池紅梅

[摘 要]度量的本質(zhì)是將事物的某些屬性標(biāo)準(zhǔn)化，然后通過(guò)測(cè)量賦予事物一個(gè)量值，從而可以比較同一維度上的事物?；趯W(xué)生已有的度量經(jīng)驗(yàn)，以“長(zhǎng)短貓”的魔術(shù)作為開篇，通過(guò)對(duì)“度量本質(zhì)”與“角的大小度量”的思考，從角的動(dòng)態(tài)定義出發(fā)，創(chuàng)造度量方法，再對(duì)比不同度量之間的共同點(diǎn)，擴(kuò)展出角的度量體系，梳理出度量五部曲：明確對(duì)象——建立標(biāo)準(zhǔn)——發(fā)明工具——使用工具——獲得數(shù)值，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生自覺地感受和使用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的意識(shí)。

[關(guān)鍵詞]度量;本質(zhì);量角

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2020）05-0018-02

一、為度量而發(fā)明的魔術(shù)

在全國(guó)第三期魔術(shù)種子教師培訓(xùn)會(huì)上，來(lái)自臺(tái)灣的吳如皓老師表演了一個(gè)魔術(shù)——長(zhǎng)短貓（如圖1）：第一幅圖：小紅比小藍(lán)長(zhǎng);第二幅圖：加了一把特殊尺來(lái)比較，還是小紅比小藍(lán)長(zhǎng);第三幅圖：讓小藍(lán)穿越魔法圈;第四幅圖：變?yōu)樾∷{(lán)比小紅長(zhǎng)。

這是為什么？原來(lái)，小藍(lán)并不是真的變長(zhǎng)了，只是因?yàn)樗鼈償[放的位置不同，從而讓人得到了錯(cuò)誤的比較結(jié)果。

如圖1所示，在第一幅圖中，是用小藍(lán)的內(nèi)圈和小紅的外圈比，感覺小紅長(zhǎng)一些;而在第四幅圖中，是用小紅的內(nèi)圈和小藍(lán)的外圈比，感覺小藍(lán)長(zhǎng)一些。因?yàn)槊看伪容^的對(duì)象和方法都不同，所以看起來(lái)就會(huì)有不同的結(jié)果。正確的比較方法是：外圈和外圈比，內(nèi)圈和內(nèi)圈比，在同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)上進(jìn)行比較和測(cè)量。

顯然，吳老師這個(gè)魔術(shù)是為了培養(yǎng)學(xué)生的度量意識(shí)。他說(shuō)：“讓學(xué)生知道比什么、怎么比，才是最關(guān)鍵的?！贝_實(shí)，度量從本質(zhì)上來(lái)講就是一種比較，是物體和標(biāo)準(zhǔn)的比較。因此，比什么、怎么比，就顯得尤為重要。

在小學(xué)階段，角的度量是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，在剛開始學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生會(huì)這樣度量（如圖2）。學(xué)生基于原有度量長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)，自然而然地想到用直尺去度量角，這無(wú)可厚非。但追根溯源，主要是他們不知道度量角的大小究竟應(yīng)該度量哪里，用什么標(biāo)準(zhǔn)、什么工具去度量。這個(gè)現(xiàn)象引發(fā)了我們的思考：角的度量，本質(zhì)是什么？

二、角的度量，本質(zhì)是什么？

先看角的定義。角的定義有兩種。一種是靜態(tài)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫作角的邊;另一種是動(dòng)態(tài)定義：由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形叫作角，射線的端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn)，起始位置的射線叫作角的始邊，終止位置的射線叫作角的終邊。教學(xué)中，大多數(shù)教師只關(guān)注了角的靜態(tài)定義，而忽略了動(dòng)態(tài)定義。

再看度量的本質(zhì)。度量是將事物的屬性量化，賦予事物一個(gè)數(shù)，從而可以在同一維度上比較事物。換句話說(shuō)，度量是指出某個(gè)物體具有多少個(gè)單位的某種屬性。度量角就是用一種統(tǒng)一的度量單位作為標(biāo)準(zhǔn)，去對(duì)某個(gè)角進(jìn)行比較得出的一種數(shù)量，是對(duì)角的大小的一種描述。

其實(shí)，角的度量是指度量角的大小，也就是度量?jī)蓷l邊張開的程度。學(xué)生在原來(lái)的認(rèn)知基礎(chǔ)上已經(jīng)會(huì)度量長(zhǎng)度和度量面積，而這里角的兩條邊的張開程度是一個(gè)新的度量對(duì)象，用原來(lái)的方法已經(jīng)行不通了，怎么辦？人們對(duì)此規(guī)定：將圓平均分為360份，將其中一份的大小命名為“1°”，再用這樣的“1°”角去度量，能得到幾個(gè)這樣的“1°”，這個(gè)角就是幾度。度，就是度量角的單位。有了度量的單位，那就需要度量的工具，于是又有了專門測(cè)量角的工具——量角器。

三、角的度量，還有其他方法嗎？

除了教材中的角度制測(cè)量角的大小，還有另外三種度量角的方法。

一是弧度制。用弧長(zhǎng)與半徑之比度量對(duì)應(yīng)圓心角角度的方式，叫作弧度制。等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角。同一個(gè)角，既可以用角度制表述，也可以用弧度制表述，它們之間可以換算，換算公式為：

二是百分制。此制度是法國(guó)創(chuàng)立米制時(shí)提出的，但未能得到推行。

三是密位制。把一圓周分成6000等份，一等份就是1密位的弧，1密位的弧對(duì)應(yīng)的就是1密位的角。密位制比較精確，所以廣泛地運(yùn)用于軍事中。

對(duì)比四種不同的度量方法，不難發(fā)現(xiàn)度量的共同點(diǎn)：先確定度量的標(biāo)準(zhǔn)單位，再累加有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位，最后所得到的對(duì)應(yīng)數(shù)值便是度量的結(jié)果。而每一種度量單位都會(huì)形成一個(gè)體系。如長(zhǎng)度單位，基本單位就是米，當(dāng)度量一個(gè)物體用米太小時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生新的更大的度量單位;而當(dāng)度量一個(gè)物體用米太大時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生新的更小的度量單位。新單位的產(chǎn)生，是基于單位與單位之間的關(guān)系，也就是進(jìn)率，比如1千米=1000米、1分米=10厘米等。

國(guó)際單位制（SI）中包括長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、溫度、電流、發(fā)光強(qiáng)度、物質(zhì)的量七個(gè)基本單位，在有了基本單位后，還有輔助單位和導(dǎo)出單位。無(wú)論是基本單位、輔助單位，還是導(dǎo)出單位，都是數(shù)學(xué)世界內(nèi)部和諧的結(jié)果，能廣泛地為人類運(yùn)用，并且在使用過(guò)程中簡(jiǎn)單易操作。

因此，在度量物體時(shí)，具體選擇哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，就需要根據(jù)物體的具體情況來(lái)定。這就需要自覺地感受和擁有使用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的度量意識(shí)。

四、角的度量，究竟該怎么教學(xué)？

基于以上的認(rèn)識(shí)，我進(jìn)行了創(chuàng)造性的教學(xué)嘗試。

先把與0刻度線重合的那條邊命名為起點(diǎn)邊，再旋轉(zhuǎn)另一條邊，旋轉(zhuǎn)的那條邊所在的位置就決定了角的大小。因此，旋轉(zhuǎn)后的那條邊所對(duì)應(yīng)的量角器上的數(shù)值，便是度量的結(jié)果。

如圖4-1，是從內(nèi)圈開始旋轉(zhuǎn)，就要看內(nèi)圈的刻度，最后停在了70°的位置;如圖4-2，是從外圈開始旋轉(zhuǎn)，就要看外圈的度數(shù)，最后停在了110°的位置。

從知識(shí)技能上來(lái)看，學(xué)生就能很好地區(qū)分內(nèi)圈和外圈，因?yàn)榻且呀?jīng)不是靜止的模樣，而是經(jīng)歷了動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)。

有意思的是，學(xué)生還創(chuàng)編了用量角器度量角的兒歌：先定起點(diǎn)邊，再定終點(diǎn)邊。從里旋轉(zhuǎn)看內(nèi)圈， 從外旋轉(zhuǎn)看外圈。不要內(nèi)圈外圈傻傻不分辨。

五、經(jīng)歷度量五部曲，培養(yǎng)度量意識(shí)

當(dāng)學(xué)生掌握了用量角器度量角的方法后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考用量角器量角和用直尺測(cè)量長(zhǎng)度的相同或不同之處：

一是都有標(biāo)準(zhǔn)，直尺是以“1厘米”或“1分米”等單位長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行累加，而量角器是以“1°”為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行累加。

二是都有刻度，或者說(shuō)是數(shù)值。從度量的本質(zhì)上來(lái)講，度量就是將事物的屬性量化，賦予其一個(gè)數(shù)。而度量工具上的數(shù)值，正是為了方便得到具體的數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)在同一維度上比較事物。

三是都借助了度量工具。量角度借助了量角器，量長(zhǎng)度借助了直尺，它們都屬于工具度量。而不同的度量工具，都有自己不同的度量方法，正確使用度量工具，才能獲得正確的度量結(jié)果。比如量角器內(nèi)圈和外圈的數(shù)值要分清，直尺也要注意測(cè)量起點(diǎn)等。

經(jīng)過(guò)這樣的對(duì)比溝通，學(xué)生明白了：原來(lái)我們的工具度量都要經(jīng)歷相同的一般流程，即明確度量對(duì)象——建立度量標(biāo)準(zhǔn)——發(fā)明度量工具——正確使用度量工具——獲得一個(gè)具體數(shù)值。這樣，學(xué)生在生活中遇到其他需要度量的事物時(shí)，就會(huì)調(diào)動(dòng)這節(jié)課所獲得的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題。這就把度量技能教學(xué)的層次上升到了度量意識(shí)的培養(yǎng)。

由于打通了度量的本質(zhì)“關(guān)節(jié)”，再回到用直尺度量角時(shí)，學(xué)生就能夠知道：在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，用直尺也能度量角的度數(shù)，但那又是一套新的度量標(biāo)準(zhǔn)的建立（弧度制）。

經(jīng)過(guò)對(duì)“角的度量”與“度量本質(zhì)”的深入思考，能夠發(fā)現(xiàn)，從知識(shí)本質(zhì)入手對(duì)教學(xué)對(duì)象進(jìn)行思考，才能真正找到知識(shí)背后的邏輯體系，更好地幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化的知識(shí)系統(tǒng)，打通學(xué)習(xí)的脈絡(luò)，學(xué)生才能更好地去用所學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題，教師才能從度量技能的教學(xué)上升到度量意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)。

（責(zé)編 金 鈴）