丁愛平

摘要：學(xué)生的頭腦中藏著“沉默的問題”，這些問題是學(xué)生最真實(shí)、最隱秘的數(shù)學(xué)思考，是值得關(guān)注的教學(xué)資源。教師應(yīng)沉潛到兒童思維的深處，直面“沉默的問題”，暴露學(xué)生的真實(shí)思考;回顧“沉默的問題”，提升學(xué)生的思維品質(zhì);激揚(yáng)“沉默的問題”，促進(jìn)學(xué)生的自主發(fā)展。

關(guān)鍵詞：沉默的問題真實(shí)思考思維品質(zhì)自主發(fā)展

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，有一種數(shù)據(jù)叫“沉默的數(shù)據(jù)”，也叫“看不見的數(shù)據(jù)”，是指那些缺失的樣本、不容易被人們發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)。在很多情況下，“沉默的數(shù)據(jù)”恰恰是最為重要的參考依據(jù)。與之相類似，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有一種“沉默的問題”。

在教學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常存在一些不容易被教師發(fā)現(xiàn)的學(xué)生的問題，因?yàn)榈貌坏疥P(guān)注，或者來不及思考，有的學(xué)生就將其放在自己的學(xué)習(xí)“暗箱”中。這類問題，我們稱之為“沉默的問題”。它具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：一是兒童化，帶著鮮明的兒童特質(zhì);二是個(gè)性化，提出問題的角度與眾不同;三是潛在性，不易察覺、隱而未發(fā);四是非結(jié)構(gòu)化，是隨機(jī)生成的，呈散點(diǎn)狀分布。打開學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“暗箱”，關(guān)注“沉默的問題”，有利于教師洞見學(xué)生思維的最深處，發(fā)現(xiàn)新的學(xué)習(xí)素材和學(xué)習(xí)方式。

一、直面“沉默的問題”，暴露學(xué)生的真實(shí)思考

（一）甄別問題速抉擇，突出“快”和“準(zhǔn)”

在課堂教學(xué)中，學(xué)生的問題被“沉默”，很多時(shí)候是因?yàn)榻處熋鎸磳⑾矶鴣淼乃季S風(fēng)暴選擇了避讓。表面上看，似乎獲得了安全感，實(shí)則錯(cuò)失了讓學(xué)生經(jīng)歷思維激烈交鋒的珍貴的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。學(xué)生的問題只在一瞬間閃現(xiàn)，教師要快速抉擇：是否鎖定問題、引發(fā)思辨？

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊《認(rèn)識方程》一課，教材例2（見圖1）的右邊一幅圖，天平下面寫著“150”。

顯然，編者的意圖是學(xué)生通過觀察天平左邊的物體，寫出x+50=150，然后在若干式子的分類中揭示方程的含義（見圖2）。

試教時(shí)，我只出示了天平圖，讓學(xué)生自由寫式子。絕大多數(shù)學(xué)生寫的是x+50=150。小L等幾個(gè)學(xué)生寫的是x=100，他們覺得x+50=150更有道理，也就沒有舉手提問。不提問，不代表沒有問題。

“x=100”這個(gè)式子到底是不是方程，其實(shí)是有爭議的：一種觀點(diǎn)認(rèn)為它不是方程，因?yàn)樗]有讓未知數(shù)x與已知數(shù)建立加減乘除等的運(yùn)算關(guān)系;另一種觀點(diǎn)認(rèn)為它是一種特殊的方程，相當(dāng)于x×1=100，確實(shí)在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立了等量關(guān)系。曾有專家把形如x=100的式子稱為“不好的方程”。

面對這一問題不能避讓，因?yàn)樵诤罄m(xù)的“列方程解決實(shí)際問題”的學(xué)習(xí)中，還會(huì)出現(xiàn)x=12+24這樣的“方程”。

當(dāng)然，并非所有學(xué)生的問題都要在全班交流。如果與本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容關(guān)聯(lián)不大，或者一時(shí)半會(huì)兒根本解釋不清，容易引起負(fù)面強(qiáng)化，則不宜在課堂上濃墨重彩，可以私下跟學(xué)生交流。關(guān)注“沉默的問題”，要突出“快”和“準(zhǔn)”，捕捉寶貴的生成性學(xué)習(xí)資源。

（二）分析問題說真話，突出“容”和“賞”

當(dāng)有價(jià)值的問題被推上風(fēng)口浪尖后，思維的暴風(fēng)雨頃刻而至。接下來，教師應(yīng)抱著包容、欣賞的眼光組織學(xué)生開展思辨。

還是《認(rèn)識方程》這節(jié)課。當(dāng)我呈現(xiàn)“x=100”后，有學(xué)生質(zhì)疑：x=100這個(gè)式子是錯(cuò)的，天平的兩端明明有50克的砝碼，但是這個(gè)式子沒有寫進(jìn)去。小L認(rèn)為，天平兩端都有50克的砝碼，索性抵消掉，x=100可以表示兩邊物體質(zhì)量的大小關(guān)系。那么，x=100是不是方程？經(jīng)過辯論，很多學(xué)生贊同它是方程，只是這個(gè)方程“太瘦了”，是從方程x+50=150“減肥”來的，叫它“瘦子方程”。

相比于專家所說的“不好的方程”，我更喜歡學(xué)生命名的“瘦子方程”，因?yàn)樗又庇^、形象。方程就是在復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中尋找未知數(shù)與已知數(shù)之間的等量關(guān)系，有一些原始方程的結(jié)構(gòu)很豐富，利用等式的性質(zhì)通過一次次化簡，最終能求得方程的解。在總結(jié)這場辯論時(shí)，我充分肯定了學(xué)生的思考，并且指出：今天是第一次學(xué)習(xí)方程，方程的含義可不僅僅是“含有未知數(shù)的等式”這個(gè)形式上的意思，它強(qiáng)調(diào)一種等量、平衡的關(guān)系，順向思考，大家以后會(huì)在解決實(shí)際問題的過程中慢慢體會(huì)。

如果教師選擇屏蔽“沉默的問題”，課會(huì)上得非常順暢，但學(xué)生的頭腦中會(huì)藏著疑惑：“我怎么跟別人不一樣？錯(cuò)了嗎？”如果問題一次次地被忽視，學(xué)生喪失的將是探索的勇氣、學(xué)習(xí)的興趣、自我的發(fā)現(xiàn)，他們的頭腦也終將變成他人思想的“跑馬場”。每一個(gè)學(xué)生都渴望被關(guān)注、被寬容、被賞識，學(xué)生“沉默的問題”需要被激發(fā)、被盤活、被點(diǎn)燃。

二、回顧“沉默的問題”，提升學(xué)生的思維品質(zhì)

當(dāng)下有很多學(xué)生會(huì)提前學(xué)習(xí)，卻根本沒有時(shí)間停下來深入反思曾經(jīng)遇到的問題。很多問題尚未被深刻反思，就被下一輪接受性學(xué)習(xí)擠占。這樣的學(xué)習(xí)只能叫“在學(xué)習(xí)”，而不是“會(huì)學(xué)習(xí)”。這樣的學(xué)習(xí)下，學(xué)生很難擁有持久的學(xué)習(xí)力?；仡櫋俺聊膯栴}”，不是為了復(fù)習(xí)該問題的答案，而是引導(dǎo)學(xué)生站在學(xué)習(xí)的時(shí)間軸上尋找前后知識間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)反省、學(xué)會(huì)總結(jié)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

（一）專題回放，開展焦點(diǎn)式訪談

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有的“沉默的問題”雖然出自個(gè)別學(xué)生，但是具有挑戰(zhàn)性，單靠學(xué)生的獨(dú)立探究很難解決。這就需要教師設(shè)計(jì)專題回放，焦點(diǎn)式訪談，嘗試打開思維的結(jié)。

例如，某次家庭作業(yè)中有一道題：“李叔叔的養(yǎng)雞場今天一共收了260千克雞蛋，每15千克雞蛋裝一箱，可以裝多少箱？還剩多少千克雞蛋？”多數(shù)學(xué)生列式260÷15=17（箱）……5（千克），有幾個(gè)學(xué)生列式260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克）。

學(xué)生都知道260÷15=17（箱）……5（千克）一定是正確的，也在前一階段的學(xué)習(xí)中初步建立了模型：當(dāng)除數(shù)是兩位數(shù)的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)化成連續(xù)除以兩個(gè)一位數(shù)，這樣計(jì)算更簡便，如270÷18=270÷9÷2=15。但是，260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克），余數(shù)怎么變小了呢？計(jì)算過程沒問題，難道之前的規(guī)律有限定范圍，不能有余數(shù)？

我未做講解，而是布置了一個(gè)專題任務(wù)研究，讓學(xué)生用圖文解析的形式表達(dá)自己對這道題的理解，有一個(gè)“回爐”問題的過程。第二天，呈現(xiàn)學(xué)生的圖文解析（見圖3、圖4），請三個(gè)“小老師”講解。但是，依然有五個(gè)學(xué)生百思不得其解——雞蛋怎么變少了呢？

對新知識的理解是學(xué)習(xí)者的心智表征發(fā)生改變的結(jié)果，這種改變是根本性的。曾經(jīng)有一位專家說過，當(dāng)學(xué)生連續(xù)聽了三遍后依然不能理解，可以選擇暫時(shí)放棄。在學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者往往要經(jīng)歷沖突和干擾階段，經(jīng)歷思辨、連接、斷裂、交替、浮現(xiàn)、穩(wěn)定、調(diào)用等步驟。只有學(xué)習(xí)者才能煉制出與自身相容的特有意義。換句話說，學(xué)習(xí)者不是單純的學(xué)習(xí)“參與者”，而是他所學(xué)知識的“創(chuàng)造者”，別人永遠(yuǎn)無法替代他去學(xué)習(xí)或者一廂情愿地加快他學(xué)習(xí)的進(jìn)程。因此，我在第三個(gè)“小老師”講完后，選擇戛然而止：“不明白沒關(guān)系，等我們上五年級了再回來‘找雞蛋?！蔽鍌€(gè)學(xué)生的疑惑暫時(shí)擱置，歸于沉默。

（二）階段回顧，培養(yǎng)反省性思維

學(xué)完“小數(shù)除法”之后，全班重啟“找雞蛋”的回憶，發(fā)現(xiàn)：260÷15=17.333…，是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，260÷15=260÷5÷3=52÷3=17.333…，結(jié)果相等;當(dāng)年的余數(shù)并不是最終的計(jì)算結(jié)果，而是一個(gè)過程性的記錄，52÷3的余數(shù)是1，記錄的是之前按照5千克裝（260÷5），余下的1箱（5千克）。至此，當(dāng)初被“沉默”的問題再次展現(xiàn)，很多學(xué)生都感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是前后呼應(yīng)的。

再往后，學(xué)習(xí)了除法、分?jǐn)?shù)和比的聯(lián)系，還會(huì)再次重啟“找雞蛋”的回憶，也許又是一番別樣的學(xué)習(xí)感受。

回顧“沉默的問題”是一種學(xué)習(xí)策略，旨在引導(dǎo)學(xué)生在新一輪的數(shù)學(xué)思考中打開學(xué)習(xí)的“暗箱”，敞亮模糊的認(rèn)知，萃取數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，凝練數(shù)學(xué)思想方法，形成持久的學(xué)習(xí)力。經(jīng)常回顧曾經(jīng)的困惑，有利于培養(yǎng)學(xué)生的反省性思維。教師應(yīng)擺脫工具理性的思維方式，還給學(xué)生更多從容不迫地反思、聯(lián)想、琢磨的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的反省性思維，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

三、激揚(yáng)“沉默的問題”，促進(jìn)學(xué)生的自主發(fā)展

為什么有的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣越來越低迷？一個(gè)主要原因就是他們的心里隱藏著很多問題，無法獨(dú)立解決，又擔(dān)心自己的問題太膚淺，不好意思問師長。一個(gè)個(gè)“沉默的問題”逐漸銷聲匿跡，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性越來越差。教師要讓學(xué)生大膽地表達(dá)“沉默的問題”，煥發(fā)自主學(xué)習(xí)的精氣神，在學(xué)科智識、情感態(tài)度、價(jià)值觀等方面都有所發(fā)展。

（一）轉(zhuǎn)變主體地位，處理好“我回答”與“我問你”的關(guān)系

以單元練習(xí)設(shè)計(jì)為例。傳統(tǒng)意義上的一份單元練習(xí)一般是參照雙向細(xì)目表，按照7∶2∶1的題目難度分配設(shè)計(jì)的。結(jié)構(gòu)化的練習(xí)題設(shè)計(jì)是面向全體學(xué)生、以教師為主體的單方調(diào)控與統(tǒng)一操作，為教學(xué)質(zhì)量做必要的測查與評估，學(xué)生所做的是“我回答”。除此之外，還可以嘗試一種非結(jié)構(gòu)化的以學(xué)生的問題為中心的練習(xí)題設(shè)計(jì)，讓學(xué)生來說“我問你”，兩者互為補(bǔ)充。在學(xué)習(xí)的任何階段，都可以開展“我問你”的活動(dòng)。命題人是自主報(bào)名的學(xué)生，命題范圍是自己一直想不明白的、想要探究的問題，題量自由設(shè)定，測試對象是自主報(bào)名的學(xué)生。評價(jià)反饋和獎(jiǎng)懲措施都由命題人組織“親友團(tuán)”完成。

例如，學(xué)完平行四邊形、三角形、梯形的面積之后，學(xué)生出了一道練習(xí)題：方格紙上有一個(gè)長是6、寬是4的長方形，它是由一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化來的，那個(gè)圖形可能是什么樣子的？為什么要出這道題？這位學(xué)生說：“給出一個(gè)平行四邊形，畫出轉(zhuǎn)化后的長方形，閉著眼睛都會(huì)畫。我就反過來想，知道了轉(zhuǎn)化后的長方形，是不是只要湊出面積是24平方厘米的圖形就可以？有沒有不同的形狀？如果只是湊湊，那這樣的轉(zhuǎn)化還有什么意思呢？”學(xué)生的頭腦中原來有這么多有價(jià)值的問題！

（二）叩問內(nèi)心獨(dú)白，處理好“使人聰明”與“教人向善”的關(guān)系

我推薦學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)故事《網(wǎng)開一面》。故事的主要內(nèi)容是這樣的：

古人圍獵不會(huì)把野獸趕盡殺絕，都會(huì)留給野獸逃生的機(jī)會(huì)。用一根40米的繩子來圍獵。假定野獸事先并不知道哪面有網(wǎng)，并且朝四個(gè)方向均勻逃散。如果圍成正方形（如圖5），由于四面都有網(wǎng)，野獸觸網(wǎng)被捕獲的可能性是四分之四;正方形的面積是（40÷4）2=100平方米，假設(shè)此時(shí)的捕獲量為“1”。如果“網(wǎng)開一面”，“圍成”的正方形有三個(gè)面有網(wǎng)，野獸觸網(wǎng)被捕的可能性是四分之三;（40÷3）2÷4×3=133.3333…，捕獲量約為“1.3”。如果“網(wǎng)開三面”，“圍成”的正方形只有一個(gè)面有網(wǎng)，野獸觸網(wǎng)被捕的可能性是四分之一;（40÷1）2÷4×1=400，捕獲量為“4”。

小J有一個(gè)問題想不通：“故事里說古人留給野獸逃生的機(jī)會(huì)，不想趕盡殺絕。但是在網(wǎng)開三面的情況下，他們期望的捕獲量反而最大，真是欲擒故縱，‘放長線，釣大魚。這不是很虛偽嗎？”

這個(gè)問題令人驚訝，故事的本義是想讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)思維來感受欲擒故縱的策略是多么富有智慧，沒想到小J的感受完全相反。想想也是情有可原的。在這個(gè)階段的兒童眼中，數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系是很模糊的。數(shù)學(xué)其實(shí)是對生活的高度抽象與概括，二者之間不能畫等號。數(shù)學(xué)課上，我們津津有味地討論“雞兔同籠”問題，感悟假設(shè)的策略，但生活中并沒有人把雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里。

《網(wǎng)開一面》的寓言故事蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)智慧、人文情懷和人生哲學(xué)。此時(shí)此刻，教師無須一本正經(jīng)地說教。也許小J在以后的成長過程中，某一天會(huì)突然頓悟，給自己一個(gè)合理的解釋。數(shù)學(xué)是自由的，數(shù)學(xué)使人聰明，但它也是有約束的，向善是其不變的初心，是其無須提醒的自覺。

每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有一個(gè)“暗箱”。這個(gè)“暗箱”里裝著自己建構(gòu)的知識，各種波長的思維電波，特別是各種各樣“沉默的問題”，這些問題真實(shí)地記錄著學(xué)生的學(xué)習(xí)軌跡。在“學(xué)為中心”的教學(xué)理念下，關(guān)注學(xué)生“沉默的問題”是一個(gè)新的視角。在這里，教師直面有價(jià)值的問題，拉開真實(shí)的學(xué)習(xí)歷程;獨(dú)具匠心地回顧“沉默的問題”，提升學(xué)生的思維品質(zhì);最終，讓學(xué)生超越被動(dòng)學(xué)習(xí)，自信地激揚(yáng)“沉默的問題”，逐漸成長為自由的、智慧的、快樂的學(xué)習(xí)者。

參考文獻(xiàn)：

[1] 余西艷.關(guān)于反思性教學(xué)的審思[J].文教資料，2015（21）.