陳晶

摘要：走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，主張著眼、著力于幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，形成深度的數(shù)學(xué)理解與認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，達(dá)到通達(dá)、透徹狀態(tài)。它的核心要素是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)載體、對(duì)象、過(guò)程、方式等方面的一些辯證關(guān)系，有：情境的剝離與還原、理解的操作與程序、理解的圖形與符號(hào)、認(rèn)識(shí)的特殊與一般、知識(shí)的展開(kāi)與壓縮。

關(guān)鍵詞：思維通透數(shù)與代數(shù)情境認(rèn)知表征特殊與一般

走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，主張著眼、著力于幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，形成深度的數(shù)學(xué)理解與認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，達(dá)到通達(dá)、透徹狀態(tài)。它的核心要素是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)載體、對(duì)象、過(guò)程、方式等方面的一些辯證關(guān)系。下面以“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的教學(xué)為例來(lái)說(shuō)明。

一、情境的剝離與還原

創(chuàng)設(shè)情境引入知識(shí)，可以讓兒童伴隨快樂(lè)的情緒積極地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還可以把情感活動(dòng)與認(rèn)知活動(dòng)結(jié)合起來(lái)，把具體形象思維與抽象邏輯思維結(jié)合起來(lái)，幫助兒童結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)理解與認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。但是，如果一味地停留在情境層面，則會(huì)存在負(fù)面干擾，使得兒童對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)出現(xiàn)偏差，不能深入本質(zhì)。走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面，要引導(dǎo)學(xué)生剝離情境，形成抽象的理解與認(rèn)識(shí);另一方面，如果學(xué)生遇到困難，要引導(dǎo)學(xué)生還原情境，幫助理解與認(rèn)識(shí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

教學(xué)簡(jiǎn)單的計(jì)算時(shí)，學(xué)生通常容易剝離具體的情境，生成算式，然后探索算理與算法。其實(shí)，遇到陌生的算式時(shí)，學(xué)生還可以把算式還原到具體的情境中，幫助理解與認(rèn)識(shí)算理與算法。例如，對(duì)于算式300-（100-6），學(xué)生可以借助情境（如：媽媽去商場(chǎng)購(gòu)物，帶了300元，一件衣服標(biāo)價(jià)100元，因?yàn)榇黉N降價(jià)6元，買(mǎi)了這件衣服后，媽媽還剩多少元？）理解與認(rèn)識(shí)計(jì)算的過(guò)程，還可以借助情境（如果付給營(yíng)業(yè)員100元，則應(yīng)該找回6元）理解與認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化成300-100+6的簡(jiǎn)便計(jì)算過(guò)程。從剝離情境到還原情境，學(xué)生對(duì)抽象的計(jì)算不再是機(jī)械地執(zhí)行，而有了整體的理解與認(rèn)識(shí)。

二、理解的操作與程序

《心理學(xué)大辭典》將“理解”解釋為：“思維形式的一種，理解運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)事物的具體表現(xiàn)形式，發(fā)現(xiàn)事物的性質(zhì)、特征，還有事物之間的聯(lián)系等，直至事物的本質(zhì)和某種規(guī)律性思維?！睌?shù)學(xué)理解可以分為“操作性理解”和“程序性理解”兩大類。所謂“操作性理解”，是指借助學(xué)具操作，把特定的概念、命題等應(yīng)有的智力活動(dòng)對(duì)象和方式“外化”為體力活動(dòng)對(duì)象和方式，通過(guò)具體形象思維，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。而抽象得到特定的概念、命題后，站在邏輯的角度，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，再加上對(duì)符號(hào)意義和替代物結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)程重建或改組，即依據(jù)一定的規(guī)則“做”數(shù)學(xué)，就達(dá)到了“程序性理解”。兒童的思維以具體形象為主，隨著年齡的增長(zhǎng)，逐步向抽象邏輯過(guò)渡。走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該落實(shí)循序漸進(jìn)的原則，組織學(xué)生開(kāi)展具體的實(shí)物操作，幫助學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的操作性理解，再進(jìn)一步抽象和推理，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的程序性理解。這樣，學(xué)生就能達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解。

例如，教學(xué)“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”時(shí)，教師從算式33÷3出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考將33根小棒平均分成3份應(yīng)該怎么分。學(xué)生借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)動(dòng)手操作：先將3捆小棒平均分成3份，每份分得1捆，再將3根小棒平均分成3份，每份分得1根，兩部分合起來(lái)是11根。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言做概括描述：將33根小棒平均分成3份，先分幾捆，也就是幾個(gè)十，再分幾根，也就是幾個(gè)一。學(xué)生形成操作性理解后，教師引導(dǎo)學(xué)生回到算式33÷3，推動(dòng)學(xué)生形成程序性理解：先用33十位上的3除以3，再用33個(gè)位上的3除以3。進(jìn)一步，教師引導(dǎo)學(xué)生拓展到對(duì)算式333÷3計(jì)算過(guò)程的理解，幫助學(xué)生逐步抽象形成對(duì)兩、三位數(shù)除以一位數(shù)計(jì)算方法的理解。最后，教師還讓學(xué)生嘗試把這種理解方式延續(xù)到除數(shù)是多位數(shù)的除法。

三、理解的圖形與符號(hào)

結(jié)合布魯納提出的動(dòng)作、圖像、符號(hào)認(rèn)知表征方式以及華羅庚先生特別倡導(dǎo)的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解還可以分為圖形直觀和符號(hào)抽象兩種方式。走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，也應(yīng)該組織學(xué)生進(jìn)行直觀的圖形觀察及想象，幫助學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的圖形直觀理解，再進(jìn)一步抽象和推理，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的符號(hào)抽象理解。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)除法”時(shí)，教師可以引入線段圖或平面圖，幫助學(xué)生理解計(jì)算方法。如，計(jì)算4÷1/3時(shí)，畫(huà)出4個(gè)圓，把每個(gè)圓平均分成3份，每一份都是1/3，得到4個(gè)圓里一共有12（4×3）份（12個(gè)1/3），所以可以列式成4×3。學(xué)生形成圖形直觀理解后，教師引導(dǎo)學(xué)生脫離直觀圖形，用抽象符號(hào)解釋5÷1/4的計(jì)算過(guò)程。學(xué)生可以想出：1里面有4個(gè)1*4，所以5里面有5×4=20個(gè)1/4。由此，學(xué)生可以逐步抽象得到分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。

四、認(rèn)識(shí)的特殊與一般

作為一種理論，數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象而一般的概念與命題。但是，兒童的學(xué)習(xí)通常要從具體而特殊的現(xiàn)象與案例開(kāi)始。走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，還應(yīng)該重視從特殊到一般的跨越，幫助學(xué)生在認(rèn)識(shí)特殊現(xiàn)象與案例的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步把握一般的本質(zhì)與規(guī)律，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度認(rèn)識(shí)。

“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，從研究一些特殊的數(shù)（量）與算式（關(guān)系）到利用字母符號(hào)表示一般的數(shù)（量）與算式（關(guān)系），是學(xué)生認(rèn)知的一個(gè)飛躍。對(duì)此，教師要做好過(guò)渡和銜接。例如，教學(xué)“正方形的面積”時(shí)，教師讓學(xué)生思考：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，面積擴(kuò)大幾倍？學(xué)生舉出特殊的例子，發(fā)現(xiàn)了一般的規(guī)律：正方形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，面積擴(kuò)大4倍。學(xué)生學(xué)會(huì)用字母表示數(shù)后，教師進(jìn)一步讓學(xué)生思考：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大n倍，面積擴(kuò)大幾倍？學(xué)生借助一般的推理，得到了二者的關(guān)系：設(shè)正方形原來(lái)的邊長(zhǎng)為a，則面積為a2，邊長(zhǎng)擴(kuò)大n倍后，為na，則面積為a2n2，故擴(kuò)大n2倍。

五、知識(shí)的展開(kāi)與壓縮

華羅庚先生指出，讀書(shū)的真功夫在于“既能把薄的書(shū)讀成厚的，又能把厚的書(shū)讀成薄的”。讀“厚”是從少讀到多，從粗讀到細(xì)，是學(xué)習(xí)、接受、豐富知識(shí)的過(guò)程;讀“薄”則是消化、總結(jié)、融合，取其精華的過(guò)程。沒(méi)有讀“厚”，就沒(méi)有豐厚的學(xué)養(yǎng);而沒(méi)有讀“薄”，就沒(méi)有真正地掌握，沒(méi)有能力的提升。走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷先從薄到厚再?gòu)暮竦奖〉倪^(guò)程，在知識(shí)的“展開(kāi)”與“壓縮”中，架構(gòu)立體式的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)融會(huì)貫通、觸類旁通的思維能力。

例如，二年級(jí)教學(xué)乘法時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)了數(shù)量關(guān)系“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”;后續(xù)的教學(xué)中，教師則要不斷豐富學(xué)生對(duì)這一數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)：中年級(jí)遇到行程問(wèn)題時(shí)，將這一數(shù)量關(guān)系表達(dá)成“速度×?xí)r間=路程”;中年級(jí)遇到購(gòu)物問(wèn)題時(shí)，將這一數(shù)量關(guān)系表達(dá)成“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”;高年級(jí)探究分?jǐn)?shù)乘法的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，將這一數(shù)量關(guān)系表達(dá)成“單位‘1的量×分率=分率對(duì)應(yīng)的數(shù)量”……在此基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些“展開(kāi)”的數(shù)量關(guān)系做高度的“壓縮”，回到最基本的數(shù)量關(guān)系“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”。這樣，能夠幫助學(xué)生打通乘法的應(yīng)用以及乘法與除法的聯(lián)系，從而深化知識(shí)結(jié)構(gòu)，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解與認(rèn)識(shí)。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘為思維通透而教課堂模式孵化實(shí)踐研究”（編號(hào)：D/2018/02/17）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 顧娟.情境數(shù)學(xué)和它的通透性[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2013（4）.

[2] 李吉林.情境教育精要[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016.

[3] 鄭毓信.學(xué)校數(shù)學(xué)：必要的抽象[J].人民教育，2006（3/4）.

[4] 林崇德，楊治良，黃希庭.心理學(xué)大辭典[M].上海：上海教育出版社，2003.

[5] 馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型——從R.斯根普的工作談起[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（3）.

[6] 邵文川，邵藝光.聚焦數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的習(xí)題設(shè)計(jì)改進(jìn)策略——以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?yàn)槔齕J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（21）.

[7] 吳正憲，張秋爽，李惠玲.和吳正憲老師一起讀數(shù)學(xué)新課標(biāo)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

[8] 賀和平.讀“薄”，讀“厚”，讀“活”[J].小學(xué)教學(xué)研究，2019（2）.