梁、是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的紐帶、是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和熱情的催化劑,比如本課在介紹數(shù)列學(xué)習(xí)的必要性部分借用了費(fèi)馬對(duì)質(zhì)數(shù)的猜測(cè)、數(shù)學(xué)家對(duì)質(zhì)數(shù)的研究歷程激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.另外“章頭圖、旁白和閱讀材料”還可以很好的引導(dǎo)學(xué)生回歸教材、研究教材,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,發(fā)展學(xué)生的能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).