霍 冰，劉習(xí)軍，張 銳

(1.天津科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；2.天津市輕工與食品工程機(jī)械裝備集成設(shè)計(jì)與在線監(jiān)控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222；3.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

輸電導(dǎo)線上附著的冰雪改變了導(dǎo)線的圓形截面，形成了非圓截面，而風(fēng)場作用在非圓截面會(huì)導(dǎo)致氣動(dòng)力失穩(wěn)，誘發(fā)自激振動(dòng)。由于導(dǎo)線具有小剛度和低阻尼的特點(diǎn)，振動(dòng)頻率低、幅度大，導(dǎo)線形態(tài)瞬息萬變，像跳舞一樣，又故名舞動(dòng)。

為了研究導(dǎo)線在露天環(huán)境下的舞動(dòng)規(guī)律，通常將導(dǎo)線模型大致分為 4個(gè)自由度(圖1)：面內(nèi)(Oxy平面)、面外(Oxz平面)、扭轉(zhuǎn)以及軸向振動(dòng)。面內(nèi)振動(dòng)因其舞動(dòng)幅值大，危害程度高，是最常見的模型[1]。隨著扭轉(zhuǎn)激發(fā)機(jī)理的提出[2]，面內(nèi)-扭轉(zhuǎn)耦合模型也較為常用[3－5]。此外為了更全面地考察導(dǎo)線的舞動(dòng)特性，面內(nèi)-面外耦合模型[6－7]、面內(nèi)-面外-扭轉(zhuǎn)耦合模型[8－13]、面內(nèi)-面外-軸向[14]、面內(nèi)-面外-扭轉(zhuǎn)-軸向耦合模型[15]也逐漸發(fā)展起來。

圖1 覆冰導(dǎo)線模型Fig.1 The model of iced conductor

以上研究大大推進(jìn)了覆冰導(dǎo)線動(dòng)力學(xué)模型研究的進(jìn)程。而后學(xué)者們發(fā)現(xiàn)舞動(dòng)有類似波動(dòng)的特性，僅各自由度的一階模態(tài)振動(dòng)并不能完全描述導(dǎo)線的舞動(dòng)行為，因而關(guān)于面內(nèi)多階模態(tài)耦合的模型逐漸被應(yīng)用[16－18]，初步模擬了導(dǎo)線的波動(dòng)行為。然而在面內(nèi)多階模態(tài)耦合的模型中，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)往往由于其小振幅的特點(diǎn)被忽略，但在作者的研究中發(fā)現(xiàn)[19]，扭轉(zhuǎn)模態(tài)的振幅雖小，卻可以定性地影響面內(nèi)模態(tài)的舞動(dòng)行為。

本文建立面內(nèi)前四階和扭轉(zhuǎn)前四階模態(tài)耦合的動(dòng)力學(xué)模型，研究在多階扭轉(zhuǎn)模態(tài)參與下，面內(nèi)及扭轉(zhuǎn)模態(tài)隨參數(shù)變化的舞動(dòng)規(guī)律。利用分岔理論研究各階模態(tài)的失穩(wěn)臨界參數(shù)，并借助數(shù)值模擬進(jìn)行驗(yàn)證，完善覆冰導(dǎo)線的舞動(dòng)機(jī)理和舞動(dòng)規(guī)律，為工程上導(dǎo)線的敷設(shè)和優(yōu)化提供理論支撐。

1 力學(xué)模型

覆冰導(dǎo)線采用圖1中模型，Г0表示導(dǎo)線在風(fēng)偏平面內(nèi)的初始位置，Г代表導(dǎo)線在任意時(shí)刻t的空間位置。導(dǎo)線檔距長l，均勻風(fēng)場U沿z軸方向作用于導(dǎo)線。v、w、θ分別為t時(shí)刻導(dǎo)線在x位置處面內(nèi)、面外和扭轉(zhuǎn)方向的位移。θ0為初始時(shí)刻時(shí)非圓截面對稱軸線偏離z軸的角度。α為風(fēng)攻角，F(xiàn)L和FD分別為氣動(dòng)升力和氣動(dòng)阻力。

利用 Hamilton原理建立覆冰導(dǎo)線的連續(xù)體動(dòng)力學(xué)模型[17]：

式中：E和G分別為導(dǎo)線的拉伸和剪切彈性模量；A和I分別表示導(dǎo)線的橫截面積和極慣性矩；T0為導(dǎo)線的初始拉力；y0表示導(dǎo)線的初始懸鏈線方程；m和J分別為覆冰導(dǎo)線單位長度質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fy和Fz分別為FL和FD在y軸和z軸上投影的代數(shù)和；M表示作用在截面上的氣動(dòng)扭矩。

借助伽遼金法對偏微分運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行模態(tài)截?cái)郲20]，設(shè)振型函數(shù)：

由于導(dǎo)線面內(nèi)舞動(dòng)的振幅和危害程度遠(yuǎn)大于面外舞動(dòng)，故令M=0；又因?yàn)榻?jīng)實(shí)驗(yàn)觀測到的面內(nèi)1階、2階模態(tài)振幅較大，3階模態(tài)振幅較小，而第四階模態(tài)的振動(dòng)幾乎觀測不到[19,21]，故截取前四階模態(tài)進(jìn)行研究。令L=4、N=4可得到面內(nèi)前四階和扭轉(zhuǎn)前四階模態(tài)耦合的常微分動(dòng)力學(xué)方程：

其中：a1~h1為覆冰導(dǎo)線在自重載荷下產(chǎn)生的線性項(xiàng)系數(shù)，其余系數(shù)為氣動(dòng)載荷產(chǎn)生的線性項(xiàng)系數(shù)，具體表達(dá)式見附錄。Gvi和Fvk分別為幾何載荷和氣動(dòng)載荷引入的非線性項(xiàng)。

2 穩(wěn)定性分析

利用分岔理論對式(5)~式(12)的線性部分進(jìn)行特征值分析[22]，方程組(反)對稱模態(tài)之間的線性部分線性相關(guān)，而對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)之間的線性部分線性無關(guān)，因而取系統(tǒng)的Jacobi矩陣形式如下：

3 影響因素分析

計(jì)算系統(tǒng)式(14)的特征值λi，若特征值實(shí)部Re(λi)<0，則系統(tǒng)穩(wěn)定，若Re(λi)>0，則系統(tǒng)失穩(wěn)進(jìn)行舞動(dòng)，Re(λi)穿越零軸時(shí)對應(yīng)的參數(shù)即為系統(tǒng)的臨界失穩(wěn)參數(shù)。為考察扭轉(zhuǎn)模態(tài)參與下導(dǎo)線的舞動(dòng)行為和舞動(dòng)規(guī)律，將分別在不同環(huán)境參數(shù)下研究導(dǎo)線的失穩(wěn)臨界條件，導(dǎo)線系統(tǒng)參數(shù)見表1[8,23]。

表1 覆冰導(dǎo)線系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of iced conductor

3.1 風(fēng)速

考慮了扭轉(zhuǎn)前四階模態(tài)的系統(tǒng)與文獻(xiàn)[17]中只考慮了扭轉(zhuǎn)第一階模態(tài)的系統(tǒng)有著定性的區(qū)別(圖2(c))，只考慮扭轉(zhuǎn)第一階模態(tài)時(shí)，面內(nèi)第一階模態(tài)先后經(jīng)歷兩次 Hopf分岔，隨風(fēng)速增大先失穩(wěn)而后恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，呈限幅振動(dòng)，其余面內(nèi)模態(tài)只經(jīng)歷了一次 Hopf分岔，失穩(wěn)后未恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)；而該系統(tǒng)中，面內(nèi)前四階模態(tài)均經(jīng)歷兩次 Hopf分岔，呈現(xiàn)出限幅振動(dòng)(圖2(a))，且隨著模態(tài)階數(shù)的升高，Hopf分岔點(diǎn)右移，起振風(fēng)速增大，舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)間增大。例如面內(nèi)第一階模態(tài)的舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)間為1.75 m/s~12.05 m/s，而面內(nèi)第四階模態(tài)的舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)間為7.7 m/s~43.94 m/s。圖2(b)中，扭轉(zhuǎn)前四階模態(tài)均經(jīng)歷了一次Hopf分岔，隨著模態(tài)階數(shù)的升高，Hopf分岔點(diǎn)同樣發(fā)生右移，起振風(fēng)速增大。該圖2(a)和圖2(b)表明，隨著風(fēng)速的增大，面內(nèi)高階模態(tài)會(huì)代替低階模態(tài)的舞動(dòng)；與此同時(shí)，扭轉(zhuǎn)模態(tài)會(huì)代替面內(nèi)模態(tài)的舞動(dòng)。

圖2 風(fēng)速對特征值實(shí)部的影響曲線Fig.1 Response curve of wind velocity on the real part of eigenvalue

3.2 扭轉(zhuǎn)阻尼比

由于面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)各階模態(tài)穩(wěn)定性隨風(fēng)速的響應(yīng)規(guī)律基本一致，故以面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)第一階模態(tài)為例，研究扭轉(zhuǎn)阻尼比對臨界風(fēng)速的影響，即選取不同的扭轉(zhuǎn)阻尼比，分別描繪特征值實(shí)部隨風(fēng)速變化的響應(yīng)曲線。

若不考慮扭轉(zhuǎn)自由度，即令式(2)中N=0，以面內(nèi)第一階模態(tài)為例，此時(shí)得到的特征值實(shí)部隨風(fēng)速變化基本呈線性關(guān)系(圖3(a))，只經(jīng)歷了一次Hopf分岔，而扭轉(zhuǎn)自由度的加入改變了原面內(nèi)模態(tài)特征值實(shí)部隨風(fēng)速響應(yīng)的線性關(guān)系，使其先后經(jīng)歷了 2次 Hopf分岔。雖然扭轉(zhuǎn)阻尼比的增大可減小扭轉(zhuǎn)模態(tài)的舞動(dòng)，但卻使得面內(nèi)模態(tài)的第2個(gè)Hopf分岔點(diǎn)右移，增大了面內(nèi)模態(tài)的舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)域，由此，面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)在能量上實(shí)現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)換。當(dāng)扭轉(zhuǎn)阻尼比增大至無窮大，在此特殊工況下，本文模型等同于未考慮扭轉(zhuǎn)模態(tài)模型的計(jì)算結(jié)果，表明本文模型更加完善。

值得說明的是，舞動(dòng)系統(tǒng)為自激振動(dòng)系統(tǒng)，由式(5)~式(12)可以看出，振動(dòng)方程的阻尼項(xiàng)不僅來自于導(dǎo)線自身的阻尼，還來自于氣動(dòng)力提供的負(fù)阻尼，因此當(dāng)導(dǎo)線自身扭轉(zhuǎn)阻尼比ζθ>1時(shí)，扭轉(zhuǎn)模態(tài)仍有可能失穩(wěn)發(fā)生振動(dòng)。

圖3 不同扭轉(zhuǎn)阻尼下風(fēng)速對特征值實(shí)部的影響曲線Fig.3 Response curve of wind velocity on the real part of eigenvalue with different torsional ratios

扭轉(zhuǎn)模態(tài)特征值實(shí)部關(guān)于扭轉(zhuǎn)阻尼比并非呈單調(diào)性(圖3(b))，為了考察這一特性，圖4給出了扭轉(zhuǎn)特征值實(shí)部隨扭轉(zhuǎn)阻尼比的響應(yīng)曲線。由圖4可以看出，當(dāng)導(dǎo)線扭轉(zhuǎn)阻尼比達(dá)到其自身臨界阻尼，即ζθ=1時(shí)，各階模態(tài)均產(chǎn)生較大的變化。當(dāng)ζθ<1時(shí)，扭轉(zhuǎn)模態(tài)的特征值實(shí)部隨扭轉(zhuǎn)阻尼比的增大而減小，基本呈線性關(guān)系，由虛線框內(nèi)的細(xì)節(jié)圖可以看出，扭轉(zhuǎn)前四階模態(tài)在ζθ很小時(shí)便先后穿越零軸達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；在ζθ=1附近突然增大，并漸進(jìn)于一個(gè)小于零的數(shù)值。因此在第一次穿越零軸之后，扭轉(zhuǎn)特征值實(shí)部雖然增大，但不會(huì)第二次穿越零軸，始終保持穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 扭轉(zhuǎn)阻尼比對扭轉(zhuǎn)特征值實(shí)部的影響曲線Fig.4 Response curve of torsional ratio on the real part of eigenvalue

3.3 檔距

同樣以面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)第一階模態(tài)為例，研究檔距對臨界風(fēng)速的影響，即不同檔距下，特征值實(shí)部隨風(fēng)速變化的響應(yīng)規(guī)律。如圖5(a)所示，可以看出，隨著檔距的增大，2個(gè)Hopf分岔點(diǎn)分別左移，其中第1個(gè)Hopf分岔點(diǎn)小幅左移，第2個(gè)Hopf分岔點(diǎn)大幅左移，因此大大減小了導(dǎo)線面內(nèi)舞動(dòng)的風(fēng)速區(qū)域。而扭轉(zhuǎn)模態(tài)的 Hopf分岔點(diǎn)隨檔距的增大同樣發(fā)生了左移(圖5(b))，起振風(fēng)速減小。由此表明，大檔距時(shí)，導(dǎo)線的面內(nèi)舞動(dòng)主要集中在小風(fēng)速區(qū)域甚至消失，被扭轉(zhuǎn)舞動(dòng)代替。

由于面內(nèi)舞動(dòng)危害遠(yuǎn)大于扭轉(zhuǎn)舞動(dòng)，因此在保證足夠垂直離地距離的情況下，增大檔距可在一定程度控制舞動(dòng)，圖5(a)中，檔距為400 m時(shí)面內(nèi)舞動(dòng)消失，但其跨中垂直距離高達(dá)15 m，垂跨比過大，因此選取檔距為200 m也可基本控制舞動(dòng)。

3.4 初始拉力

圖6以一階模態(tài)為例，描繪了初始拉力對面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)穩(wěn)定性的影響。實(shí)線為面內(nèi)模態(tài)的響應(yīng)曲線(讀取左端縱軸刻度)，虛線為扭轉(zhuǎn)模態(tài)的響應(yīng)曲線(讀取右端縱軸刻度)。從圖中可以看出，初始拉力為20 kN時(shí)，面內(nèi)模態(tài)舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)域達(dá)到最大值，此時(shí)改變初始拉力，第1個(gè)Hopf分岔點(diǎn)右移，第2個(gè)Hopf分岔點(diǎn)左移，舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)域減小；而由于在應(yīng)用Hamilton方程時(shí)，初始拉力不影響導(dǎo)線扭轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的變形勢能，因而初始拉力對扭轉(zhuǎn)模態(tài)穩(wěn)定性的影響非常小。

圖5 不同檔距下風(fēng)速對特征值實(shí)部的影響曲線Fig.5 Response curve of wind velocity on the real part of eigenvalue with different cable lengths

圖6 不同初始拉力下風(fēng)速對一階模態(tài)特征值實(shí)部的響應(yīng)曲線Fig.6 Response curve of wind velocity on the real part of eigenvalue for the 1st mode with different initial tensions

上述分析表明初始拉力對面內(nèi)模態(tài)穩(wěn)定性的影響并不呈單調(diào)性變化，為了更直觀地考察初始拉力對各階模態(tài)的穩(wěn)定性影響，將 Hopf分岔點(diǎn)投影至風(fēng)速-初始拉力(U-T0)平面(圖7)，圖7中各封閉曲線的內(nèi)部對應(yīng)該模態(tài)特征值實(shí)部大于零的區(qū)域即失穩(wěn)區(qū)域；封閉曲線的外部對應(yīng)該模態(tài)特征值實(shí)部小于零的區(qū)域即穩(wěn)定區(qū)域?？梢钥闯霎?dāng)初始拉力約為20 kN~30 kN時(shí)，面內(nèi)前四階模態(tài)的舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)域均達(dá)到最大，當(dāng)初始拉力小于7 kN或大于75 kN時(shí)，面內(nèi)舞動(dòng)消失，但考慮到要滿足合理的垂跨比和導(dǎo)線強(qiáng)度，可取初始拉力為10 kN或75 kN來達(dá)到抑制舞動(dòng)的目的。

圖7 U-T0平面內(nèi)面內(nèi)模態(tài)的Hopf分岔點(diǎn)集Fig.7 Bifurcation point set of in-plane modes on the plane U-T0

4 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)失穩(wěn)臨界條件的理論分析結(jié)果，取U=13 m/s，T0=70 kN進(jìn)行數(shù)值模擬，其余參數(shù)不變。該參數(shù)位于圖7中的陰影區(qū)域和圖2(b)中的AB段風(fēng)速區(qū)間(12.8 m/s

數(shù)值模擬結(jié)果如圖8所示，面內(nèi)運(yùn)動(dòng)只呈現(xiàn)出第三階模態(tài)的舞動(dòng)(圖8(a))，與理論結(jié)果相同，其舞動(dòng)頻率為2.61 Hz(圖8(c))，結(jié)合表2可知，面內(nèi)第三階模態(tài)的舞動(dòng)頻率為其自身固有頻率，故該階模態(tài)的舞動(dòng)是由自激振動(dòng)引起的。然而不同于理論結(jié)果的是，扭轉(zhuǎn)模態(tài)的數(shù)值模擬結(jié)果存在兩階失穩(wěn)模態(tài)，分別是扭轉(zhuǎn)第一階和第三階模態(tài)(圖8(b))，其中第一階模態(tài)的舞動(dòng)頻率為8.02 Hz(圖8(d))，第三階模態(tài)的舞動(dòng)頻率為2.61 Hz(圖8(e))，參照表2可知，扭轉(zhuǎn)第一階模態(tài)的舞動(dòng)頻率等于其固有頻率，為自激振動(dòng)，與理論結(jié)果相吻合；而扭轉(zhuǎn)第三階模態(tài)的舞動(dòng)頻率則與面內(nèi)第三階模態(tài)的固有頻率相同，由此推斷，扭轉(zhuǎn)第三階模態(tài)的運(yùn)動(dòng)是受到面內(nèi)第三階模態(tài)的激勵(lì)而產(chǎn)生的，類似于受迫振動(dòng)，此行為是由非線性的存在以及模態(tài)間的相互耦合作用而引起的。

圖8 數(shù)值模擬數(shù)據(jù)圖Fig.8 Diagrams of numerical simulations

表2 各階模態(tài)的固有頻率/HzTable 2 Natural frequencies of every mode

5 結(jié)論與展望

本文建立了覆冰導(dǎo)線面內(nèi)前四階和扭轉(zhuǎn)前四階模態(tài)耦合的非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用分岔理論得到了覆冰導(dǎo)線在不同環(huán)境參數(shù)下的失穩(wěn)條件和規(guī)律，并通過數(shù)值方法予以驗(yàn)證，理論與數(shù)值結(jié)果吻合。主要的研究結(jié)論如下：

(1)在扭轉(zhuǎn)前四階模態(tài)的參與下，隨風(fēng)速增大，面內(nèi)前四階模態(tài)先后經(jīng)歷了2次Hopf分岔，呈限幅振動(dòng)，扭轉(zhuǎn)前四階模態(tài)經(jīng)歷了1次Hopf分岔；大風(fēng)速時(shí)，高階模態(tài)代替低階模態(tài)舞動(dòng)，扭轉(zhuǎn)模態(tài)代替面內(nèi)模態(tài)舞動(dòng)。

(2)扭轉(zhuǎn)阻尼比的增大會(huì)減小扭轉(zhuǎn)模態(tài)的舞動(dòng)，但會(huì)增大面內(nèi)模態(tài)的舞動(dòng)區(qū)域，實(shí)現(xiàn)面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)的能量轉(zhuǎn)換；扭轉(zhuǎn)模態(tài)在導(dǎo)線自身扭轉(zhuǎn)臨界阻尼ζθ=1附近呈現(xiàn)出迥異的性質(zhì)。

(3)檔距的增大使得面內(nèi)模態(tài)的2個(gè)Hopf分岔點(diǎn)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)的1個(gè)Hopf分岔點(diǎn)分別左移，在減小面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)起振風(fēng)速的同時(shí)，減小了面內(nèi)模態(tài)的舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)域，在大檔距情況下，扭轉(zhuǎn)模態(tài)將代替面內(nèi)模態(tài)的舞動(dòng)。

(4)初始拉力過大或過小都會(huì)減小面內(nèi)模態(tài)的失穩(wěn)風(fēng)速區(qū)域，控制面內(nèi)模態(tài)的舞動(dòng)，但對扭轉(zhuǎn)模態(tài)失穩(wěn)臨界風(fēng)速的影響非常小。

以上結(jié)論對導(dǎo)線的敷設(shè)和優(yōu)化具有指導(dǎo)意義。在覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)中，面內(nèi)模態(tài)舞動(dòng)的危害遠(yuǎn)大于扭轉(zhuǎn)模態(tài)，因此在敷設(shè)導(dǎo)線時(shí)主要考慮對面內(nèi)舞動(dòng)的控制。在保證足夠垂直離地距離時(shí)，增大導(dǎo)線的檔距或減小初始拉力都可以有效地減小面內(nèi)舞動(dòng)。在保證導(dǎo)線強(qiáng)度的情況下，增大初始拉力可達(dá)到抑制面內(nèi)舞動(dòng)的目的。此外在安裝防舞裝置時(shí)，也應(yīng)盡量避免在面內(nèi)模態(tài)的結(jié)點(diǎn)上安裝。此外本文在研究過程中還發(fā)現(xiàn)，由于非線性的存在和模態(tài)間的強(qiáng)烈耦合作用，覆冰導(dǎo)線系統(tǒng)內(nèi)部存在模態(tài)間的激勵(lì)現(xiàn)象和內(nèi)共振行為，將在后續(xù)的工作中進(jìn)一步展開研究。

附錄：

其中：