楊 超 葉 偉 張克濤 黃風立 張偉中

(1.嘉興學院機電工程學院， 嘉興 314001； 2.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018；3.倫敦瑪麗女王大學工程與材料學院， 倫敦 E1 4NS)

0 引言

少自由度并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，具有高剛度性能和優(yōu)異的動力學性能[1-2]。過約束并聯(lián)機構(gòu)是少自由度并聯(lián)機構(gòu)中的重要一類，過約束的存在可以提高機構(gòu)剛度和消除奇異，過約束并聯(lián)機構(gòu)在重載或高精度要求場合下有著重要的應用，剛度性能是過約束并聯(lián)機構(gòu)的重要性能指標之一。

并聯(lián)機構(gòu)剛度建模的理論模型包括解析模型和半解析模型，對預設計階段并聯(lián)機構(gòu)剛度性能的快速評估具有重要的作用。許多學者為此建立了多種剛度建模方法，包括虛鉸方法、矩陣位移法、應變能方法和螺旋理論方法等。

虛鉸方法將桿件當作兩端由六自由度彈簧支撐的剛性桿件。ZHANG等[3]采用虛鉸方法建立了Exechon過約束并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型。WANG等[4]基于虛鉸方法建立了Tricept并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，并考慮了鉸鏈的柔度。虛鉸方法需要處理冗余的彈簧約束，增加了剛度模型的復雜性[5-6]。矩陣位移法[7-8]將連桿作為一個梁單元處理，通過變形協(xié)調(diào)方程裝配得到總體剛度矩陣。DEBLAISE等[9]采用矩陣位移法建立了Delta并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，KLIMCHIK等[10]介紹了矩陣位移法的基本原理，并建立了NaVaRo平面機構(gòu)的剛度模型。矩陣位移法在有限元法的耗時性與解析方法的高效性之間取得了較好的權(quán)衡，計算精度較高。然而，矩陣位移法涉及矩陣的高維操作和大量的變形協(xié)調(diào)方程。螺旋理論方法基于螺旋理論得到分支的約束螺旋系，然后根據(jù)虛功原理得到機構(gòu)的整體剛度矩陣，其優(yōu)點是降低了分支約束螺旋系的維度，從而大大減少了變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)目。文獻[11-14]基于螺旋理論方法提出了分支約束螺旋系剛度矩陣的概念，建立了3-PRRR等并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，但建立分支剛度矩陣用了兩次映射，增加了過程的復雜度。文獻[15-17]基于螺旋理論方法建立了2PRU-UPR等并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，將分支約束螺旋系分解為梁的基本變形形式，思路簡單，但卻增加了分支剛度矩陣的維度，且模型中均未考慮剪切變形的影響和鉸鏈的柔度。汪滿新等[18]考慮重力的影響建立了3-RRS并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，得到了各構(gòu)件剛度對末端剛度的影響。徐東濤等[19]考慮重力的影響建立了改進型Delta并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型。利用應變能方法分析機構(gòu)在外載荷作用下存儲的應變能，結(jié)合卡氏定理建立機構(gòu)的剛度模型，其優(yōu)點是物理意義明確。文獻[20-22]基于應變能方法建立了Delta和3-PSP等并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，但作者只考慮了受力較簡單的非過約束機構(gòu)，沒有將應變能方法推廣到過約束機構(gòu)，YANG等[23]結(jié)合螺旋理論將應變能方法推廣到過約束并聯(lián)機構(gòu)，建立了2PUR-PSR并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，然而卻忽略了鉸鏈的柔度。半解析方法[24]是通過有限元方法或廠家得到關節(jié)的剛度矩陣，由解析法得到連桿的剛度矩陣，然后通過變形協(xié)調(diào)方程裝配得到機構(gòu)的整體剛度矩陣，兼顧了解析法的高效率和有限元法的高精度。LIAN等[25]基于半解析法建立了T5并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型。LIU等[26]考慮連桿和鉸鏈的柔度建立了3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型。CAO等[27]考慮重力的影響建立了5-PRUR和4-RRRRR過約束并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，完善了計及重力影響的并聯(lián)機構(gòu)靜彈性剛度模型。但以上研究成果中并沒有得到各個彈性元件對機構(gòu)剛度性能的影響程度。

本文基于應變能和螺旋理論建立2UPR-RPU過約束并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，同時考慮連桿和鉸鏈的柔度。基于應變能的方法得到各個彈性元件對機構(gòu)剛度性能的影響程度，以期為評價機構(gòu)剛度性能影響最大的彈性元件提供思路，為提高機構(gòu)的剛度性能提供新的方法。

1 機構(gòu)描述

2UPR-RPU過約束并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示，動平臺A1A2A3通過兩個UPR分支和一個RPU分支與基座B1B2B3相連。參考坐標系建立如下：固定坐標系OXYZ的原點為B1B2的中點，X軸沿B1B2方向，Y軸沿OB3方向，Z軸由右手法則確定。動坐標系oxyz的原點為A1A2的中點，x軸沿oA2方向，y軸沿oA3方向，z軸由右手法則確定。分支坐標系Aixiyizi的原點為點Ai(i=1, 2, 3)，yi軸(i=1, 2)與y軸平行，x3軸與X軸平行，zi軸(i=1, 2, 3)沿著AiBi方向，xi軸(i=1, 2)和y3軸由右手法則確定。R鉸坐標系oi1ui1vi1wi1與分支坐標系Aixiyizi相同(i=1, 2)，U鉸坐標系o31u31v31w31與分支坐標系A3x3y3z3相同。U鉸坐標系oi2ui2vi2wi2的原點為點Bi(i=1, 2)，ui2和vi2軸分別沿U鉸的兩根軸線方向，RPU分支R鉸坐標系o32u32v32w32的原點為點B3，u32軸沿R鉸軸線方向。對于兩條UPR分支，R鉸軸線與y軸平行，U鉸的第1個軸線與B1B2共線，第2個軸線與另一端的R鉸軸線平行。對于RPU分支，R鉸軸線平行于X軸，U鉸的第1條軸線與另一端的R鉸軸線平行，第2條軸線與y軸平行。3個P副作為輸入，并分別與R鉸軸線垂直。這種特殊的安排使得機構(gòu)具有3個自由度[28]：沿Oo的移動、繞X軸的旋轉(zhuǎn)β和繞y軸的旋轉(zhuǎn)γ。詳細的運動學分析可參照文獻[28]。

圖1 2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)

2 靜彈性剛度模型

本文剛度模型作如下假設：忽略所有元件的質(zhì)量和摩擦，驅(qū)動馬達、基座和動平臺假設為剛性?？紤]關節(jié)的柔度以及桿件的軸向拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲的空間復合彈性變形。

2.1 UPR分支剛度矩陣

圖2 UPR分支受力分析圖

fi1、fi2和mi1的單位矢量定義為

(1)

式中l(wèi)i、X、yi——BiAi、X軸、yi軸的單位矢量

UPR分支任意截面處內(nèi)力可表達為

(2)

式中Li——分支BiAi長度

桿件柔度矩陣可以由應變能和卡氏定理得到，桿件的柔度矩陣計算詳見文獻[29]，在此不再贅述。

桿件柔度矩陣為

(3)

式中Ayi、Ai——截面沿yi軸的有效剪切面積和截面面積

Ei、Gi——桿件材料彈性模量和剪切模量

Ixi、Ii——截面對xi軸的慣性矩和截面極慣性矩

桿件應變能可以表達為

(4)

其中

Wi=[fi1fi2mi1]T

將Wi映射至R鉸坐標系{oi1}的原點并在鉸空間投影得到

(5)

其中oi1ui1=[1 0 0]oi1wi1=[0 0 1]

將式(5)進一步表達成矩陣形式為

oi1Wi=Di1Wi(i=1,2)

(6)

其中

(7)

oi1Wi=[oi1fui1oi1fvi1oi1fwi1oi1mui1oi1mvi1oi1mwi1]T

式中oi1Wi——坐標系{oi1}下6×1的矢量

Di1——從Wi到oi1Wi的 6×3映射矩陣

UPR分支R鉸在自身鉸空間的柔度矩陣可以由有限元方法[24-26]得到

(8)

式中，前3項單位為m/N，后3項單位為rad/(N·m)。

因此，UPR分支R鉸所存儲的應變能可表達為

(9)

(10)

同樣的方法，將Wi映射至U鉸坐標系{oi2}的原點并在鉸空間投影得到

(11)

其中

oi2ui2=[1 0 0]oi2wi2=[0 0 1]

式中oi2Roi1——坐標系{oi1}到坐標系{oi2}的變換矩陣

式(11)可以進一步表達成矩陣形式為

oi2Wi=Di2Wi(i=1,2)

(12)

其中

(13)

oi2Wi=[oi2fui2oi2fvi2oi2fwi2oi2mui2oi2mvi2oi2mwi2]T

式中oi2Wi——坐標系{oi2}下6×1的矢量

Di2——從Wi到oi2Wi的6×3映射矩陣

UPR分支U鉸所存儲的應變能和U鉸與約束螺旋系對應的柔度矩陣為

(14)

其中

(15)

其中，式(15)等號右側(cè)前3項單位為m/N，后3項單位為rad/(N·m)。

UPR分支的應變能可以通過對桿件和鉸鏈存儲的應變能求和得到

(16)

UPR分支的緊湊剛度矩陣可以通過對式(16)中的柔度矩陣求逆得到

(17)

UPR分支與約束螺旋系對應的彈性變形可以由卡氏第二定理得

(18)

2.2 RPU分支緊湊剛度矩陣

圖3 RPU分支受力分析圖

f31、f32和m31的單位矢量定義為

(19)

式中l(wèi)3——A3B3的單位矢量

x3、y3——沿x3、y3軸的單位矢量

同樣的方法可以得到RPU分支桿件的柔度矩陣為

(20)

根據(jù)力的平移定理，將W3平移至U鉸的中心并在鉸空間坐標系{o31}下投影可以得到

o31W3=D31W3

(21)

其中

(22)

式中D31——從W3到o31W3的6×3映射矩陣

同理，將W3平移至R鉸的中心并在鉸空間坐標系{o32}下投影可以得到

o32W3=D32W3

(23)

其中

(24)

式中D32——從W3到o32W3的6×3映射矩陣

RPU分支的U鉸和R鉸在自身鉸空間的柔度矩陣[24-26]分別為

(25)

與計算UPR分支應變能類似，RPU分支所存儲的應變能可以表達為

(26)

(27)

式中C3——RPU分支與約束螺旋系對應的分支緊湊柔度矩陣

對式(27)求逆即可得RPU分支緊湊剛度矩陣

(28)

由卡氏第二定理可以得到RPU分支與約束螺旋系對應的彈性變形

(29)

2.3 整體剛度矩陣

參考固定坐標系，2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)動平臺的平衡方程可以表達為

P=(J1J2J3)W=JW

(30)

其中

P=[F;M]

W=[W1W2W3]

式中P——作用在動平臺的外部載荷

Ji——分支i的6×3約束螺旋系矩陣

J——6×9矩陣W——9×1矢量

F——作用在動平臺的外力

M——作用在動平臺的外力偶

動平臺考慮為剛性，其虛功方程可以表達為

(31)

式中Δ——動平臺與外部載荷P對應的彈性變形

聯(lián)立方程(30)、(31)得

(32)

將方程(18)、(29)、(32)代入方程(30)得

(33)

(34)

式中K——機構(gòu)的整體剛度矩陣

對方程(34)求逆可以得到機構(gòu)的整體柔度矩陣

(35)

根據(jù)材料力學可得各分支約束螺旋系的幅值為

(36)

機構(gòu)的總應變能可以表達為

(37)

3 理論模型與有限元模型對比

為了驗證本文理論模型的正確性，采用ANSYS Workbench商業(yè)軟件建立機構(gòu)2個位型的有限元模型和理論模型作對比，位型1：z=-600 mm,β=0°,γ=0°，位型2：z=-600 mm,β=5°,γ=-3°，2個位型統(tǒng)一在o點施加外部載荷P=(30 N,-50 N,-40 N,10 N·m,-20 N·m,50 N·m)。2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)物理參數(shù)為：lOB1=lOB2=lOB3=390 mm,loA1=loA2=loA3=260 mm,E1=E2=E3=210 GPa,G1=G2=G3=80 GPa,d1=d2=d3=100 mm，d1、d2和d3分別表示3個桿件的橫截面直徑。2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)在兩個位型下的變形云圖如圖4所示。表1給出了動平臺o點的理論模型和有限元模型的變形量。由表1可知，理論模型與有限元模型的誤差不大于7.8%，驗證了理論模型的正確性，可用于物理樣機在預設計階段的剛度性能評估。

圖4 2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)變形量云圖

表1 理論模型與有限元模型的計算結(jié)果對比

4 應變能因子指標

為了評價每一個彈性元件對機構(gòu)整體剛度性能的影響程度，應變能因子指標定義為

(38)

式中μij——應變能因子指標，其表示每一個彈性元件存儲的應變能與機構(gòu)總應變能的比率，范圍為0～1，μij越大表明此彈性元件存儲的應變能越多

Uij——第i個分支的第j個彈性元件所存儲的應變能

為了評價應變能因子指標在整個預規(guī)劃工作空間的分布，全局應變能因子指標定義為

(39)

式中V——預規(guī)劃工作空間體積

N——離散點數(shù)量

工程應用中，可以計算應變能因子指標在預規(guī)劃工作空間的分布，有針對地提高應變能因子指標較大的元件的剛度性能，從而更有效地改善機構(gòu)的剛度性能。

機構(gòu)的規(guī)則工作空間受驅(qū)動的沖程、被動鉸的角度限制以及桿件之間的干涉等因素的影響，2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)的物理約束如下

(40)

式中αi1、αi2——R鉸和U鉸的旋轉(zhuǎn)角

圖5為空間搜索法得到的2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)的可達和規(guī)則工作空間。由圖5可以看出，可達工作空間關于γ=0對稱，這與2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)分布一致，然而可達工作空間不規(guī)則，不利于軌跡規(guī)劃和算法控制，并且機構(gòu)在可達工作空間的邊緣子空間的運動學性能和剛度性能也較差。不失一般性，本文采用空間內(nèi)每一層的最大內(nèi)切圓組成的圓臺作為預規(guī)劃的規(guī)則工作空間，為了保證一定的操作空間，最大內(nèi)切圓的最小半徑設置為10°。

圖5 2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)工作空間

圖6 P=P1時機構(gòu)的總應變能的分布

圖7 P=P1時μ在預規(guī)劃工作空間的分布

圖8 P=P1時μ在平面z=-600 mm的分布

首先，施加外部載荷P=P1=(0, 0, 1 N, 0, 0, 0)，機構(gòu)總應變能和局部應變能因子指標在規(guī)則工作空間的分布如圖6、7所示。由于對稱性，此處僅考慮了第1個UPR分支的應變能因子指標的分布。μiR、μiB和μiU分別表示第i分支的R鉸、桿件和U鉸的應變能因子指標，由圖6、7可以看出，總應變能U和局部應變能因子指標μ均關于γ=0對稱，這與機構(gòu)的結(jié)構(gòu)分布吻合，并且當給機構(gòu)施加一個豎向力時，應變能最小即剛度性能最優(yōu)的位置在初始位置。值得注意的是，UPR分支桿件的μij最大值為0.45，RPU分支桿件的μ最大值為0.5；UPR分支和RPU分支R鉸的μij最大值分別為0.08和0.02；UPR分支和RPU分支U鉸的μij最大值分別為0.25和0.07。相同的R鉸在不同的分支中其μij分布不盡相同。由圖6、7可以看出，在豎向力的作用下，2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)樣機各元件所存儲的應變能從大到小依次為桿件、UPR分支中的U鉸和R鉸，即合理地提高桿件的剛度性能，如增大桿件的橫截面積或選擇剛度性能更好的材料，可以更有效地提高機構(gòu)的剛度性能；UPR分支U鉸的μ最大值達到0.25，說明此處U鉸設計不合理，合理地改善U鉸的設計提高其剛度性能也是改善機構(gòu)剛度性能的一個有效途徑。圖8給出了μij在平面z=-600 mm的分布，由圖8可以看出，μij與機構(gòu)的姿態(tài)密切相關。以上分析可知，機構(gòu)的剛度性能不僅與鉸鏈本身的剛度性能有關，還與鉸鏈位置以及機構(gòu)姿態(tài)有關。

為了研究外部載荷對全局應變能因子指標的影響，表 2給出了在不同外部載荷作用下應變能因子指標在規(guī)則工作空間中的平均值。如果P=P1，則應變能主要存儲在UPR分支的U鉸鏈和桿件中，其占總應變能的80%。RPU分支桿件的全局應變能因子指標僅為0.08，表明當沿著Z軸的力作用在移動平臺上時，第3個桿存儲較小的應變能。也就是說第3個桿件對機構(gòu)的剛度性能影響較小。當P=P2=(0.8 N，0.3 N，0.52 N，0，0，0)時，應變能主要儲存在第3桿中，占總應變能的82.5%。在這種情況下，增加第3桿的截面面積可以更有效地提高機構(gòu)的剛度性能。與其他彈性元件相比，UPR分支中R鉸和U鉸中存儲的應變能可以忽略。第3分支鉸鏈儲存的應變能僅占1.51%。并且由于外部載荷的不對稱，兩個UPR分支中存儲的應變能也不再相同。圖9給出了指定工作空間中3根桿件的全局應變能指標的分布圖。當P=P3=(0.52 N，0.3 N，0.8 N，0.5 N·m，0.7 N·m，0.51 N·m)時，第3桿儲存的應變能占55.0%，第1桿和第2桿儲存的應變能占41.0%。因為第3桿件此時具有較大的應變能量，給其設計較大的橫截面面積是合理的。由于篇幅的限制，圖10僅給出了3根桿的應變能因子指標分布。以上分析結(jié)果可知，關節(jié)對機構(gòu)剛度性能的影響也與外部載荷的方向有關。

表2 彈性元件在不同載荷作用下的全局應變能因子指標

圖9 P=P2時3個桿件的應變能指標分布圖

圖10 P=P3時3個桿件的應變能指標分布圖

5 結(jié)論

(1)以2UPR-RPU過約束并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，基于螺旋理論得出分支施加給動平臺的驅(qū)動力和約束反力，基于材料力學和空間力系平移定理得到桿件和關節(jié)存儲的應變能，利用應變能方法和卡氏第二定理得到形式緊湊的分支剛度矩陣，結(jié)合虛功原理和動平臺平衡方程得到整體剛度矩陣的解析表達式，并同時得到驅(qū)動力和約束反力的解析表達式。與有限元模型計算結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)，誤差不超過7.8%，驗證了本文理論模型的正確性。

(2)為了研究2UPR-RPU并聯(lián)機構(gòu)各彈性元件對機構(gòu)剛度性能的貢獻，定義了應變能因子指標，給出了其在規(guī)則工作空間的四維切片分布圖像，結(jié)果表明，彈性元件對機構(gòu)剛度性能的貢獻不僅與彈性元件本身有關，而且與彈性元件的排列、機構(gòu)的姿態(tài)以及外部載荷的方向有關；在機構(gòu)的剛度性能評估中，關節(jié)的柔度不可忽略。應變能因子指標從應變能的角度定量評價了各彈性元件對機構(gòu)剛度性能的影響程度，具有明確的物理意義。