吳琴　張華剛　李富江　張鑫　魏艷輝　馬克儉

摘???要：為了解網(wǎng)格式框架抵抗水平荷載作用的能力，基于D值法，假定軸力在結(jié)構(gòu)橫截面上呈線性分布，且考慮彎曲變形和剪切變形的影響，得到了在倒三角形分布荷載、均布荷載和頂點集中荷載等作用下結(jié)構(gòu)的等效抗側(cè)剛度公式，并用有限元法及試驗做了對比.?結(jié)果表1明：結(jié)構(gòu)側(cè)移以剪切變形為主，但彎曲側(cè)移的影響隨結(jié)構(gòu)高度的增加而增加，因此應(yīng)考慮彎曲側(cè)移對總側(cè)移的影響;中柱的軸向變形對結(jié)構(gòu)抗側(cè)剛度及側(cè)移的影響較小;與有限元法及試驗結(jié)果的折算抗側(cè)剛度相比，本文的等效抗側(cè)剛度公式具有理想的計算精度，可用于預(yù)估結(jié)構(gòu)的抗側(cè)能力.

關(guān)鍵詞：網(wǎng)格式框架;等效抗側(cè)剛度;D值法;有限元分析;試驗研究

中圖分類號：TU313.1????????????????????????文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Analysis?of?Equivalent?Lateral?Resisting?Stiffness?for?Grid?Frame?Structure

WU?Qin1，ZHANG?Huagang1？，LI?Fujiang3，ZHANG?Xin1，WEI?Yanhui1，MA?Kejian1，2

（1.?Space?Structures?Research?Center，Guizhou?University，Guiyang?550003，China;

2.?College?of?Civil?Engineering，Hunan?University，Changsha?410082，China;

3.?Guizhou?Construction?Supervision?&?Consulting?Co，Ltd，Guiyang?550081，China）

Abstract：In?order?to?understand?the?resistance?of?grid?frame?structure?under?horizontal?loads，based?on?D-value?method，assuming?that?axial?force?is?linearly?distributed?on?structural?cross?section?and?considering?the?influence?of?bending?and?shear?deformation，this?study?deduced?the?equivalent?lateral?resisting?stiffness?formula?under?inverted?triangular?load，uniformly?distributed?load?and?vertex?concentrated?load.?The?results?were?compared?with?that?of?finite?element?method?and?experiment.The?results?show?that?lateral?displacement?of?this?structure?is?given?priority?to?shear?deformation，and?with?the?increase?of?structure?height，the?influence?of?bending?displacement?becomes?larger，so?that?the?effect?of?bending?displacement?on?the?total?lateral?displacement?should?be?considered.?The?influence?of?axial?deformation?of?middle?column?on?structural?lateral?resisting?stiffness?and?displacement?is?smaller.Compared?with?the?calculated?lateral?stiffness?by?finite?element?method?or?test?results，the?equivalent?lateral?stiffness?formula?in?this?paper?has?reliable?calculation?accuracy，and?can?be?used?to?estimate?the?capability?of?resisting?lateral?deformation.

Key?words：grid?frame?structure;equivalent?lateral?stiffness;D-value?method;finite?element?analysis;experimental?study

我國的磷礦資源較為豐富，對濕法生產(chǎn)磷酸后排放的磷石膏進(jìn)行資源化利用，是綜合治理磷石膏污染的有效途徑.?鑒于當(dāng)前對磷石膏應(yīng)用的領(lǐng)域主要集中在化工、建材、農(nóng)業(yè)和礦山回填等這一現(xiàn)

狀[1-2]，馬克儉等[3]提出現(xiàn)澆磷石膏-混凝土網(wǎng)格式框架組合墻結(jié)構(gòu)，可將磷石膏作為承重材料現(xiàn)澆應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)中;張華剛、吳琴等[4-5]系統(tǒng)測定了現(xiàn)澆磷石膏的抗壓強度和本構(gòu)關(guān)系，并在小高層結(jié)構(gòu)中成功進(jìn)行了組合墻的工程實踐[6];盧亞琴等[7]開展了低周往復(fù)水平荷載作用下的縮尺模型試驗，表1明這種組合墻破壞時主要表1現(xiàn)為剪切型破壞，這是因為網(wǎng)格式框架是在普通框架基礎(chǔ)上增設(shè)了中間柱和層間梁，從而形成密柱密梁框架，并使框架和現(xiàn)澆磷石膏互為有效約束的緣故.?姜忻良等[8-9]對混凝土密排內(nèi)框架-纖維石膏板組合墻所做的低周往復(fù)荷載試驗表1明，內(nèi)框架僅在層高處設(shè)混凝土梁連接密排芯柱，因此結(jié)構(gòu)破壞時密排芯柱表1現(xiàn)為彎曲型破壞，結(jié)構(gòu)的受力性能類似于帶豎縫的剪力墻，可見設(shè)置層間梁將改變結(jié)構(gòu)的受力性質(zhì).

現(xiàn)澆磷石膏具有高度脆性性質(zhì)[4]，在將組合墻應(yīng)用于高層建筑而現(xiàn)澆磷石膏又開裂后，混凝土網(wǎng)格式框架將成為結(jié)構(gòu)的主要承重骨架[7]，而網(wǎng)格式框架的面外剛度又相對較弱.?張華剛等[10]對其開展了穩(wěn)定承載力研究，獲得了彈性臨界力的解析解.?在組合墻自身平面內(nèi)，網(wǎng)格式框架的抗側(cè)剛度將成為影響結(jié)構(gòu)抗側(cè)性能的關(guān)鍵因素，王其明等[11]、劉陽等[12]主要基于有限元分析，討論了梁柱線剛度比值等因素對抗側(cè)剛度的影響.?上述研究工作對推動這種組合墻的工程應(yīng)用是有益的.

水平荷載對高層建筑的影響往往起控制作用，設(shè)計時需經(jīng)過多輪計算才能合理確定結(jié)構(gòu)的承載力.?在現(xiàn)澆磷石膏-混凝土網(wǎng)格式框架組合墻中，地震作用下現(xiàn)澆磷石膏可作為結(jié)構(gòu)抵抗水平荷載的安全儲備，因此有必要提供網(wǎng)格式框架抗側(cè)剛度的等效計算公式，以便預(yù)估結(jié)構(gòu)的抗側(cè)能力，提高結(jié)構(gòu)設(shè)計效率.?本文基于D值法，綜合考慮剪切變形和彎曲變形的影響來推導(dǎo)網(wǎng)格式框架的等效抗側(cè)剛度，并采用有限元法和試驗結(jié)果加以驗證，以期為結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用提供參考.

1???網(wǎng)格式框架的等效抗側(cè)剛度

1.1???結(jié)構(gòu)的剪切剛度

如圖1所示，由D值法可得網(wǎng)格式框架第j列第i行柱的抗側(cè)剛度為[13]：

Dij?=?αij.????????（1）

式中：αij為梁柱線剛度比值對柱剪切剛度的影響系數(shù);hci為結(jié)構(gòu)第i行網(wǎng)格的高度;icij為柱的線剛度.?則結(jié)構(gòu)第i行網(wǎng)格的抗側(cè)剛度為：

Di?=?Dij.????????（2）

式中：2n為結(jié)構(gòu)的柱總數(shù).?水平荷載作用下結(jié)構(gòu)第i行網(wǎng)格的側(cè)移為：

δi?=?Vi?/Di.????????（3）

則其剪切變形為：

γi?=?Vi?/（hciDi）.????????（4）

式中：Vi為結(jié)構(gòu)第i行網(wǎng)格的總剪力.?當(dāng)γi?=?1時，可得其剪切剛度為：

Cki?=?hci?/Di.????????（5）

可見，當(dāng)梁柱的線剛度改變時，網(wǎng)格式框架的剪切剛度隨即會變，為簡化計算，可采用加權(quán)平均值來表1征其剪切剛度：

Ck?=?Cki?/hci.????????（6）

式中：H為結(jié)構(gòu)總高度;m為結(jié)構(gòu)的豎向網(wǎng)格數(shù).

1.2???結(jié)構(gòu)的側(cè)移計算

1.2.1???側(cè)移計算原理

將結(jié)構(gòu)整體看作懸臂立柱，則水平荷載引起的側(cè)移將由彎曲側(cè)移和剪切側(cè)移疊加而成，其中彎曲側(cè)移由柱的拉伸和壓縮引起，剪切側(cè)移由梁柱自身的彎曲變形引起，均可由虛功原理計算[14].

在圖1上從某行網(wǎng)格的柱中點截斷結(jié)構(gòu)后，水平荷載引起的結(jié)構(gòu)總彎矩M（x）將由柱軸力合成的彎矩來平衡，如圖2所示.?假設(shè)柱的軸力在水平截面上按線性分布，則第j列柱的軸力Nj（x）與邊柱軸力Nb（x）的關(guān)系見式（7）.

Nj（x）?=?2BjNb（x）/B.????????（7）

式中：B為網(wǎng)格式框架的寬度;Bj為第j列柱與x軸的距離，則由力矩平衡關(guān)系可得邊柱的軸力為：

Nb（x）?=?M（x）B/4

B2

j.????????（8）

式中：n為網(wǎng)格式框架B/2寬度內(nèi)的柱數(shù)，因此結(jié)構(gòu)的彎曲側(cè)移可按式（9）計算.

yM（x）?=?2dη.????????（9）

式中：Nb（η）為結(jié)構(gòu)在η高度處由荷載引起的邊柱軸力;[N]b1（η）為在x高度處施加單位水平力后引起η高度處的邊柱軸力;EAb為單側(cè)邊柱的軸向剛度，近似采用加權(quán)平均值表1示：

EAb?=?EAbi?hci.??????????（10）

剪切變形引起的側(cè)移按虛功原理為：

yV（x）?=?dη.????????（11）

式中：V（η）為η高度處結(jié)構(gòu)的總剪力;[V]1（η）為在x高度處施加單位水平集中力后引起的η高度處的結(jié)構(gòu)總剪力.

疊加式（9）、式（11）得網(wǎng)格式框架的總側(cè)移為：

y（x）?=?yM（x）?+?yV（x）.????????（12）

1.2.2???結(jié)構(gòu)側(cè)移計算

1）倒三角形分布荷載作用

在倒三角形分布荷載q作用下，由式（8）可得網(wǎng)格式框架的邊柱在任意高度x處的軸力為：

Nb（x）?=?1-

·

+

.???（13）

其中M0?=?qH2/3，為倒三角形分布荷載作用下結(jié)構(gòu)的柱腳總彎矩.?在結(jié)構(gòu)x高度處施加單位水平集中力后，邊柱在結(jié)構(gòu)高度η處的軸力為：

[N]b1（η）?=?B（x?-?η）/4

B2

j.????????（14）

引入相對坐標(biāo)ξ?=?x/H后，由式（9）可得結(jié)構(gòu)的彎曲側(cè)移為：

yM（x）?=?ξ2?-

ξ3?+

ξ5.

（15）

由式（11）可得結(jié)構(gòu)的剪切側(cè)移為：

yV（x）?=?ξ?-

ξ3.????????（16）

當(dāng)ξ?=?1時，由式（12）可得結(jié)構(gòu)的頂點側(cè)移為：

Δ?=

1+.????????（17）

2）頂點集中荷載作用

在頂點水平集中荷載F作用下，由式（8）可得結(jié)構(gòu)邊柱的軸力為：

Nb（x）?=?F（H?-?x）B/4

B2

j.????????（18）

在高度x處施加單位水平集中力后，引起邊柱在結(jié)構(gòu)高度η處的軸力為：

[N]b1（η）?=?（x?-?η）B/4

B2

j.????????（19）

則由式（9）和式（11）可分別得結(jié)構(gòu)的彎曲側(cè)移和剪切側(cè)移為：

yM（x）?=?3ξ2?-?ξ3;????????（20）

yV（x）?=?ξ.????????（21）

其中M0?=?FH，為頂點集中力引起的柱腳總彎矩.?同樣由式（12）可得結(jié)構(gòu)的頂點側(cè)移為：

Δ?=

1+.????????（22）

3）均布荷載作用

由式（8）可得到均布荷載q作用下結(jié)構(gòu)邊柱軸力為：

Nb（x）?=?q（H?-?x）2B/8

B2

j.????????（23）

在結(jié)構(gòu)高度x處施加的單位水平力引起結(jié)構(gòu)高度η處的邊柱軸力為：

[N]b1（η）?=?（x?-?η）B/4

B2

j.????????（24）

因此由式（9）和式（11）分別得結(jié)構(gòu)的彎曲側(cè)移和剪切側(cè)移為：

yM（x）?=?6ξ2?-?4ξ3?+?ξ4;

（25）

yV（x）?=?2ξ?-?ξ2.????????（26）

其中M0?=?qH2/2，為均布荷載引起的結(jié)構(gòu)柱腳總彎矩.?則由式（12）可得結(jié)構(gòu)的頂點側(cè)移為：

Δ?=

1+.????????（27）

1.3???結(jié)構(gòu)的等效抗側(cè)剛度

比擬荷載作用下懸臂梁的位移計算，可由式（17）、式（22）和式（27）得到網(wǎng)格式框架的等效抗側(cè)剛度，并統(tǒng)一表1述為：

EJk?=?βCkH2/（1?+?γ）.????????（28）

式中：β為計算系數(shù)，倒三角形分布荷載作用時取為1/3.64，頂點集中荷載作用時取1/3，均布荷載作用時取1/4;γ為柱軸向變形的影響系數(shù)，按以下公式計算.

1）倒三角形分布荷載作用

γ?=?.????????（29a）

2）頂點集中荷載作用

γ?=?.????????（29b）

3）均布荷載作用

γ?=?.????????（29c）

當(dāng)不計中柱軸向變形對彎曲側(cè)移的影響時，γ可簡化為：

1）倒三角形分布荷載作用

γ?=?.????????（30a）

2）頂點集中荷載作用

γ?=?.????????（30b）

3）均布荷載作用

γ?=?.????????（30c）

2???有限元驗證

此處基于有限元基本原理來驗證前述式（28）的計算精度.?算例情況如圖3所示，混凝土的強度等級為C30.

按前節(jié)理論，由式（6）計算網(wǎng)格式框架加權(quán)剪切剛度的過程見表11，結(jié)構(gòu)等效抗側(cè)剛度及頂點位移的計算結(jié)果詳見表12，其中彎曲側(cè)移和剪切側(cè)移分別按式（9）和式（11）計算.?結(jié)構(gòu)頂點位移計算所用的荷載值分別為：1）倒三角形分布荷載作用時，q=225?kN/m;2）頂點集中力作用時，F(xiàn)?=?100?kN;3）均布荷載作用時，q?=?250?kN/m.

有限元分析時，由于樓層梁和層間梁的跨度較小而有可能成為深梁，采用普通梁單元將不能估計梁的剪切變形影響，故全部結(jié)構(gòu)構(gòu)件均采用了8節(jié)點彈性塊體單元[15]，柱腳節(jié)點均約束其三向線位移以模擬嵌固支承，有限元模型如圖4所示.?混凝土的彈性模量Ec?=?3?×?104?N/mm2，泊松比ν?=?0.2，忽略鋼筋的影響，分別施加前述3種荷載進(jìn)行計算，頂點位移的結(jié)果詳見表12，表1中還給出了按頂點位移折算的結(jié)構(gòu)抗側(cè)剛度.

理論計算結(jié)果表1明，中柱的拉伸和壓縮變形對結(jié)構(gòu)等效抗側(cè)剛度和頂點側(cè)移的影響幾乎可忽略.?在本算例的頂點總側(cè)移中，剪切側(cè)移的占比在98%左右，因此結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下以剪切變形為主.?與有限元結(jié)果相比，本算例在前述3種荷載作用下，理論計算的結(jié)構(gòu)等效抗側(cè)剛度約小于有限元計算結(jié)果折算抗側(cè)剛度的5.0%～10.0%，倒三角形分布荷載的理論側(cè)移值與有限元結(jié)果的誤差均值為5.62%，均布荷載誤差均值為9.745%，頂部集中荷載的誤差均值為9.062%.?可見式（28）的計算精度較為理想，且可不計中柱的拉伸和壓縮變形對結(jié)構(gòu)等效抗側(cè)剛度的影響.

3???試驗驗證

3.1???試驗概況

試驗數(shù)據(jù)來源于現(xiàn)澆磷石膏-混凝土網(wǎng)格式框架組合墻低周往復(fù)荷載試驗的對比結(jié)構(gòu)，相關(guān)試驗結(jié)果將另文介紹，此處以3榀網(wǎng)格式框架在混凝土開裂前的試驗結(jié)果來驗證等效抗側(cè)剛度計算公式的精度.

試件情況如圖5所示，試件編號為KJQ-1、KJQ-2、KJQ-3，結(jié)構(gòu)厚度均為50?mm.?混凝土的實測彈性模量為25?463?N/mm2，立方體抗壓強度標(biāo)準(zhǔn)值為20.09?N/mm2.?試驗加載裝置如圖6所示，在試件頂部采用50?t的千斤頂施加有水平可滑動的豎向荷載，并保持恒定，水平荷載通過25?t的MTS作動器以位移控制、并往復(fù)施加在結(jié)構(gòu)頂部的梁軸上.

圖7所示為混凝土開裂前在水平荷載為1?kN時3個試件的樓層梁水平位移測試結(jié)果，圖8所示為試件在單調(diào)加載時的頂點荷載-位移曲線.?可見3個試件在相同水平荷載作用下的側(cè)移結(jié)果較為接近，且近似呈線性關(guān)系.

3.2???計算結(jié)果驗證

表13給出了有限元計算的位移結(jié)果及3個試件樓層梁位移的平均測試值，測試結(jié)果與有限元計算結(jié)果較為接近.

根據(jù)前節(jié)分析，不計中柱軸向變形對彎曲側(cè)移的影響，按式（20）和式（21）計算的理論側(cè)移值與試驗值相比，最大側(cè)移約大10.5%;當(dāng)不計彎曲變形時，最大側(cè)移約小10.6%.?理論側(cè)移值與有限元計算的結(jié)果相比，當(dāng)考慮彎曲側(cè)移時，最大側(cè)移約大14.5%;當(dāng)不計彎曲側(cè)移時，最大側(cè)移約小14.8%，這是與前節(jié)算例的不同之處，因為從表13可看出，結(jié)構(gòu)高度的增加將使彎曲側(cè)移在總側(cè)移中的占比增大，故結(jié)構(gòu)側(cè)移計算應(yīng)考慮彎曲變形的影響.

不計中柱的拉伸和壓縮變形影響，按式（28）計算的等效抗側(cè)剛度見表14，大體與有限元方法折算的抗側(cè)剛度相當(dāng)，但與試件折算的平均抗側(cè)剛度相比，約小8.6%，可見式（28）具有理想的計算精度.

4???結(jié)???論

1）本文等效抗側(cè)剛度公式考慮了結(jié)構(gòu)彎曲變形和剪切變形的影響，可用于預(yù)估結(jié)構(gòu)抗側(cè)能力.

2）應(yīng)用本文等效抗側(cè)剛度計算公式時，網(wǎng)格式框架的側(cè)移及等效抗側(cè)剛度計算可不考慮中柱軸向變形的影響.

3）與有限元法及試驗結(jié)果的折算抗側(cè)剛度相

比，本文等效抗側(cè)剛度具有理想的計算精度.

4）在結(jié)構(gòu)總側(cè)移中，本文等效抗側(cè)剛度計算的彎曲變形占比隨著結(jié)構(gòu)高度的增加而增加，結(jié)構(gòu)側(cè)移計算應(yīng)考慮彎曲變形的影響.

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