□ 戴日輝1 □ 王三民 □ 蘇 欣3 □ 周啟航

1.海軍駐哈爾濱地區(qū)第三軍事代表室 哈爾濱 150078 2.西北工業(yè)大學 機電學院 西安 710072 3.中國船舶重工集團公司 第703研究所 哈爾濱 150078

1 研究背景

在艦船、直升機、盾構機等裝備的動力傳動領域中,越來越廣泛地采用多路分流齒輪傳動系統(tǒng),其中功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)是最典型的一種多路分流齒輪傳動系統(tǒng)。在功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)中,第一級主動齒輪同時與兩個從動齒輪嚙合,實現(xiàn)功率的分路傳遞。第一級的兩個從動齒輪與第二級的兩個主動齒輪分別通過花鍵連接,第二級的兩個主動齒輪同時與并車齒輪嚙合,實現(xiàn)功率的匯流輸出。由于這種傳動系統(tǒng)全部采用定軸輪系,因此克服了行星齒輪傳動系統(tǒng)行星輪離心力大的缺陷[1]。

雖然有關行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學特性和均載特性的研究論文較多[2-7],但目前針對多路分流齒輪傳動系統(tǒng)的動力學研究成果相對較少。1996年,Krantz等[8-9]開展了功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)最優(yōu)均載設計的理論和試驗研究。2003年,Kartik等[10]建立了功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)傳動誤差分析模型,并研究了齒輪幾何參數(shù)對傳動系統(tǒng)動態(tài)傳動誤差的影響規(guī)律,揭示了功率分支傳動系統(tǒng)中齒輪副的相差現(xiàn)象。2004年,Fussner等[11]研究了功率分支齒輪傳動系統(tǒng)中齒輪參數(shù)和軸的偏斜運動對嚙合效率的影響規(guī)律,建立了高效率功率分支齒輪傳動的優(yōu)化設計方法。2005年,歐衛(wèi)林等[12]提出了進行復雜齒輪系統(tǒng)動力學分析的軸單元法,并將其應用于功率分支系統(tǒng)的線性振動分析。最近幾年,西北工業(yè)大學多名教授及研究人員分別對功率分支齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性進行了研究,為減振降噪設計奠定了基礎[13-16]。

針對功率分支齒輪傳動系統(tǒng)已開展的振動特性研究大都采用的是線性模型,不考慮齒輪嚙合側隙和時變嚙合剛度等非線性因素的影響,因此無法解釋這種傳動系統(tǒng)在實際工作過程中出現(xiàn)的次諧、超諧等振動特性。筆者針對功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)建立了傳動系統(tǒng)的扭轉振動動力學模型,引入齒側間隙函數(shù)來描述齒輪側隙,采用傅里葉級數(shù)來描述齒輪副嚙合剛度,形成齒輪傳動系統(tǒng)的非線性振動方程,采用數(shù)值方法求解系統(tǒng)的非線性響應,分析了工況參數(shù)對振動特性的影響規(guī)律。

2 非線性振動模型與方程

圖1所示為船用功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)。

▲圖1 功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)

圖2所示為功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)振動動力學模型。圖2中共有八個集中質量,包括六個齒輪和原動機、螺旋槳。僅考慮每個集中質量的扭轉振動,因此共有八個振動自由度。這一動力學模型綜合考慮了齒輪副的時變嚙合剛度、每對齒輪副的齒側間隙,以及齒輪副綜合傳動誤差和原動機的輸入轉矩波動等因素。設原動機、六個齒輪、螺旋槳的扭轉振動位移為φh,h=1，2，…，8,由牛頓定理可推導出系統(tǒng)的非線性振動微分方程為：

▲圖2 功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)振動動力學模型

(1)

-e3,b3)=0

(2)

(3)

(4)

=0

(5)

=0

(6)

=0

(7)

(8)

f(rb2φ2-rb3φ3-e2,b2)、f(rb2φ2-rb4φ4-e3,b3)、f(rb5φ5-rb7φ7-e6,b6)和f(rb6φ6-rb7φ7-e7,b7)為齒側間隙非線性函數(shù),將其統(tǒng)一表達為f(x,b),則定義為:

(9)

(10)

3 振動方程處理

為消除系統(tǒng)轉動的剛體位移,采用相對位移xh作為廣義坐標。

x1=rs1(φ1-φ2)

(11)

x2=rb2φ2-rb3φ3-e2

(12)

x3=rs4(φ3-φ4)-e3

(13)

x4=rb4φ4-rb7φ7

(14)

x5=rb2φ2-rb5φ5

(15)

x6=rs5(φ5-φ6)-e6

(16)

x7=rb6φ6-rb7φ7-e7

(17)

x8=rs8(φ7-φ8)

(18)

式中：rsj為各傳動軸的半徑。

另外,振動微分方程式(1)～式(8)中各物理量的數(shù)值差別較大,這樣會給求解計算帶來較大誤差,因此在求解計算之前應對系統(tǒng)振動微分方程進行無量綱化處理。

τ=tωp

(19)

(20)

式中：ωp為傳動系統(tǒng)的一階扭轉振動固有頻率。

(21)

(22)

(23)

將式(11)～式(23)代入式(1)～式(8),并經(jīng)過整理，可得到系統(tǒng)無量綱化的非線性振動微分方程：

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

=0

(29)

=F8

(30)

4 振動方程數(shù)值求解

對于非線性振動微分方程式(24)～式(30)，采用四階變步長龍格-庫塔數(shù)值法求解。首先將該二階非線性微分方程轉化為一階狀態(tài)微分方程的初值問題。

(31)

數(shù)值方法求解式(31)的基本思路是:對于給定的初始時間t0和終止時間td,取足夠大的正整數(shù)N,將時間段[t0,td]離散為N段:

tk=t0+kΔt

(32)

Δt=(td-t0)/Nk=0,1,…,N

(33)

式中：tk為第k個時間點;Δt為時間步長。

在時間間隔[tk,tk+1]內對式(31)進行積分,根據(jù)積分中值定理,存在sk∈[tk,tk+1]，使：

=X(tk)+f[X(sk),sk]Δt

(34)

式中：tk+1為第k+1個時間點；sk為tk至tk+1時間段中的時間點；s為tk至tk+1時間段中的時間。

若能通過某種計算方法得到sk的近似值,則可獲得X(t)在[t0,td]上的離散近似值Xk。

5 系統(tǒng)非線性動力學特性

功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)的參數(shù)見表1。

表1 功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)

取各齒輪副的齒側間隙bl為100 μm,各齒輪副的綜合傳動誤差elm為10 μm，時變嚙合剛度表示為均值和一階諧波分量之和的形式,即:

(35)

齒輪副的綜合傳動誤差可表示為:

(36)

▲圖3 ω—為0.75時一周期響應

由圖3～圖6可以看出,隨著系統(tǒng)無量綱角頻率的變化,與線性振動系統(tǒng)不同的是,非線性系統(tǒng)的振動形態(tài)會發(fā)生本質變化,即除了與無量綱角頻率相同的簡諧響應之外,系統(tǒng)還會出現(xiàn)超諧波、擬周期，以及混沌響應。

▲圖4 ω—為0.76時三周期響應▲圖5 ω—為0.77時擬周期響應

▲圖6 ω—為0.80時混沌響應

6 結束語

將功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)簡化為八個集中質量和八個自由度的扭轉振動模型,采用間隙函數(shù)描述齒側間隙,采用傅里葉級數(shù)描述齒輪時變嚙合剛度,形成非線性振動微分方程。

由于齒側間隙和時變嚙合剛度的存在,功率二分支齒輪傳動系統(tǒng)的振動響應表現(xiàn)出較強的非線性振動特點,即不僅存在簡諧響應,而且還存在超諧響應和混沌響應。