黃淵

【摘 要】 本文以給藥方案制定問題為例，闡述了應(yīng)用Lingo軟件求解非線性曲線擬合，無需初始值，彌補了Matlab軟件的不足，是求解非線性曲線擬合的一種比較好的方法。

【關(guān)鍵詞】 Lingo軟件;非線性曲線擬合;Matlab軟件

一、非線性曲線擬合的概念

假設(shè)已知經(jīng)驗公式（這里b和x均可為向量），要求根據(jù)一批有誤差的數(shù)據(jù)0，1，2，…，n，確定參數(shù)b。這樣的問題稱為曲線擬合，其基本原理是最小二乘法，即求b使得均方誤差

達到最小。如果關(guān)于b是非線性函數(shù)，那么稱這樣的曲線擬合為非線性曲線擬合。

二、非線性曲線擬合的軟件實現(xiàn)

對于非線性曲線擬合，數(shù)學(xué)軟件Matlab提供了nlinfit函數(shù)，它的調(diào)用格式為：

a=nlinfit（x，y，fun，b0）

其中，b0為待定參數(shù)b的初始值，其他的含義參見文獻[1]第71頁。關(guān)于初始值，一般要根據(jù)函數(shù)模型的數(shù)學(xué)意義和實際意義來猜測b0，這往往是比較困難的事，而且大部分數(shù)學(xué)建模教材通常直接給出初始值，不會解釋初始值是怎么來的。所以筆者在給大專生講授此內(nèi)容時也直接給出初始值，但學(xué)生不易接受。

由于非線性曲線擬合實際上是一個無約束優(yōu)化問題，即

決策變量是擬合函數(shù)含有的待定參數(shù)b，因此可以用Lingo軟件來解決。下面舉一個例子。

例：給藥方案制定問題，詳細介紹參見文獻[2]第145頁。

模型假設(shè)：

[1]機體看作一個房室。

[2]藥物進入機體到分布均勻所需的時間不計。

[3]藥物排出速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù)。

[4]血藥容積為v，t=0時注射劑量為d，則t=0，血藥濃度為。

由假設(shè)[3]得：，由假設(shè)[4]得。解微分方程：得（其中d=300mg）。

下面通過非線性擬合求出參數(shù)。

在Lingo軟件中輸入以下程序：

model：

sets：

gh/1.9/：t，c;

endsets

data：

t=0.25，0.5，1，1.5，2，3，4，6，8;

c=19.21，18.15，15.36，14.10，12.89，9.32，7.45，5.24，3.01;

enddata

min=@sum（gh：（（（300/a1）*@exp（-a2*t））-c）^2）;

end

運行程序得最優(yōu)值為1.065887，即誤差為1.06589，a1=14.82116，。由此得到擬合函數(shù)。

在Matlab軟件中輸入以下程序：

>>t=[0.25，0.5，1，1.5，2，3，4，6，8];

c=[19.21，18.15，15.36，14.10，12.89，9.32，7.45，5.24，3.01];

f=@（t）（300/14.82116）.*exp（-0.24197.*t）;

plot（t（1：9），c（1：9），'r*'，[0.25：0.1：8]，f（[0.25：0.1：8]），'k'）

運行程序，得到散點圖和擬合曲線圖如下：

三、制定給藥方案

假設(shè)：

每次注射劑量D，間隔時間。

血藥濃度應(yīng)。

初次劑量應(yīng)加大。

給藥方案記為：，則：

將代入計算得：

。

故可制定給藥方案：

D0=370.5mg，D=222.3mg，t=3.8h，

即首次注射mg，其余每次注射mg，注射的間隔時間為h。

用Lingo軟件求解非線性曲線擬合，不需要給定初始值，彌補了Matlab軟件的不足，同時，程序簡單，結(jié)果可靠，是求解非線性曲線擬合的一種比較好的方法，但是Lingo軟件不會作圖，無法展示散點圖和擬合曲線圖，此時可借助Matlab軟件來解決。綜上所述，對于求解非線性曲線擬合，最好將Lingo軟件與Matlab軟件兩者結(jié)合起來使用，各取所長。

【參考文獻】

[1]章紹輝.數(shù)學(xué)建模[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]劉保東，宿潔，陳建良.數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)教程[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3]袁新生，邵大宏，郁時煉.LINGO和Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007.