徐雅琳，陳 豪，蔡南蓮

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

指數(shù)分布的無記憶性和良好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，使得它在產(chǎn)品的可靠性分析、運籌學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛使用，如文獻[1]對指數(shù)分布的性質(zhì)和應(yīng)用進行了較系統(tǒng)的研究。同時，由于成比例故障率(proportional hazard rate,PHR)模型可化為指數(shù)分布模型來研究，韋布爾分布模型是PHR模型的特殊情形，從而PHR模型和韋布爾分布模型的應(yīng)用及研究也受到學(xué)者們越來越多的關(guān)注，如文獻[2-3]在部件壽命服從PHR模型或韋布爾分布模型的前提下，討論了并聯(lián)系統(tǒng)的隨機比較性質(zhì)。

次序統(tǒng)計量是統(tǒng)計推斷、拍賣理論、可靠性理論等領(lǐng)域很重要的概念，有著廣泛的應(yīng)用。在可靠性理論中，k/n系統(tǒng)是指n個部件組成的系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)n個部件中至少有k個部件正常工作，系統(tǒng)才能正常工作。特別地，1/n系統(tǒng)、n/n系統(tǒng)分別對應(yīng)著并聯(lián)系統(tǒng)和串聯(lián)系統(tǒng)。設(shè)第i個部件的壽命為隨機變量Xi(i=1,…,n)。X1,…,Xn的次序統(tǒng)計量為X1:n≤…≤Xn:n，則并聯(lián)系統(tǒng)、串聯(lián)系統(tǒng)的壽命分別為Xn:n和X1:n，k/n系統(tǒng)的壽命為Xn-k+1:n。近年來，極值次序統(tǒng)計量的隨機比較性質(zhì)的研究已成為學(xué)界研究的熱點之一，如：Boland 等[4]研究了兩個獨立的不同指數(shù)分布的部件組成的并聯(lián)系統(tǒng)的故障率性質(zhì)，并得到故障率的上界；Khaledi等[5]進一步研究了多個指數(shù)部件并聯(lián)系統(tǒng)的情形，得到了n個非齊次指數(shù)分布并聯(lián)系統(tǒng)的故障率的上界，該結(jié)論優(yōu)于文獻[4]得到的；Zhao等[6]討論了具有不同參數(shù)指數(shù)分布的兩個部件的并聯(lián)系統(tǒng)的故障率序、反故障率序、似然比序意義下的隨機比較性質(zhì)。隨后，Balakrishnan等[7]對近年來在部件壽命服從獨立指數(shù)分布情形下有關(guān)次序統(tǒng)計量的隨機比較性質(zhì)的研究進行了較全面的綜述。

1 定義

下面介紹隨機序、PHR模型及向量超優(yōu)序的定義，更多的性質(zhì)可參閱文獻[8-9]。文中均假設(shè)隨機變量非負，分布函數(shù)是絕對連續(xù)的，具有概率密度函數(shù)；“單調(diào)增加”均指“單調(diào)不降”，“單調(diào)減少”均指“單調(diào)不增”。

上述隨機序有如下關(guān)系:X≤lrY?X≤hrY?X≤stY；X≤lrY?X≤rhY?X≤stY(見文獻[8])。

2 引理

在證明主要結(jié)果之前，先介紹一些引理。

引理1 對于任意x∈R+， 函數(shù)(1-e-x)/x和xe-x/(1-e-x)關(guān)于x單調(diào)減少。

證明見文獻[6]引理3.1。

證明見文獻[8]定理1。

引理3 設(shè)X、Y是兩個隨機變量，g(x)是單調(diào)增加函數(shù)，則有：1)設(shè)X≤stY，則g(X)≤stg(Y)；2)設(shè)X≤hrY，則g(X)≤hrg(Y)；3)設(shè)X≤rhY，則g(X)≤rhg(Y)；4)設(shè)X≤lrY，則g(X)≤lrg(Y)。

證明見文獻[8]定理1。

引理4 設(shè)λ1≤λ≤λ2，λ1、λ2、λ均為大于零的常數(shù)，φ(t)=[λ1e-λ1t/(1-e-λ1t)+λe-λt/(1-e-λt)]/[λ2e-λ2t/(1-e-λ2t)+λe-λt/(1-e-λt)]，t>0，則φ(t)關(guān)于t單調(diào)增加。

證明兩邊求導(dǎo)得：φ′(t)[λ2e-λ2t/(1-e-λ2t)+λe-λt/(1-e-λt)]2=[-λ12e-λ1t/((1-e-λ1t)2)-λ2e-λt/((1-e-λt)2)]×[λ2e-λ2t/(1-e-λ2t)+λe-λt/(1-e-λt)]-[-λ22e-λ2t/((1-e-λ2t)2)-λ2e-λt/((1-e-λt)2)]×[λ1e-λ1t/(1-e-λ1t)+λe-λt/(1-e-λt)]。將等式展開得：φ′(t)[λ2e-λ2t/(1-e-λ2t)+λe-λt/(1-e-λt)]2=[-λ12λ2e-(λ1+λ2)t/((1-e-λ1t)2(1-e-λ2t))-λλ12e-(λ+λ1)t/((1-e-λ1t)2(1-e-λt))-λ2λ2e-(λ+λ2)t/((1-e-λt)2(1-e-λ2t))-λ3e-2λt/((1-e-λt)3)]-[-λ22λ1e-(λ1+λ2)t/((1-e-λ2t)2(1-e-λ1t))-λλ22e-(λ+λ2)t/((1-e-λ2t)2(1-e-λt))-λ1λ2e-(λ+λ1)t/((1-e-λt)2(1-e-λ1t))-λ3e-2λt/((1-e-λt)3)]。整理得：

φ′(t)[λ2e-λ2t/(1-e-λ2t)+λe-λt/(1-e-λt)]2=λ1λ2e-(λ1+λ2)t/((1-e-λ1t)(1-e-λ2t))[λ2/(1-

e-λ2t)-λ1/(1-e-λ1t)]+λλ2e-(λ+λ2)t/((1-e-λt)(1-e-λ2t))[λ2/(1-e-λ2t)-λ/(1-e-λt)]+

λλ1e-(λ+λ1)t/((1-e-λt)(1-e-λ1t))[λ/(1-e-λt)-λ1/(1-e-λ1t)]=A+B，

(1)

其中：A=λ1λ2e-(λ1+λ2)t/((1-e-λ1t)(1-e-λ2t))[λ2/(1-e-λ2t)-λ1/(1-e-λ1t)]，B=λλ2e-(λ+λ2)t/((1-e-λt)(1-e-λ2t))[λ2/(1-e-λ2t)-λ/(1-e-λt)]+λλ1e-(λ+λ1)t/((1-e-λt)(1-e-λ1t))[λ/(1-e-λt)-λ1/(1-e-λ1t)]。

命題1[6]設(shè)X1與X2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ1和λ的指數(shù)分布，Y1與Y2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ2和λ的指數(shù)分布。令X2:2=max(X1,X2)，Y2:2=max(Y1,Y2)。設(shè)λ≥max(λ1,λ2)，則X2:2≥lrY2:2?λ1≤λ2。

命題2[6]設(shè)X1與X2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ1和λ2的指數(shù)分布，Y1與Y2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ1*和λ2*的指數(shù)分布。令X2:2=max(X1,X2)，Y2:2=max(Y1,Y2)。設(shè)min(λ1,λ2)≤min(λ1*,λ2*)≤max(λ1*,λ2*)≤max(λ1,λ2)，則：

本文假設(shè)X1與X2相互獨立，Y1與Y2相互獨立。令X2:2=max(X1,X2)，Y2:2=max(Y1,Y2)，根據(jù)λ、λ1與λ2的大小關(guān)系，討論X2:2與Y2:2在隨機序、似然比序、故障率序、反故障率序下的隨機比較性質(zhì)，得到定理1是上述已有命題1的補充，定理2及定理3是命題2的補充。

3 主要結(jié)果

3.1 指數(shù)分布情形

本節(jié)考慮服從指數(shù)分布的兩個部件組成的并聯(lián)系統(tǒng)，當(dāng)其中一個部件的參數(shù)固定，另一個部件的參數(shù)變化時，并聯(lián)系統(tǒng)壽命的隨機序性質(zhì)。

定理1 設(shè)X1、X2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ1和λ的指數(shù)分布，Y1、Y2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ2和λ的指數(shù)分布，λ1,λ2,λ>0且λ≥min(λ1,λ2)，則X2:2≥lrY2:2的充要條件是λ1≤λ2。

(2)

其中ο(t2)表示t2的高階無窮小。

同理，

(3)

由式(2)和式(3)得：1-λλ1t2+ο(t2)≥1-λλ2t2+ο(t2)，兩邊同除以t2得：-λλ1+o(t2)/t2≥-λλ2+o(t2)/t2，令t→0，得λλ1≤λλ2，即λ1≤λ2。

下面的命題3說明，定理1中如果條件λ≥min(λ1,λ2)不滿足，即λ

命題3 設(shè)X1、X2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ1和λ的指數(shù)分布，Y1、Y2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ2和λ的指數(shù)分布，λ1,λ2,λ>0。若λ

定理2 設(shè)X1、X2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ1和λ的指數(shù)分布，Y1、Y2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ2和λ的指數(shù)分布，λ1,λ2,λ>0。設(shè)λ≥min(λ1,λ2)，則下列條件等價：1)λ1≤λ2；2)X2:2≥lrY2:2；3)X2:2≥hrY2:2；4)X2:2≥rhY2:2；5)X2:2≥stY2:2。

證明由于X≤lrY?X≤hrY?X≤stY，X≤lrY?X≤rhY?X≤stY，且由定理1得1)?2)，故只需證5)?1)，1)?4)。

5)?1)：設(shè)X2:2≥stY2:2，要證λ1≤λ2。 與定理1必要性部分證法相同。

注1 定理2中，當(dāng)min(λ1,λ2)≤λ≤max(λ1,λ2)時，并不滿足文獻[6]定理3.4、定理4.3的條件，故定理2的結(jié)論是文獻[6]定理3.4、定理4.3的補充。

定理3 設(shè)X1、X2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ1和λ的指數(shù)分布，Y1、Y2相互獨立，分別服從參數(shù)為λ2和λ的指數(shù)分布。對于任意的λ>0，則下列條件等價：1)λ1≤λ2；2)X2:2≥rhY2:2；3)X2:2≥stY2:2。

證明因X≤rhY?X≤stY，只需證1)?2)，3)?1)。

3)?1)：設(shè)X2:2≥stY2:2，要證λ1≤λ2。證法與定理1必要性部分證法相同。

注2 定理3中，當(dāng)λ≤min(λ1,λ2)時，并不滿足文獻[6]定理3.4的條件，故定理3的結(jié)論是文獻[6]定理3.4的補充。

3.2 PHR模型情形

下面考慮部件分布服從PHR模型時，并聯(lián)系統(tǒng)壽命的隨機序性質(zhì)。

令U2:2=max(U1,U2)，因R(x)是單調(diào)增加函數(shù)，故

U2:2=max(R(X1),R(X2))=R(max(X1,X2))=R(X2:2)。

(4)

再次利用R(x)及R-1(x)是單調(diào)增加函數(shù)，通過引理3，將PHR模型轉(zhuǎn)化為已有指數(shù)分布的情形，得到定理4和定理5。

證明沿用上述的記號，令Ui=R(Xi)，Vi=R(Yi)。U1，U2分別服從參數(shù)為λ1和λ的指數(shù)分布，V1，V2分別服從參數(shù)為λ2和λ的指數(shù)分布。由式(4)得U2:2=R(X2:2)，V2:2=R(Y2:2)。

1)?2)：已知λ1≤λ2，要證X2:2≥lrY2:2。由定理2有：U2:2≥lrU2:2。因R-1(x)是單調(diào)增加函數(shù)，由引理3得R-1(U2:2)≥lrR-1(V2:2)，即X2:2≥lrY2:2。

2)?1)：已知X2:2≥lrY2:2，要證λ1≤λ2。因R(x)是單調(diào)增加函數(shù)，由引理3得U2:2=R(X2:2)≥lrR(Y2:2)=V2:2，再由定理2得λ1≤λ2， 故1)?2)。

同理可類似證明1)?3)?4)?5)。

注3 定理4中，當(dāng)min(λ1,λ2)≤λ≤max(λ1,λ2)時，并不滿足文獻[7]定理2.8的條件，且定理4給出的是使X2:2≥lrY2:2成立的充要條件，而已有文獻[7]定理2.8給出的是使X2:2≥lrY2:2成立的充分條件，故定理4是文獻[7]定理2.8的補充。

下面是部件服從韋布爾分布時的相應(yīng)結(jié)論。

推論1 設(shè)X1、X2相互獨立，服從相同的形狀參數(shù)α，尺度參數(shù)為λ1和λ的韋布爾分布，Y1、Y2相互獨立，服從相同的形狀參數(shù)α，尺度參數(shù)為λ2和λ的韋布爾分布，λ1,λ2,λ,α>0，假設(shè)λ≥min(λ1,λ2)，則下列條件等價：1)λ1≤λ2；2)X2:2≥lrY2:2；3)X2:2≥hrY2:2；4)X2:2≥rhY2:2；5)X2:2≥stY2:2。