徐 彥，王培棟，孫祿君，朱東方，方 琴

（1.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；3.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

0 引言

由于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副和其他設(shè)計(jì)需求，空間可展開機(jī)構(gòu)鉸鏈運(yùn)動(dòng)副中不可避免地存在鉸鏈間隙［1］，導(dǎo)致空間可展開機(jī)構(gòu)具有非光滑力學(xué)特征：1）鉸鏈間的間隙使得機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)與理想運(yùn)動(dòng)之間出現(xiàn)偏差，在展開和振動(dòng)過程中各構(gòu)件之間不可避免地產(chǎn)生接觸和分離；2）由于間隙的存在，使得碰撞時(shí)的加速度、運(yùn)動(dòng)副反力、平衡力矩等超出理想零間隙時(shí)的幾倍甚至十幾倍［2］；3）鉸鏈中運(yùn)動(dòng)部件間的干摩擦也是引起可展機(jī)構(gòu)非光滑特征的主要因素之一。間隙、碰撞和干摩擦等復(fù)雜非光滑因素使得空間可展開機(jī)構(gòu)在展開過程及鎖定后容易發(fā)生振動(dòng)，鎖定后在時(shí)變的空間熱載荷作用下容易引發(fā)熱致振動(dòng)，直接影響航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)以及有效載荷的指向穩(wěn)定度，且這些因素往往難以完全有效控制。

由于鉸鏈中存在間隙，在振動(dòng)過程中鉸鏈的運(yùn)動(dòng)副之間會(huì)發(fā)生相互接觸和碰撞。碰撞分析模型主要有：1）經(jīng)典瞬時(shí)沖擊模型，碰撞過程被認(rèn)為是瞬時(shí)完成的，根據(jù)恢復(fù)系數(shù)和動(dòng)量守恒定理確定碰撞前后的瞬時(shí)速度關(guān)系［3-4］。該模型不必考慮碰撞力和時(shí)間的關(guān)系，計(jì)算效率較高。但是模型中的恢復(fù)系數(shù)依賴于實(shí)驗(yàn)，缺乏完備的理論支持，也不能描述碰撞力持續(xù)時(shí)間和作用過程。2）鉸鏈的實(shí)體接觸模型［5］，可充分地考慮復(fù)雜形狀和局部變形，分析碰撞力的時(shí)間歷程與空間分布規(guī)律［6］。但是由于處理接觸過程的繁雜性和計(jì)算效率低等，在復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用較少。3）連續(xù)接觸碰撞力模型，包括Kelvin-Voigt 線性彈簧 阻尼模型［7］、Hertz 接觸模型［8］、Hunt-Crossley 模 型、Lankarani-Nikravesh（LN）模型、改進(jìn)L-N 模型、Bai 小間隙接觸模型［9］等。這些模型簡單方便，可以描述壓縮和恢復(fù)過程，考慮了接觸力的大小和接觸碰撞的時(shí)間歷程，但是各有適用條件。由于空間可展開機(jī)構(gòu)大多工作在真空環(huán)境中，運(yùn)動(dòng)副清潔表面直接接觸，在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生干摩擦。摩擦分析模型分為靜態(tài)摩擦模型和動(dòng)態(tài)摩擦模型兩類［10］。靜態(tài)模型將摩擦力描述為相對(duì)速度的函數(shù)，而動(dòng)態(tài)模型描述為相對(duì)速度和位移的函數(shù)。靜態(tài)模型包括：庫倫模型、靜摩擦與庫倫模型、Stribeck 模型、狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型、Armstrong七參數(shù)模型等。動(dòng)態(tài)模型包括：Dahl 模型、Bliman-Sorine 模型、Oden 模型、復(fù)位積分器模型、鬃毛模型、LuGre 模型［12］、Leuven 模型［11］等。對(duì)于間隙鉸鏈中的摩擦，應(yīng)采用動(dòng)態(tài)模型。

現(xiàn)有的間隙鉸鏈分析模型大多為二維模型，但是實(shí)際的間隙鉸鏈均為三維結(jié)構(gòu)，間隙鉸鏈中不僅存在銷軸徑向接觸碰撞，而且在銷軸軸向也存在接觸碰撞，銷軸軸線和軸套軸線還存在夾角。針對(duì)典型的圓柱狀鉸鏈中發(fā)生軸向和側(cè)向耦合碰撞的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，本文提出了更為合理的含間隙鉸鏈分析模型，并將其應(yīng)用于含間隙鉸鏈桁架的動(dòng)力學(xué)建模與仿真中。

1 含間隙鉸鏈非線性動(dòng)力學(xué)模型

1.1 “T”字型等效梁模型

含間隙鉸鏈運(yùn)動(dòng)副包括銷軸和軸套，實(shí)體模型如圖1 所示，可將銷軸簡化為圓柱體，軸套內(nèi)表面簡化為圓柱面。接觸碰撞力的作用點(diǎn)并不在銷軸或軸套的軸線上，為了建立含間隙鉸鏈分析模型，含間隙鉸鏈可簡化為如圖2 所示的兩個(gè)相互作用的“T”字型等效梁模型。圖2中，等效梁模型中的梁12 代表銷軸，梁45 代表軸套，點(diǎn)1、2 是銷軸的端點(diǎn)，點(diǎn)3為銷軸中點(diǎn)，點(diǎn)4、5 是軸套的端點(diǎn)，點(diǎn)6為軸套中點(diǎn)，銷軸和軸套分別通過點(diǎn)7、8 和其他構(gòu)件相連接。梁13、23、37、46、56、68 都用三維梁單元來離散建模。在該分析模型中，側(cè)向、徑向碰撞力都只能施加在銷軸和軸套梁單元的節(jié)點(diǎn)上。

圖1 含間隙鉸鏈實(shí)體Fig.1 An entity with clearance joints

圖2 “T”字型梁模型Fig.2 T-type beam model

理想的鉸鏈中沒有間隙，銷軸和軸套只存在繞公共軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)二維平面間隙鉸鏈，銷軸與軸套之間存在銷軸徑向的間隙。而實(shí)際含間隙鉸鏈結(jié)構(gòu)中同時(shí)存在側(cè)向和徑向間隙，如圖3所示。當(dāng)軸套與銷軸擋塊發(fā)生碰撞時(shí)，稱為側(cè)向碰撞（如圖3（a）所示）；當(dāng)軸套與銷軸發(fā)生沿徑向的碰撞時(shí)，稱為徑向碰撞（如圖3（b）所示）。而且側(cè)向和徑向碰撞還可能同時(shí)發(fā)生，導(dǎo)致在運(yùn)動(dòng)過程中銷軸和軸套的軸線并不重合，甚至兩者可能不在同一個(gè)平面內(nèi)。銷軸和軸套的接觸狀態(tài)取決于該時(shí)刻兩者的空間相對(duì)位置，而銷軸和軸套分別與空間可展開機(jī)構(gòu)的其他構(gòu)件相連，故銷軸和軸套的接觸狀態(tài)取決于各自所在的桿件的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為了分析鉸節(jié)點(diǎn)中銷軸和軸套的接觸碰撞過程，需要判斷銷軸和軸套之間的接觸碰撞狀態(tài)和潛在接觸點(diǎn)。

圖3 側(cè)向碰撞和徑向碰撞Fig.3 Lateral collision and radial collision

1.2 三維間隙鏈動(dòng)力學(xué)方程

本小節(jié)推導(dǎo)考慮含間隙鉸鏈后的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析過程。如前所述，將含間隙鉸鏈的實(shí)體模型圖（如圖1 所示）簡化為如圖2 所示的兩個(gè)相互作用的“T”字型模型，銷軸中心點(diǎn)的位矢為Ri，軸套中心點(diǎn)的位矢為Rj，其中，銷軸中的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1、2、3、7，對(duì)應(yīng)的軸套中節(jié)點(diǎn)為4、5、6、8。

模型中的桿13、23、37 和46、56、68 都用有限元法的歐拉梁單元來離散建模，可以得到一個(gè)“T”字型模型的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

式中：M、C、K分別為不考慮鉸鏈間隙時(shí)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。

由梁單元相關(guān)矩陣集成得到廣義位移矢量為

F為外載荷節(jié)點(diǎn)力矢量，F(xiàn)a為附加的非線性鉸鏈力矢量，可通過后續(xù)的含間隙鉸鏈接觸力分析模型得到。

式（1）即為含間隙鉸鏈的動(dòng)力學(xué)模型，可以方便地集成到總體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程中。采用相應(yīng)的數(shù)值積分算法如Newmark 法，即可進(jìn)行含間隙鉸鏈結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析。

2 含間隙鉸鏈接觸力分析模型

2.1 接觸碰撞檢測算法

如圖1 所示的含間隙鉸鏈，將銷軸簡化為圓柱體，軸套內(nèi)表面簡化為圓柱面，銷軸和軸套在1 節(jié)點(diǎn)側(cè)接觸碰撞分析模型如圖4 所示。銷軸兩端面圓心分別為點(diǎn)1 和2，點(diǎn)3為銷軸軸線12 的中點(diǎn)。軸套兩端面圓心分別為點(diǎn)4 和5。銷軸中心點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)為Ri，軸套中心點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)為Rj。

圖4 左側(cè)接觸碰撞分析模型Fig.4 Analysis model for the contact collision on the left side

推導(dǎo)徑向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)和最小距離，軸套端面圓周上的某一點(diǎn)與銷軸圓柱外表面間的距離是軸套與銷軸間的最小距離，且在同一時(shí)刻軸套的兩個(gè)端面圓周都有可能與銷軸發(fā)生接觸，即潛在接觸點(diǎn)必然位于軸套兩端面的圓周上。圖4中，已知銷軸兩端節(jié)點(diǎn)1、2、3 在絕對(duì)坐標(biāo)系下的位矢分別為R1i、R2i、R3i，和軸套兩端節(jié)點(diǎn)4、5 在絕對(duì)坐標(biāo)系下的位矢分別為R4i、R5j。還已知銷軸外徑為Ri，軸套內(nèi)徑為rj，外半徑為Rj。接下來分步驟說明：

步驟1確定切平面?T1T'1。

如圖4 所示，銷軸軸線矢量r12=R2i?R1i，由軸套一端面圓心4 點(diǎn)向銷軸軸線單位矢量作垂線，垂足記為4'，在矢量三角形△344'中有

其絕對(duì)坐標(biāo)R4'為

則4 點(diǎn)和4'點(diǎn)的連接矢量為

其單位矢量為e44'。延長線44'與銷軸圓柱體在4'處的橫截面圓周相交于點(diǎn)T1，點(diǎn)T1的絕對(duì)坐標(biāo)RT1為

過點(diǎn)T1作銷軸圓柱體外表面的切平面，記為YT1T'1，方程為

切平面中既垂直于44'，又垂直于銷軸軸線矢量r12的一條直線矢量rT1T1'為

步驟2確定徑向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)。

過點(diǎn)4 作銷軸切平面?T1T'1的平行平面?τ1，平面?τ1中過點(diǎn)4 并和rT1T1'平行的直線為4Q1，線4Q1的矢量為r4Q1=rT1T1'。徑向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)位于和平面?τ1平行的軸套切平面上，在以點(diǎn)4為圓心的軸套端面內(nèi)圓周上，則線4-的矢量為

潛在碰撞點(diǎn)在線44'上的投影位于線44'的延長線，故如果 滿足r4n′j1·e44'＞0，點(diǎn)的位矢即 可求得

如果滿足r4n′j1·e44'＜0，點(diǎn)的位矢為

步驟3確定徑向碰撞的間隙大小和方向。

如果軸套上點(diǎn)嵌入銷軸，下式為負(fù)號(hào)；如果軸套和銷軸處于分離狀態(tài)，下式為正號(hào)。

軸套和銷軸在該端部的徑向接觸碰撞最小距離為

如果S1＜0 發(fā)生接觸碰撞，該端部接觸碰撞力在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)，在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)ni1，作用方向沿著44'矢量方向，銷軸對(duì)軸套的非線性接觸力作用方向e44'。整理上述公式得到軸套和銷軸在該端部的徑向接觸碰撞最小距離為

式中的各項(xiàng)均為銷軸、軸套的軸線矢量及截面尺寸，故徑向接觸碰撞最小距離為銷軸、軸套的軸線節(jié)點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)及截面尺寸的函數(shù)。

步驟4確定側(cè)向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)。

接下來推導(dǎo)側(cè)向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)和最小距離，側(cè)向碰撞發(fā)生在軸套外表面和銷軸擋板之間。以點(diǎn)4為圓心的軸套端面和以點(diǎn)4'為圓心的銷軸截面相交于過點(diǎn)4 的直線4P1，該直線分別和銷軸、軸套軸線垂直，矢量4P1為

側(cè)向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)在以點(diǎn)4為圓心的軸套端面外圓周上，且距離銷軸擋板最小，等效于距離以點(diǎn)4'為圓心的銷軸截面最大。故線4-垂直于交線4P1，同時(shí)垂直于軸套軸線45，有

側(cè)向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)在軸線12 上的投影位于點(diǎn)4'的左側(cè)，故如果滿 足r4nj″1·e12＞0，點(diǎn)的位矢即可求得

式中：Rj為軸套外半徑。

潛在碰撞點(diǎn)在軸套上，對(duì)應(yīng)的銷軸上的潛在碰撞點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)為

步驟5確定側(cè)向碰撞的間隙大小和方向。

記銷軸軸線長度為Li=|r12|，點(diǎn)和點(diǎn)3 的連線矢量為銷軸擋板平面的法矢即銷軸軸線矢量r12，如果軸套上點(diǎn)嵌入銷軸擋板平面，下式為負(fù)號(hào)；如果軸套和銷軸擋板平面處于分離狀態(tài)，下式為正號(hào)。

則軸套和銷軸在該端部的側(cè)向接觸碰撞最小距離為

如果S3＜0 發(fā)生接觸碰撞，該端部接觸碰撞力在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)，在銷軸擋板上的作用點(diǎn)在點(diǎn)，作用方向沿著銷軸軸線方向，銷軸對(duì)軸套的非線性接觸力作用方向?yàn)閑12。整理上述公式得到軸套和銷軸在該端部的側(cè)向接觸碰撞最小距離為

側(cè)向接觸碰撞最小距離也為銷軸和軸套的軸線節(jié)點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)及截面尺寸的函數(shù)。

采用同樣方法可以進(jìn)行2 節(jié)點(diǎn)側(cè)的潛在接觸碰撞檢測。

2.2 含間隙鉸鏈接觸力分析模型

含間隙鉸鏈接觸碰撞的類型按銷軸和軸套軸線是否平行可分為兩大類：如果銷軸和軸套軸線平行，徑向碰撞為線碰撞，側(cè)向碰撞為面碰撞，其中線碰撞可簡化為二維碰撞，按點(diǎn)碰撞處理；如果銷軸和軸套軸線不平行，徑向碰撞為點(diǎn)碰撞，側(cè)向碰撞為點(diǎn)碰撞或者點(diǎn)-面斜碰撞。

2.2.1 點(diǎn)碰撞力分析

在圖4中，接觸碰撞對(duì)點(diǎn)ni和點(diǎn)的碰撞截面是過點(diǎn)ni的銷軸截面，其受力狀態(tài)按以下模型近似處理。根據(jù)間隙尺寸的不同，可以按以下兩種碰撞力假設(shè)模型建模：小間隙的鉸鏈徑向非線性接觸模型和大范圍間隙的鉸鏈徑向非線性接觸模型。

1）小間隙的鉸鏈徑向非線性接觸模型。

對(duì)于小間隙接觸碰撞，由于接觸碰撞載荷的作用，將導(dǎo)致間隙鉸軸與軸承間的接觸面積增大，進(jìn)一步將導(dǎo)致間隙鉸軸與軸承的接觸為協(xié)調(diào)接觸。采用改進(jìn)的非線性連續(xù)接觸力模型來描述小間隙的鉸鏈接觸碰撞作用［9］，其表達(dá)式如下：

式中：δ為接觸點(diǎn)穿透深度為相對(duì)碰撞速度；K為碰撞體的非線性剛度系數(shù)；ξ為改進(jìn)的阻尼系數(shù)。式中右邊第一項(xiàng)代表碰撞過程的彈性變形力，第二項(xiàng)為碰撞過程中的阻尼力項(xiàng)，則述了碰撞過程中的能量損失行為。在圖4中，F(xiàn)N的作用方向沿著44'矢量方向。

碰撞體的非線性剛度系數(shù)為［13］

式中：R1、R2為接觸對(duì)在接觸點(diǎn)處的曲率半徑，當(dāng)小間隙時(shí)，銷軸和軸套的軸線夾角不大，軸套和銷軸的彈性變形較小，可以視為軸套和銷軸的幾何半徑；E'為復(fù)合彈性模量。

改進(jìn)的阻尼系數(shù)ξ為

式中：ce為恢復(fù)系數(shù)為接觸點(diǎn)的初始相對(duì)速度。該阻尼系數(shù)不受碰撞恢復(fù)系數(shù)的限制。

2）大范圍間隙的鉸鏈徑向非線性接觸模型。

協(xié)調(diào)接觸模型和非協(xié)調(diào)接觸模型中的大間隙和小間隙假設(shè)，限制了接觸模型在不同間隙下的適用性。因此，為了建立更加精確的接觸模型，需要從精確的接觸深度和接觸半角關(guān)系著手［15］。鉸鏈中單耳板和銷軸間隙接觸時(shí)，鉸鏈接觸力和接觸點(diǎn)穿透深度的關(guān)系為

該接觸碰撞模型的假設(shè)與接觸體之間的間隙大小無關(guān)，適用于大范圍間隙下的鉸鏈接觸。

2.2.2 摩擦模型

含間隙鉸鏈存在干摩擦，Coulomb 摩擦模型是應(yīng)用最為廣泛的鉸鏈間摩擦模型，其形式如下：

式中：μd為滑動(dòng)摩擦系數(shù)；FN為法向接觸力；vt為接觸過程中的相對(duì)切向速度。摩擦力總是阻礙運(yùn)動(dòng)，與運(yùn)動(dòng)速度vt相反，其大小為常值。

運(yùn)動(dòng)副元素在切向接觸時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)會(huì)出現(xiàn)粘滯等現(xiàn)象，并且在數(shù)值計(jì)算時(shí)摩擦力會(huì)隨著速度方向的變化而突變。為了解決切向速度為零時(shí)摩擦力狀態(tài)轉(zhuǎn)換的問題，采用一種修正的Coulomb 摩擦力模型［14］，該模型中摩擦系數(shù)隨切向滑動(dòng)速度動(dòng)態(tài)變化，摩擦力計(jì)算公式為

該模型中摩擦系數(shù)μ是滑動(dòng)摩擦系數(shù)μd和動(dòng)態(tài)修正系數(shù)cd的函數(shù)，μ=μdcd，

式中：v0、v1為給定的切向速度限值；vt=|vt|。

2.2.3 面碰撞力分析

當(dāng)銷軸和軸套的軸線平行（R12//R45）時(shí)，軸套和銷軸側(cè)板之間的接觸類型為面接觸，接觸面域?yàn)閳A環(huán)，面積為

接觸碰撞力可表示為［16］

式中：Ej為軸套材料的彈性模量；Rj為軸套外半徑；rj為內(nèi)徑；lj為軸套 長度。

3 非線性鉸鏈力施加方法

3.1 點(diǎn)碰撞的等效施加

3.1.1 徑向接觸力的等效施加

如圖5 所示，銷軸和軸套在1 節(jié)點(diǎn)側(cè)發(fā)生了徑向碰撞，該端部接觸碰撞力在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)，在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)ni1。銷軸和軸套在建模時(shí)分別用桿單元12 和45代替，軸套45在接觸點(diǎn)處受到的徑向碰撞力FN1，銷軸12在點(diǎn)ni1受到碰撞力FN1，徑向碰撞力必位于點(diǎn)1、2、4所在的平面Y124內(nèi)。

圖5 徑向接觸力等效施加Fig.5 Equivalent application of the radial contact force

根據(jù)力的等效原理，在平面?124 上，如果將軸套45 在點(diǎn)所受的碰撞力平移到點(diǎn)4，需要在點(diǎn)4上施加力Fj4，還需要同時(shí)施加如圖5 所示的力矩Mj4：

同樣，將銷軸在接觸點(diǎn)ni受到的碰撞力進(jìn)行等效平移到點(diǎn)1，需要同時(shí)施加如圖5 所示的力Fi1和力矩Mi1：

3.1.2 側(cè)向接觸力的等效施加

如圖6 所示，如果銷軸和軸套在一端發(fā)生了側(cè)向碰撞，考慮實(shí)際中軸套的壁厚，接觸點(diǎn)為點(diǎn)銷軸和軸套在建模時(shí)分別用桿單元12 和45 代替，軸套45 在接觸點(diǎn)受到的側(cè)向碰撞力FN3，銷軸擋板在點(diǎn)點(diǎn)受到碰撞力FN3。

圖6 側(cè)向接觸力等效施加Fig.6 Equivalent application of the lateral contact force

采用相同的等效方法，在平面?124 上，將軸套45 在點(diǎn)所受的碰撞力平移到點(diǎn)4，需要在點(diǎn)4 上施加力Fj4，還需要同時(shí)施加如圖6 所示的力矩Mj4：

將銷軸擋板在接觸點(diǎn)受到的碰撞力平移到點(diǎn)1，需要同時(shí)施加如6 圖所示的力Fi1和力矩Mi1：

接觸點(diǎn)處的摩擦力等效和接觸力類似。

3.2 面碰撞的等效施加

當(dāng)銷軸擋板和軸套發(fā)生面碰撞時(shí)，采用相同的等效方法，在平面?124 上，將軸套45 所受的碰撞力FN平移到點(diǎn)4，得

銷軸所受的碰撞力FN平移到點(diǎn)1，得

3.3 含間隙鉸鏈碰撞合力模型

當(dāng)含間隙鉸鏈存在N個(gè)接觸碰撞點(diǎn)，等效施加后，各節(jié)點(diǎn)上附加的非線性鉸鏈力由上述各種碰撞類型的碰撞力集成得到，如“T”字型等效梁模型中節(jié)點(diǎn)1、4、2、5 上作用總的接觸碰撞力為

然后將非線性鉸鏈力等效施加到圖2中“T”字型模型的節(jié)點(diǎn)1、2 和4、5 上，得

式中：Fi、Mi見式（38）。

4 含間隙鉸鏈數(shù)值仿真

4.1 含間隙鉸鏈模型驗(yàn)證

為了研究間隙的存在對(duì)含間隙鉸鏈結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性和響應(yīng)的影響，設(shè)計(jì)如圖7 所示的含間隙鉸鏈“T”字型模型作為研究對(duì)象，黑色線條表示銷軸，紅色線條表示軸套。含間隙鉸鏈模型的軸向?yàn)閦向，長度為1.0 m，在中點(diǎn)處有一個(gè)含間隙鉸鏈。模型的頂點(diǎn)No.7 節(jié)點(diǎn)6 自由度固定約束，下部節(jié)點(diǎn)No.8 施加外部激勵(lì)。銷軸的兩端節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為No.1 和No.2，中點(diǎn)編號(hào)為No.3，銷軸中點(diǎn)和頂點(diǎn)No.1 連接。軸套的兩端節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為No.4 和No.5，中點(diǎn)編號(hào)為No.6，軸套中點(diǎn)和下部節(jié)點(diǎn)No.8相連。銷軸的長度為0.04 m，軸套的長度為0.038 m。初始時(shí)刻，銷軸和軸套軸線重合。

圖7 含間隙鉸鏈分析模型Fig.7 Analysis model with clearance joints

銷軸半徑為0.047 m，軸套內(nèi)半徑為0.05 m，軸套外半徑為0.055 m。梁37 和68 的材質(zhì)為復(fù)合材料（彈性模量E=45 GPa，泊松比為0.34）。銷軸和軸套的材質(zhì)為不銹鋼（彈性模量E=206 GPa，泊松比為0.3）。

在下部節(jié)點(diǎn)No.8 施加軸向的脈沖激勵(lì)

總分析時(shí)長為5.0 s，作瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)時(shí)程如圖8 所示，其中脈沖激勵(lì)作用過程0 ≤t≤0.01 s 時(shí)間段各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)時(shí)程被放大顯示。

圖8 各節(jié)點(diǎn)UZ 位移響應(yīng)Fig.8 UZ displacement response of each node

與ANSYS 軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，含間隙鉸鏈模型仿真得到的自由端No.8 節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于ANSYS 軟件分析模型中的No.5節(jié)點(diǎn)，兩者仿真結(jié)果中UZ位移響應(yīng)如圖9所示，可以看出響應(yīng)曲線形狀非常相近。

圖9 No.8 節(jié)點(diǎn)UZ 位移響應(yīng)Fig.9 UZ displacement responses of No.8 node

節(jié)點(diǎn)No.3 和No.6 的初始z向間距為1 mm，徑向間隙大小為3 mm。鉸鏈模型中節(jié)點(diǎn)No.3 和No.6 之間的UZ位移差響應(yīng)時(shí)程如圖10 所示，可見位移差在?2～4 mm 之內(nèi)，從而驗(yàn)證了前述含間隙鉸鏈模型采用施加附加非線性力來處理間隙的方法的正確性。

圖10 節(jié)點(diǎn)No.3 和No.6 的UZ 位移差響應(yīng)時(shí)程Fig.10 UZ displacement difference response of No.3 and No.6 nodes

在軸向振動(dòng)過程中，1 節(jié)點(diǎn)附近發(fā)生徑向碰撞，各個(gè)時(shí)刻碰撞點(diǎn)的z坐標(biāo)隨時(shí)間變化情況如圖11 所示?？梢姶蟛糠謺r(shí)間沒有發(fā)生徑向碰撞，發(fā)生碰撞時(shí)徑向碰撞點(diǎn)的z坐標(biāo)為?0.547 和?0.453 m。其中，脈沖激勵(lì)作用過程0 ≤t≤0.01 s 時(shí)間段碰撞點(diǎn)的z坐標(biāo)隨時(shí)間變化情況如圖11（b）所示，發(fā)生碰撞時(shí)徑向碰撞點(diǎn)的z坐標(biāo)為?0.547 m?？紤]到銷軸軸線的初始z坐標(biāo)為0.5 m，軸套的內(nèi)半徑為0.047 m，從而驗(yàn)證了前述推導(dǎo)的接觸碰撞分析和潛在碰撞點(diǎn)公式的正確性。

圖11 徑向碰撞點(diǎn)Z 坐標(biāo)變化情況Fig.11 Changes of the Z coordinates of the radial collision points

圖12 基本桁架單元Fig.12 Basic truss unit

計(jì)算效率方面，由于本算例模型比較簡單，自編程序和ANSYS 軟件的計(jì)算時(shí)間相當(dāng)。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型，自編程序的計(jì)算時(shí)間更長，后續(xù)需要改進(jìn)自編程序的動(dòng)力學(xué)時(shí)程積分算法及程序?qū)崿F(xiàn)。

4.2 有間隙桁架天線的非線性動(dòng)力學(xué)仿真

超大尺寸桁架天線一共有18 個(gè)如圖12 所示的基本桁架單元，建立含間隙鉸鏈的超大尺寸桁架天線的一個(gè)單元模型，如圖13 所示。模型中一個(gè)隔板下有兩根連梁，該連梁中有兩個(gè)含間隙鉸鏈，另一個(gè)隔板下也有兩根連梁，該連梁中有一個(gè)含間隙鉸鏈。模型左端隔板3 個(gè)頂點(diǎn)固定約束。

圖13 含間隙鉸鏈的桁架天線模型Fig.13 Truss antenna model with clearance joints

在桁架天線的自由端截面頂點(diǎn)施加脈沖激勵(lì)

作瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)程，包括位移、速度、加速度等。模型自由端截面連梁中，含間隙鉸鏈1 銷軸中點(diǎn)No.98 的位移時(shí)程曲線如圖14 所示。銷軸中點(diǎn)No.98 和軸套中點(diǎn)No.101 之間的位移差時(shí)程曲線如圖15 所示。

桁架天線的自由端截面頂點(diǎn)No.37 的振動(dòng)位移時(shí)程曲線如圖16 所示。各關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)速度和加速度時(shí)程曲線同樣也可以得到。

圖14 點(diǎn)No.98 的位移時(shí)程曲線Fig.14 Displacement curves of No.98 node

圖15 位移差時(shí)程曲線Fig.15 Displacement difference curves

圖16 點(diǎn)No.37 的位移時(shí)程曲線Fig.16 Displacement curve of No.37 node

由分析結(jié)果可知：在外部載荷作用下，桁架開始振動(dòng)。由于間隙的存在，面陣保持靜止。0.013 9 s 左右時(shí)，含間隙鉸鏈1中銷軸和軸套的徑向位移差超過了預(yù)設(shè)的間隙大小，含間隙鉸鏈銷軸和軸套發(fā)生碰撞，鉸鏈中產(chǎn)生非線性附加力，使得面陣開始振動(dòng)。經(jīng)過一段時(shí)間后，上、下部節(jié)點(diǎn)的位移差又小于間隙，含間隙鉸鏈處于分離狀態(tài)，此時(shí)非線性附加力為零，桁架和面陣分別獨(dú)立振動(dòng)。隨著時(shí)間推移，含間隙鉸鏈不斷在接觸和分離兩個(gè)狀態(tài)中變換。在此過程中，含間隙鉸鏈銷軸和軸套中點(diǎn)的位移差一直在間隙大小±3 mm 之內(nèi)。

5 結(jié)束語

本文建立了含間隙鉸鏈的非線性動(dòng)力學(xué)模型，將含間隙鉸鏈等效為“T”字型模型，研究了鉸鏈中各部件的碰撞檢測算法，發(fā)展了不同狀態(tài)的接觸力分析模型及非線性鉸鏈力施加方法。分析了“T”字型等效梁模型在軸向沖擊載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，得到位移、速度、加速度時(shí)程曲線，并可得到碰撞狀態(tài)和碰撞點(diǎn)、碰撞力等信息。與ANSYS 軟件中組合單元模型的分析結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文提出的含間隙鉸鏈非線性動(dòng)力學(xué)模型的有效性?；谠撃Ｐ停治隽撕鄠€(gè)含間隙鉸鏈的可展開桁架結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)果表明：采用含間隙鉸鏈的動(dòng)力學(xué)模型可以得到位移、速度、加速度等動(dòng)力學(xué)行為。

后續(xù)將針對(duì)不同的含間隙鉸鏈，發(fā)展更合理的非線性接觸力分析模型，并將本文提出的含間隙鉸鏈非線性動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)用于機(jī)構(gòu)多體動(dòng)力學(xué)分析中。含間隙鉸鏈的試驗(yàn)研究困難較大，將發(fā)展含間隙鉸鏈的試驗(yàn)測試技術(shù)，測試出不同類型載荷下鉸鏈中的瞬態(tài)碰撞狀態(tài)和碰撞力、摩擦力等，并和本文仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。