王玨，童立紅，金立，徐長(zhǎng)節(jié),3

(1. 華東交通大學(xué) 江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330013；2. 浙江杭海城際鐵路有限公司，浙江 嘉興 314000；3. 浙江大學(xué) 濱海和城市巖土研究中心，杭州 310058)

在Terzaghi固結(jié)理論中，土體被處理為線彈性模型，而流變特性是軟土的一種重要的工程特性[1]。因此，考慮軟黏土的流變特性，將土體視為黏彈性介質(zhì)通常更符合實(shí)際工程[2]。Taylor等[3]首先引入Kelvin模型來(lái)描述土骨架的黏彈性變形；Tan[4]基于Maxwell模型對(duì)受側(cè)限土體的固結(jié)和滯流進(jìn)行了研究。此后，金問(wèn)魯?shù)萚5]提出了固結(jié)方程的一個(gè)近似解法，并給出了各種條件下簡(jiǎn)單問(wèn)題的解答；趙維炳[6]基于廣義Voigt模型，推導(dǎo)了飽和土體一維固結(jié)問(wèn)題的普遍理論解答；Xie等[7-8]引入Merchant模型及四元件模型到固結(jié)理論中，分析了軟黏土的固結(jié)特性；蔡袁強(qiáng)等[9]求解了任意荷載下成層粘彈性地基一維變形問(wèn)題。然而，上述經(jīng)典流變模型不能很好地與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合[10]，主要是由于整數(shù)階微分算子的性質(zhì)決定了經(jīng)典流變模型的核函數(shù)通常是指數(shù)函數(shù)的組合，欲精確描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，常常不得不取消高階的微分項(xiàng)或者以降低本構(gòu)模型的應(yīng)用范圍為代價(jià)[11]。

Gement[12]首先提出了黏彈性材料的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型，而后一些學(xué)者將其引入到固結(jié)理論中，并指出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)流變模型可以有效克服經(jīng)典模型的缺點(diǎn)。Koeller[13]用基于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的彈壺元件替換牛頓黏壺，研究分析了多種模型的流變特性；孫海忠等[14]采用含分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的Kelvin模型對(duì)珠江三角洲南沙地區(qū)典型軟土的流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到很好的結(jié)果；Yin等[15]對(duì)分?jǐn)?shù)階軟土蠕變過(guò)程中的力學(xué)性能進(jìn)行了系統(tǒng)的研究；汪磊等[16]基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論引入Kelvin-Voigt模型，獲得了任意荷載情況下一維固結(jié)問(wèn)題的半解析解；劉忠玉等[17]求得了恒載下基于分?jǐn)?shù)階Kelvin模型飽和軟黏土一維固結(jié)理論解，并通過(guò)對(duì)比一維流變固結(jié)試驗(yàn)曲線及整數(shù)階模型理論曲線，指出基于分?jǐn)?shù)階Kelvin模型模擬的孔壓消散曲線更接近試驗(yàn)曲線。

另一方面，實(shí)際工程中土體的邊界往往是處于透水與不透水之間的一種中間狀態(tài)[18]。蔡袁強(qiáng)等[19]、汪磊等[20]研究了半透水邊界條件下一維固結(jié)問(wèn)題。但是半透水邊界計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，且不能嚴(yán)格滿足初始條件，限制了土體固結(jié)方程解的適用性[21]?；诖耍穱?guó)雄等[18]提出了一個(gè)從不透水到透水的雙面不對(duì)稱連續(xù)排水邊界。目前，關(guān)于變荷載、連續(xù)排水邊界及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型耦合的一維固結(jié)理論分析很少見(jiàn)諸于文獻(xiàn)。筆者針對(duì)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的彈壺元件修正Kelvin模型黏彈性地基，引入連續(xù)排水邊界條件，推導(dǎo)了任意荷載下連續(xù)排水邊界分?jǐn)?shù)階黏彈性地基一維固結(jié)方程的半解析解，并分析了相關(guān)參數(shù)對(duì)軟黏土固結(jié)沉降特性的影響。

1 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)修正Kelvin模型

在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)流變模型中運(yùn)用最為普遍的是Riemann-Liouville(R-L)型分?jǐn)?shù)階微積分算子理論[16]，但R-L分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)在初始點(diǎn)處無(wú)物理意義，而Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)則克服了這個(gè)缺點(diǎn)，其定義為[17]

(1)

Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的Laplace變換為

(2)

用基于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義的彈壺元件[13]替換經(jīng)典Kelvin模型中的牛頓黏壺得到修正的Kelvin模型，如圖1，其微分型本構(gòu)方程為

(3)

式中：σ′(z,t)為深度z處t時(shí)刻相對(duì)于初始有效應(yīng)力的增量(簡(jiǎn)稱有效應(yīng)力)；ε(z,t)為相應(yīng)的應(yīng)變；E為彈性模量；F=η/E，為黏彈性體的延遲時(shí)間；η為黏滯系數(shù)。當(dāng)η=0時(shí)，即為Terzaghi一維固結(jié)理論的彈性模型。當(dāng)α=1時(shí)，該模型退化為經(jīng)典的Kelvin模型；當(dāng)α=0時(shí)，可退化為兩個(gè)彈簧元件并聯(lián)的線彈性模型。在實(shí)際工程計(jì)算中，可采取擬合土樣固結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法得到α的值。

圖1 修正的Kelvin模型

2 流變固結(jié)方程的建立及求解

任意荷載下連續(xù)排水邊界條件土體固結(jié)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示。圖中p(t)為隨時(shí)間變化的任意荷載；H為土層厚度；kv為滲透系數(shù)；Cv為固結(jié)系數(shù)。假設(shè)土體完全飽和，孔隙水以及土顆粒都不可壓縮，且僅發(fā)生豎向滲流和變形。以修正Kelvin模型(即式(3))描述土體的變形，假定滲流符合Darcy定律，且滲透系數(shù)kv為常數(shù)。

圖2 土體固結(jié)模型示意圖

根據(jù)有效應(yīng)力原理可得土體的有效應(yīng)力為

σ′(z,t)=p(t)-u(z,t)

(4)

式中：u(z,t)為超孔隙水壓力。

土體的一維固結(jié)微分方程可表示為

(5)

式中：γw為水的容重。

將式(4)代入式(5)進(jìn)行Laplace變換可得

(6)

(7)

聯(lián)合式(6)、式(7)可得流變固結(jié)方程

(8)

式中：Cv=kvE/γw，為固結(jié)系數(shù)。

式(8)的初始條件以及邊界條件為

式中：b、c為透水性影響因子，可通過(guò)試驗(yàn)?zāi)M或工程實(shí)測(cè)反演得出。當(dāng)b、c趨于無(wú)窮大時(shí)，即為完全透水邊界，當(dāng)b、c趨于0時(shí)，即為不透水邊界。

將式(9)代入式(8)，可化簡(jiǎn)為

(12)

式中：β=s/[Cv(Fαsα+1)]。對(duì)于定解條件式(12)，可設(shè)解的形式為

(13)

將式(14)、式(15)代入式(13)可得任意載荷下有效應(yīng)力的通解

(16)

連續(xù)排水邊界下分?jǐn)?shù)階黏彈性一維流變固結(jié)理論沉降量計(jì)算為

(17)

將式(17)進(jìn)行Laplace變換可得

(18)

將式(7)代入式(18)可得

(19)

方程(19)即是所要計(jì)算的沉降變形。

3 算例驗(yàn)證及參數(shù)分析

對(duì)于數(shù)值Laplace逆變換，目前,已提出多種反演方法，經(jīng)過(guò)對(duì)比分析，采用Durbin[22]基于Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)的Laplace數(shù)值逆變換求解式

(20)

式中：a、T1(T1>tmax)為求解參數(shù)；tmax為最大計(jì)算時(shí)間；N為級(jí)數(shù)截取項(xiàng)數(shù)；i為虛數(shù)單位。

3.1 算例驗(yàn)證

圖3 z=2.5 m處有效應(yīng)力比隨時(shí)間的變化

3.2 參數(shù)分析

為進(jìn)一步考察推導(dǎo)出的任意荷載下連續(xù)排水邊界分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性地基固結(jié)沉降解的適用性，并分析相關(guān)參數(shù)對(duì)其固結(jié)沉降的影響，采用上述算例中的土體力學(xué)參數(shù)，以常見(jiàn)的梯形循環(huán)荷載及施工荷載為例進(jìn)行討論。

3.2.1 梯形循環(huán)荷載 梯形循環(huán)載荷如圖4所示，其傅里葉級(jí)數(shù)形式為

(21)

圖4 梯形循環(huán)荷載

將式(21)進(jìn)行Laplace變換可得

(22)

式中：ω=π/T，T為循環(huán)荷載的半周期；λ為梯形循環(huán)載荷的加載系數(shù)，0<λ≤π/2。當(dāng)λ→0時(shí)可退化為矩形循環(huán)載荷，當(dāng)λ=π/2時(shí)可退化為三角形循環(huán)載荷。將式(22)代入式(19)即可得到梯形循環(huán)荷載下連續(xù)排水邊界分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性地基一維固結(jié)沉降解。取分?jǐn)?shù)階次α=0.1、p0=1 MPa，半周期T=40 d，加載系數(shù)λ=π/4。

1)透水性影響因子b、c

圖5 不同b和c時(shí)沉降變化曲線(α=0.1)

圖5為梯形循環(huán)載荷下b、c取不同值時(shí)對(duì)黏彈性地基固結(jié)沉降的影響。由圖5可知，當(dāng)b、c都等于0時(shí)，土層上下邊界都不排水，外荷載全部轉(zhuǎn)化為孔隙水壓力，固結(jié)沉降量恒為0；在循環(huán)荷載作用下，地基沉降呈振蕩增長(zhǎng)，但并非隨荷載的變化同時(shí)發(fā)生，而是滯后于循環(huán)荷載的變化；影響因子b、c越大時(shí)，即邊界透水性越好時(shí)，固結(jié)沉降速率越快，沉降達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短，并且其振蕩幅值隨著b、c的增大而增大。實(shí)際工程中，針對(duì)不同邊界透水性的工況可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)b和c來(lái)近似模擬實(shí)際土層的非對(duì)稱排水固結(jié)特性。

2)分?jǐn)?shù)階次α

透水性影響因子b=0.03/d、c=0.02/d時(shí)，不同分?jǐn)?shù)階次α對(duì)固結(jié)沉降的影響如圖6所示。α描述了材料的多種流動(dòng)狀態(tài)性質(zhì)，具有一定的物理意義[16]。從圖6可以看出，當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，α越大，固結(jié)沉降發(fā)展速率越慢，但隨著時(shí)間延長(zhǎng)，情況則正好相反，即α越小，固結(jié)沉降越慢，這與文獻(xiàn)[17]恒載條件下的規(guī)律一致。由此可見(jiàn)，最終固結(jié)沉降達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間隨著α的增大而縮短。另外，隨著分?jǐn)?shù)階次α的增大，理論沉降曲線的振蕩幅值明顯減小，土體對(duì)外加荷載變化的敏感程度減小。

圖6 不同分?jǐn)?shù)階次α的沉降變化曲線

3)半周期T及加載系數(shù)λ

圖7、圖8分別為透水性影響因子b=0.03/d、c=0.02/d時(shí)，梯形循環(huán)荷載的半周期T及加載系數(shù)λ對(duì)固結(jié)沉降的影響，λ=π/2時(shí)，即為三角形循環(huán)載荷。分析圖7可知，梯形循環(huán)荷載的周期越大，分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土體一維固結(jié)沉降發(fā)展變化越明顯，振蕩幅值越大。從圖8可以看出，加載系數(shù)λ越大，即梯形荷載加載階段速率越慢，在固結(jié)初期，其沉降量反而越大，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，加載系數(shù)λ越大，沉降發(fā)展速率越慢，波動(dòng)性也越小。

圖7 不同半周期T的沉降變化曲線(α=0.1)

圖8 不同加載系數(shù)λ的沉降變化曲線(α=0.1)

4)彈性模量E及黏彈性體的延遲時(shí)間F

考察土體力學(xué)參數(shù)彈性模量E及黏彈性體的延遲時(shí)間F對(duì)固結(jié)沉降的影響，結(jié)果如圖9、圖10所示。分析圖9可知，由于彈性模量直接影響土體的壓縮性，彈性模量越大，土體越難被壓縮，最終沉降量越小，固結(jié)沉降達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短，圖中體現(xiàn)為隨著彈性模量E的增大沉降變化曲線越來(lái)越早的趨于穩(wěn)定波動(dòng)狀態(tài)。此外，彈性模量E越大，循環(huán)荷載下固結(jié)沉降的振蕩幅值越小。從圖10可以看出，由于邊界透水性較差，當(dāng)其他土體參數(shù)不變時(shí)，黏彈性體的延遲時(shí)間F對(duì)固結(jié)沉降的影響主要體現(xiàn)在固結(jié)中、后期，黏彈性體的延遲時(shí)間F越大，即黏滯系數(shù)η越大，固結(jié)沉降速率越慢，循環(huán)荷載下分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土體達(dá)到最終沉降穩(wěn)定所需的時(shí)間越長(zhǎng)。

圖9 不同彈性模量E的沉降變化曲線(α=0.1)

圖10 不同黏彈性體的延遲時(shí)間F的沉降變化曲線(α=0.1)

3.2.2 施工荷載 如圖11所示，施工荷載形式可表示為

(23)

式中：D為施工期加載時(shí)間。

對(duì)式(23)作Laplace變換得

(24)

圖11 施工荷載

取b=0.03/d，c=0.02/d，p0=1 MPa，分析施工荷載下分?jǐn)?shù)階次α及施工期加載時(shí)間D對(duì)固結(jié)沉降的影響，如圖12、圖13所示。

由圖12可知，在固結(jié)前期，施工荷載下分?jǐn)?shù)階黏彈性地基固結(jié)沉降的發(fā)展速率隨著α的增大而減慢，而在固結(jié)后期，α增大使固結(jié)沉降增長(zhǎng)加快，達(dá)到最終沉降量的時(shí)間減短。從圖13可以看出，其他參數(shù)不變時(shí)，施工期加載時(shí)間D越大，即施工速率越慢，固結(jié)沉降變化越慢，但由于最終荷載不變，施工期結(jié)束后，沉降變化曲線最終一致。

圖12 不同分?jǐn)?shù)階次α的沉降變化曲線(D=30 d)

圖13 不同施工期加載時(shí)間D的沉降變化曲線(α=0.1)

4 結(jié) 論

基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的彈壺元件修正Kelvin模型，引入連續(xù)排水邊界條件，利用Laplace變換求得考慮連續(xù)排水邊界條件時(shí)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性地基在任意隨時(shí)間變化的荷載下有效應(yīng)力及沉降的解析解，運(yùn)用Laplace逆變換得到其時(shí)域內(nèi)的數(shù)值解。通過(guò)系統(tǒng)的算例分析，可以得到如下結(jié)論：

1)循環(huán)荷載作用下，黏土地基的沉降變化呈振蕩增長(zhǎng)，但滯后于荷載的變化，且振蕩幅值隨著邊界透水性的增大而增大。

2)分?jǐn)?shù)階次α增大，使固結(jié)前期沉降發(fā)展速率減慢，但在固結(jié)后期，α值對(duì)沉降的影響正好相反，最終固結(jié)沉降達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間隨著α的增大而縮短。另外，隨著分?jǐn)?shù)階次α的增大，循環(huán)荷載下沉降變化曲線的振蕩幅值明顯減小。

3)分?jǐn)?shù)階黏彈性地基一維固結(jié)沉降的發(fā)展還與土體力學(xué)參數(shù)及荷載參數(shù)相關(guān)。彈性模量E越大，最終沉降量越小，固結(jié)沉降達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短，且循環(huán)荷載下固結(jié)沉降的振蕩幅值越小；黏彈性體的延遲時(shí)間F越大，固結(jié)沉降變化速率越慢。