夏冰

【摘要】部分小學教師對估算的認識還存在兩個誤區(qū)：一是認為估算只有好與壞之別，沒有對與錯之分;二是認為估算是粗略的計算，估算結果只能是粗略值而不能是精確值.這兩種認識都是錯誤的，這主要是由于小學教師對估算概念的認識不夠清晰而造成的.本文將結合實例來加以說明.

【關鍵詞】小學;教師;估算;認識;誤區(qū)

一、估算存在的兩個誤區(qū)

《小學數(shù)學課程標準（2011版）》加強了估算在小學的教學[1]，將“數(shù)量的估計”作為重要的教學內容，并在不同學段提出不同的要求.在小學校舉行的教學比賽或觀摩討論課，也多選擇估算這一內容來進行.隨著教師對估算教學的不斷重視，對估算教學的研究不斷深入，大部分教師對估算教學誤區(qū)進行了研究，特別是對估算認識中出現(xiàn)的問題進行了探討和糾正.如司繼偉糾正了“估計值不是要得到的最終答案”“估算沒有標準答案”等錯誤認識[2].在對小學數(shù)學教學進行調研時，筆者了解到部分小學教師對估算還存在兩個的誤區(qū)：一是認為估算只有好與壞之別，沒有對與錯之分;二是認為估算是粗略的計算，只能估算出近似值而不能是精確值.這也反應部分小學教師對估算的概念還不夠清晰，對估算的評價標準還不夠明確.以下筆者結合實例來澄清這兩個問題.

二、估算不僅有好壞之分，還有對錯之別

例1 估算8×12.

教師與學生共同討論，其估算方法大致分為以下三種：

法一：把8取整，估算結果為120.此估算方法稱為增大取整.

法二：把12取整，估算結果為80.此估算方法稱為減小取整.

教師指出，后一種估算比前一種估算好，這兩種方法都叫做取整方法，是小學估算的主要方法.

法三：若把8和12都取整，其結果為100，此估算方法最好，稱為調整（調小增大）.

以上三種方法都是正確的估算，但方法有好壞.

什么叫估算方法的好壞呢？我們用估算的值與精確值之差的絕對值和精確值的比的大小來衡量，一般來講，比值越小，估算方法就越好;比值越大，估算方法就越壞.這樣來看，“法一”的比值為0.25;“法二”的比值為0.17;“法三”的比值為0.04.所以“法三”最好，“法一”最壞.這是當前多數(shù)教師對估算的認識.

現(xiàn)在我們來考慮以下兩個問題：

問題1：甲估算8×12的值是小于150;

問題2：乙估算8×12的值大約是150.

甲和乙都是把8取10，把12取15，這樣估算的結果都是150，那么這種方法在這兩種情境中得到的估算結果是否有好壞之分，對與錯之別呢？這就需要弄清估算的概念，才能回答這個問題.

那么什么是估算的概念呢？沈威、曹廣福在研究了司繼偉等人對估算認識的成果后進一步指出：“估算是主體結合數(shù)學情境運用已有數(shù)學計算經(jīng)驗產(chǎn)生一個相對快速且滿足一定條件的、與計算有關的、判斷的心理加工過程[3].這是估算概念的最新定義.該定義對小學教師和學生而言，還不夠通俗易懂.因此我們可以這樣給出估算的概念：在一定范圍內對數(shù)值的大小給出的一個粗略估計叫做估算.這里的“一定范圍”分兩種情況：一為指定范圍，二為常識范圍.一般來講，估算有一個明確的指定范圍，如“比什么數(shù)大（?。?如果沒有明確的指定范圍，則有常識范圍，如“大約是多少”.也就是說估算總是在“一定范圍”內進行的，這種范圍要么是指定的，要么是常識的，但都有范圍，這一點要明確.如果估算的值在“一定范圍”內，則估算有好壞之分，如果估算的值超過了這個范圍，則該估算是錯誤估算，這就有對錯之別.

例1中的“一定范圍”是“常識范圍”，即是80到120的開區(qū)間.所以他們有好壞之分.問題1的“一定范圍”是小于150，是“指定范圍”.在該范圍內也有好壞之分.而問題2的“一定范圍”則是“常識范圍”，是80到120的開區(qū)間.150超過了這個范圍，所以它是錯誤估算，這就沒有好壞之分，只有對錯之別了.因此判斷估算的對與錯、好與壞，主要看估值是否在“一定范圍”內，若估算之值在其內，即是正確估算，則估算有好壞之分，如果估算之值不在其內，則是錯誤估算.因此估算不僅有好壞之分，也有對錯之別.

三、估算也可以估算出精確值

對于第二個誤區(qū)“估算結果只能粗略值而不能是精確值”，我們來討論下列問題：

例2 估算35×45.

這里要用到一個估算結論：兩數(shù)之積，以平均數(shù)自乘為最大.兩乘數(shù)離平均數(shù)越遠，其積越小.如8×12的積，以平均數(shù)10自乘（10×10）為最大.8×12就比9×11小.

“常識范圍”是辯證的.35×45的常識范圍可以是大于1 200小于2 000，也可以是大于1 400小于1 750.依據(jù)當事人的估算認知水平而定.我們使用調整的方法：將35調小為30，將45調大為50，因此得到35×45>30×50=1500，由于5×5=25，因此估算35×45大約是1 525.

也可以這樣估算：將35調大為40，將45調小為40，所以35×45<40×40=1 600，由于5×5=25，因此估算35×45大約是1 600-25=1 725.

首先明確“一定范圍”是“常識范圍”，即大于1 500小于2 000，或大于1 400小于1 750.1 525在這個范圍內，1 725也在這個范圍內，所以這兩種估算都是正確的.而后一種方法卻估計出了精確值.以此方法，我們也可估算出35×35為1 225，也是正確估算.至此我們認為，估算也可以估算出精確值.

根據(jù)估算方法好壞的概念，能估算出精確值的估算就是最好的估算.所以，估算的結果可能是一個粗略值，也可能是精確值.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部，義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]司繼偉.小學估算教學的常見誤區(qū)及對策[J].學科教育，2002（5）：27-30.

[3]沈威，曹廣福.數(shù)學估計及中國數(shù)學課程標準對其的培養(yǎng)要求[J].數(shù)學教育學報，2015（4）：37-43.

[4]鄧丹丹.走出“估算教學”的誤區(qū)[J].數(shù)學教學通訊，2016（7）：36，46.