則顧娟

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是“發(fā)展學(xué)生的思維”（尤其是理性思維）。對此，要走向“通透”：靈活建立關(guān)聯(lián)，深度理解本質(zhì)。思維通透是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求：從“孤立”到“整體”，追求學(xué)科價(jià)值;從“特殊”到“一般”，追求理論價(jià)值;從“符號”到“生活”，追求實(shí)踐價(jià)值;從“理性思維”到“理性精神”，追求文化價(jià)值。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)走向思維通透的實(shí)施要?jiǎng)t有：講求知識與學(xué)習(xí)的統(tǒng)一;調(diào)和理性與感性的矛盾;指向存儲與運(yùn)用的轉(zhuǎn)換;注重局域與廣延的協(xié)調(diào);尋找簡明與混沌的平衡。

關(guān)鍵詞：思維通透數(shù)學(xué)知識兒童學(xué)習(xí)

“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)”（或者說體操），數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是“發(fā)展學(xué)生的思維”（尤其是理性思維），幫助學(xué)生獲得認(rèn)知的建構(gòu)?！巴ㄍ浮痹凇冬F(xiàn)代漢語詞典（第7版）》中有兩種解釋，一種是“沒有阻礙，空氣、光線等可以穿透過去”，另一種是“通達(dá)透徹”。就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，其意以后者為基礎(chǔ)：通，意在溝通聯(lián)系;透，旨在揭示本質(zhì);通透，即靈活建立關(guān)聯(lián)，深度理解本質(zhì)。

數(shù)學(xué)的邏輯性與抽象性（理性），決定了數(shù)學(xué)思維追求通透。而兒童思維的直覺性與具象性（感性），更要求小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)走向?qū)W生思維的通透。這具體地表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)結(jié)通暢，解決數(shù)學(xué)問題策略的運(yùn)用自由，個(gè)體內(nèi)部生成數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、感悟等的機(jī)制較為靈活、便捷，進(jìn)入新的知能臺階的能力較強(qiáng)，等等。

一、思維通透：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求

（一）從“孤立”到“整體”，追求學(xué)科價(jià)值

在學(xué)習(xí)學(xué)校的“正規(guī)數(shù)學(xué)”之前，兒童擁有的數(shù)學(xué)知識是零散的、孤立的，需要通過學(xué)習(xí)，使之系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、整體化。正如著名數(shù)學(xué)教育家斯根普指出的：“兒童所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識， 同時(shí)擴(kuò)展他們的這種知識 ，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結(jié)合?！?/p>

走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，以原有概念為起點(diǎn)，瞄準(zhǔn)兒童的“最近發(fā)展區(qū)”，幫助兒童在頭腦中逐步形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)和邏輯構(gòu)架，從而獲得表征為思維發(fā)展的學(xué)科價(jià)值。

（二）從“特殊”到“一般”，追求理論價(jià)值

數(shù)學(xué)是“模式的科學(xué)”，因此我們并非針對各個(gè)特殊的現(xiàn)實(shí)情境從事研究，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過渡到更為普遍的“模式”。這些“模式”的形成，能促使兒童在面臨新問題時(shí)進(jìn)行主動的正遷移。

走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提供自主探究“模式”的廣闊空間，讓兒童進(jìn)行從“特殊”到“一般”的跨越，成為理論的“創(chuàng)建者”。

（三）從“符號”到“生活”，追求實(shí)踐價(jià)值

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“作為計(jì)算者，人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對的文字題中算術(shù)問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計(jì)算的同時(shí)我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實(shí)?！?/p>

走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，還要將知識由“符號”復(fù)歸于生活，應(yīng)用于生活，讓兒童擁有數(shù)學(xué)的眼光，把握“存在于多樣性之中的簡單性”，體會理論的實(shí)踐價(jià)值。

（四）從“理性思維”到“理性精神”，追求文化價(jià)值

“數(shù)學(xué)文化是以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的精神、思想、方法、內(nèi)容等輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域?yàn)橛袡C(jī)組成部分的一個(gè)具有特定功能的動態(tài)系統(tǒng)，其基本要素是數(shù)學(xué)及與其有關(guān)的各種文化現(xiàn)象?！?/p>

走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，讓課堂體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活，浸潤數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)兒童深入思考，從“數(shù)學(xué)及與其有關(guān)的各種文化現(xiàn)象”中體會智性愉悅，形成理性思維，進(jìn)而培育理性精神，獲得文化價(jià)值。

二、走向通透：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施要?jiǎng)t

（一）講求知識與學(xué)習(xí)的統(tǒng)一

在漢語詞源中，“識”的本義是用語言描述圖案的形狀和細(xì)節(jié)，而引申義是區(qū)別、辨別。數(shù)學(xué)知識是準(zhǔn)確描述現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的語言。數(shù)學(xué)知識的形成過程就是數(shù)學(xué)的發(fā)展史。學(xué)習(xí)則是指通過多種方式獲得知識或技能的過程。兒童的學(xué)習(xí)要遵循一定的心理規(guī)律，基于原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)主動建構(gòu)。數(shù)學(xué)知識的形成過程與兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程既有內(nèi)在的聯(lián)系，也有較大的區(qū)別，可能是脫節(jié)甚至不相關(guān)的。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)思維的通透，就要找到兩者之間的關(guān)聯(lián)，將學(xué)術(shù)形態(tài)的知識改造成教育形態(tài)的知識，讓知識的形成過程與兒童的學(xué)習(xí)過程統(tǒng)一起來。

1.以“世界”為源泉，讓兒童用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活。

數(shù)學(xué)知識的形成過程是從數(shù)學(xué)概念出發(fā)，通過邏輯推理，逐步形成不同結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)命題。兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程則是從自己的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，逐步抽象出數(shù)學(xué)概念。我們可以把數(shù)學(xué)問題融于生活情境中，讓兒童從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，借助生活經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題，從而“生長”出數(shù)學(xué)知識。這樣，兒童就能理解“學(xué)校境域中的數(shù)學(xué)”與“日常生活中的數(shù)學(xué)”之間的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，最終達(dá)到知識的形成過程與自己的學(xué)習(xí)過程的統(tǒng)一。

2.以“生長”為主線，讓兒童經(jīng)歷和體驗(yàn)探索、生成的過程。

數(shù)學(xué)知識是節(jié)節(jié)“生長”的，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷和體驗(yàn)知識的自然“生長”，完成對知識的主動建構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)對數(shù)、形的感悟。兒童的感悟來源于親身的經(jīng)歷和體驗(yàn)，無論是漸悟，還是頓悟，其經(jīng)歷和體驗(yàn)都是不能被替代、不能被忽略的。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)思維的通透，就必須實(shí)現(xiàn)兒童和知識的共同“生長”，讓兒童緊扣知識的本意，循序漸進(jìn)地展開探索和生成，感受數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。這樣，有助于兒童尋獲知識的本源，構(gòu)建知識之間的聯(lián)系。

3.以“數(shù)學(xué)化”為方向，讓兒童的思維逐步走向抽象。

弗賴登塔爾認(rèn)為，人們在觀察、認(rèn)識和改造世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象，并加以整理和組織，這樣的過程就是“數(shù)學(xué)化”?！皵?shù)學(xué)化”可分為兩個(gè)層次：水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化。水平數(shù)學(xué)化是把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，垂直數(shù)學(xué)化則是對已經(jīng)符號化的問題做進(jìn)一步的抽象化處理。數(shù)學(xué)知識的形成是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程;兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從具體到抽象，也是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)思維的通透，必須從兒童的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，但是不僅僅停留在具體和直觀的水平，而是讓經(jīng)驗(yàn)先水平數(shù)學(xué)化，再垂直數(shù)學(xué)化，從而上升為抽象的認(rèn)識，達(dá)到深度理解，進(jìn)一步發(fā)展思維。

（二）調(diào)和理性與感性的矛盾

數(shù)學(xué)是理性的，它將“火熱的思考”變?yōu)椤氨涞拿利悺?。兒童是感性的，是?nèi)心情感豐富充盈的生命個(gè)體。如何才能調(diào)和數(shù)學(xué)的理性和兒童的感性之間的矛盾，打通兩者之“隔”，將其合而為一呢？筆者認(rèn)為，創(chuàng)設(shè)情境是一條有效的路徑。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，創(chuàng)設(shè)多樣的情境，讓兒童自主尋獲自己與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系“密碼”，最終抓住數(shù)學(xué)的核心，思維之路就隨之豁然開朗，走向通透。

1.創(chuàng)設(shè)探究之境。

“數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)設(shè)的情境應(yīng)該具有探究的特點(diǎn)。我們應(yīng)該把兒童帶入一種探究的情境中，讓他們喜歡上數(shù)學(xué)?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)探究的情境，以“問題”為引領(lǐng)，以“情感”為動力，激發(fā)兒童解惑的強(qiáng)烈欲望，可以推動兒童主動探究，尋求自己的發(fā)現(xiàn)，借由“理寓其中”的情境發(fā)展數(shù)學(xué)理解，啟迪數(shù)學(xué)智慧。

2.創(chuàng)設(shè)想象之境。

愛因斯坦說過：“想象力比知識更重要，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素，是知識進(jìn)化的源泉。”想象力是頭腦中創(chuàng)造一個(gè)想法或畫面的能力，是形象思維能力的主要形式之一。數(shù)學(xué)想象就是對數(shù)學(xué)進(jìn)行形象的思考，創(chuàng)造出想法或畫面。在預(yù)測能被證明的內(nèi)容時(shí)，和構(gòu)思證明的方法一樣，數(shù)學(xué)家們通常會利用高度的直覺和想象。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，創(chuàng)建適宜想象的情境，給兒童留足想象的時(shí)間，引導(dǎo)兒童充分展開空間想象、符號想象、圖式想象等，可以培養(yǎng)兒童的創(chuàng)造力和想象力。

3.創(chuàng)設(shè)文化之境。

數(shù)學(xué)課程要體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)人文精神，這已經(jīng)成為普遍的共識。“在基礎(chǔ)教育階段，我們不可能讓兒童真切地了解整個(gè)數(shù)學(xué)文明的巨大價(jià)值，但是應(yīng)當(dāng)用盡可能通俗易懂的故事，適度地將數(shù)學(xué)文明的價(jià)值告訴他們?！敝匮荨⒃佻F(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)歷程，或使人類數(shù)學(xué)文明發(fā)展之路“故事化”，或?qū)⑽膶W(xué)創(chuàng)作與數(shù)學(xué)思考相融合，從文化發(fā)生的角度設(shè)計(jì)教學(xué)，可以幫助兒童在獲取數(shù)學(xué)知識、掌握數(shù)學(xué)技能的同時(shí)，從人類文明發(fā)展史中了解數(shù)學(xué)的作用，豐富自己的精神世界。

（三）指向存儲與運(yùn)用的轉(zhuǎn)換

從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度看，“存儲”是通過一系列編碼，讓知識進(jìn)入長時(shí)記憶;“運(yùn)用”是從長時(shí)記憶中提取知識，解決新的問題。存儲與運(yùn)用的轉(zhuǎn)換其實(shí)就是常見的心理活動：問題解決。加拿大學(xué)者約翰·羅伯特·安德森把“問題解決”定義為任何受目標(biāo)指引的認(rèn)知性操作序列，將需要開發(fā)出新步驟的問題解決稱為“創(chuàng)造性問題解決”，將使用舊步驟的問題解決稱為“常規(guī)性問題解決”。數(shù)學(xué)教學(xué)講求問題解決，而走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主張讓兒童形成網(wǎng)絡(luò)化的存儲方式，掌握多樣化的運(yùn)用方式，在存儲與運(yùn)用的轉(zhuǎn)換中提升思維水平。

1.一種問題匹配一種思路。

面對一個(gè)新的問題時(shí)，兒童需要經(jīng)歷一個(gè)探索的過程，習(xí)得一種解決問題的思路。再次碰到同一類問題時(shí)，兒童就能用現(xiàn)成的步驟、思路來解決，即轉(zhuǎn)化為常規(guī)性問題來解決。日積月累，兒童就豐富了解決問題的經(jīng)驗(yàn)，提升了解決問題的能力。

2.一種問題匹配多種思路。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)思維的通透，就要著力提升兒童思維的發(fā)散性，鼓勵(lì)兒童以開放的態(tài)度對待問題：探索時(shí)，能大膽創(chuàng)新，開發(fā)新的思路;遇到困難時(shí)，能另辟蹊徑，尋找不同的切入點(diǎn);解決問題后，能一題多解，尋找解決問題的最佳路徑。

3.多種問題匹配一種思路。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)思維的通透，還要大力提升兒童思維的聚合性，打通具體問題與數(shù)學(xué)模型之間的思維通道。將多種問題做比較，歸納得出共通的思路，能快速有效地解決更多的問題。也就是說，要先將具體問題統(tǒng)整為數(shù)學(xué)模型，再反過來，豐富數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義。

（四）注重局域與廣延的協(xié)調(diào)

“局域”和“廣延”二詞由現(xiàn)代信息技術(shù)名詞“局域網(wǎng)”和“廣域網(wǎng)”引申而來。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“局域”指某個(gè)有限的領(lǐng)域，“廣延”是某個(gè)領(lǐng)域的多向延伸。每節(jié)課的數(shù)學(xué)知識都是一個(gè)局域的知識結(jié)構(gòu)，卻內(nèi)隱著知識的脈絡(luò)，蘊(yùn)含著走向廣延的可能。走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)旨在打通知識之間的聯(lián)系，不僅要構(gòu)架一個(gè)明確的局域，還致力于拓展一個(gè)可能的廣延，以幫助兒童形成結(jié)構(gòu)化的思維。

1.局域網(wǎng)絡(luò)，打通領(lǐng)域內(nèi)聯(lián)系。

小學(xué)數(shù)學(xué)課程分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大領(lǐng)域。同一領(lǐng)域的知識點(diǎn)，分布在不同的年級，螺旋上升，逐步推進(jìn)。教學(xué)時(shí)，對于相似的知識，要注重呈現(xiàn)、展開方式的相似性，并且在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)組織比較、反思，促使兒童產(chǎn)生正遷移，形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這樣，他們以后遇到同一領(lǐng)域的內(nèi)容，也能主動展開探究，明晰相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)的知識聯(lián)系，對數(shù)學(xué)知識的縱向聯(lián)結(jié)內(nèi)化于心，成為數(shù)學(xué)知識的主動建構(gòu)者。

2.廣延網(wǎng)絡(luò)，打通領(lǐng)域間聯(lián)系。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域間的聯(lián)系往往是隱蔽的，多在數(shù)學(xué)思想方法層面，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、類比思想、建模思想等。目前廣泛提倡的“四基”教學(xué)，就特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基本思想方法。因此，我們還要將不同領(lǐng)域的知識做勾連對比，促使兒童探究知識背后蘊(yùn)含的思想方法，將數(shù)學(xué)知識的橫向聯(lián)結(jié)內(nèi)化于心，成為數(shù)學(xué)知識的全面建構(gòu)者。

縱橫勾連，構(gòu)架“局域”與“廣延”的知識網(wǎng)絡(luò)，總結(jié)和重構(gòu)其深層結(jié)構(gòu)，探究和把握思想方法，能夠幫助兒童提升整體認(rèn)識，增強(qiáng)結(jié)構(gòu)化思維，從“學(xué)會”走向“會學(xué)”，實(shí)現(xiàn)思維的通透。

（五）尋找簡明與混沌的平衡

“簡明”和“混沌”都是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維狀態(tài)?！昂喢鳌笔呛喖s明了的理解，“混沌”則是模糊不清的認(rèn)知。兒童思維的提升從來都是在“簡明”和“混沌”之間穿行的。走向思維通透的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)高度，重視對混沌心理狀態(tài)的探究，尋求適宜的時(shí)機(jī)，厘清事物的關(guān)系，從而抵達(dá)基于兒童認(rèn)知規(guī)律的簡明。

1.兒童需要經(jīng)歷暫時(shí)的混沌。

弗賴登塔爾認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師“決不可對內(nèi)容做任何限制，更不可對學(xué)生的發(fā)現(xiàn)做任何預(yù)置的‘圈套”。他說，泄露一個(gè)可以由兒童自己發(fā)現(xiàn)的秘密，是壞的教學(xué)法，甚至是一種罪惡。事實(shí)也正是如此。如果數(shù)學(xué)教學(xué)讓兒童的思維由“通透”到“通透”，那么，這種“通透”一定是浮于表面的，而且是短暫的、假性的。要走向思維的通透，數(shù)學(xué)教學(xué)就不能指望一蹴而就，因?yàn)橥ㄍ傅那白嗤切枰鞯幕煦鐮顟B(tài)，兒童對此認(rèn)識、思考、再認(rèn)識、再思考，經(jīng)歷懵懂、嘗試、錯(cuò)誤、修正，從而逐步領(lǐng)會，最終達(dá)到通透的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之境。