杜明芳, 滿景奇, 孫運德

(河南工業(yè)大學土木建筑學院， 鄭州 450001)

隨著中國對基礎建設的不斷投入，在許多的工程中要面臨軟土地基在線性加載下的固結變形問題，如高層建筑、灘涂圍墾工程建設等，由于太沙基一維固結理論，適用于瞬時加載，不能分析緩慢加載過程中軟土地基的固結變形特性，因此充分認識到軟土地基在線性加載下全階段的固結變形特性，具有實際工程意義。有些學者用不同的方法求解了加載下的固結解[1-5]；淦方超[6]通過對各固結理論進行參數(shù)敏感性分析，確定了影響固結結果穩(wěn)定性的主/次要參數(shù)；梅國雄等[7]通過一維固結理論證明了在線性/近似線性加載下沉降隨時間對數(shù)變化曲線呈S形; 張紹勇等[8]基于砂井軸對稱固結模型推導了線性加載下不排水樁復合地基徑豎固結解析解；黃朝煊等[9]基于同焦橢圓柱理論和等應變假設，推導了塑料排水板地基在線性加載下固結解析解，并通過已有的有限元計算及數(shù)值計算結果進行對比驗證；張子培等[10]通過灰色理論推導了一種分級加載下地基沉降預測方法,并結合工程實例進行分析；趙明華等[11]通過考慮初始應力與附加應力隨深度線性變化時求解的雙曲線一維固結方程發(fā)現(xiàn)時間因素不適合作為描述時間的無量綱因子；李冰河等[12]在初始有效應力沿深度變化的條件下求解了軟黏土非線性一維固結解；秦亞瓊[13]基于曲線擬合一遺傳算法聯(lián)合建模的方法對工程實例進行沉降預測,發(fā)現(xiàn)預測值和實測值較為吻合。

從以上學者的研究可知，目前中外對線性加載下軟土地基全階段的固結變形特性研究較少?；谔郴痪S固結理論，推導出任意加載速率下的一維固結方程的通解，并給出了線性加載下固結方程的解析解。并將實際監(jiān)測數(shù)據與理論值進行對比，驗算該方法的合理性，以期為實際工程沉降及工程使用維護提供參考。

1 加載作用下軟土地基的一維固結方程

1.1 太沙基一維固結理論

圖1表示飽和的軟土層，其厚度為H，并且在自重作用下已完成了固結。設土層表面受到均布荷載q的作用，由它引起的附加應力σz沿深度均勻分布，如圖1中BE線所示。飽和軟土層上部是透水砂層，下部是堅硬的不透水層，在固結過程中，土中的水只能從上面的透水砂層中排出。BD表示任意時間t土中有效應力σ′和超靜孔隙水壓力u沿深度z的變化曲線，如圖1中的虛線所示。有效應力σ′和孔隙水壓力u為深度z和時間t的函數(shù)，分別以σ′=σ′(z,t)和u=u(z,t)表示。即孔隙水壓力u=u(z,t)的微分方程式[14]為

(1)

式(1)中：Cv為表示土體固結速度大小的系數(shù),m2/s。

圖1 太沙基一維固結理論計算簡圖Fig.1 The calculation diagram of the one-dimensional consolidation theory of K.Terzaghi

太沙基一維固結理論的基本假定有以下幾點：①假定體是均質且完全飽和的材料；②土體發(fā)生的變形完全是由于孔隙水壓力消散引起的；③土中水的滲流服從達西定律，方向和土體壓縮方向均為豎向(一維)的；④外荷載均布、連續(xù)并且是瞬時加載，當t=0時，附加應力σz完全由孔隙水壓力u來承受；當t=∞時，附加應力σz完全由土骨架來承受。

1.2 加載下計算簡圖及相關假定

圖2中作用的荷載假定為大面積的均布荷載，與太沙基一維固結理論假定相比，除作用在軟土上的荷載情況外，其余條件都與太沙基一維固結理論假定相同。

圖2 加載下一維固結計算簡圖Fig.2 The calculation diagram of one-dimensional consolidation of load

可推得軟土地基在任意加載速率下的一維固結基本方程[14]為

(2)

(3)

式中：f(t)為加載速率，f(t)=dq(t)/dt，kPa；kv為土的滲透系數(shù)，m/s；mv為土的體積壓縮系數(shù)，kPa-1,mv=1/Es=av/(1+e0)，其中Es為土的壓縮模量，kPa；γw為孔隙液體重度，kN/m3;av為土的壓縮系數(shù)，kPa-1；e0為土體初始孔隙比。

一維固結基本方程[式(2)]的初始邊界條件為

(4)

1.3 任意加載速率下軟土地基的一維固結方程的通解

根據圖2，現(xiàn)以上表面排水、下表面不排水為例，根據初始邊界條件[式(4)]，應用傅里葉級數(shù)法和分離變量法相結合[15]的方法求解軟土地基在任意加載速率下的一維固結基本方程[式(2)]。可令孔隙水壓力u(z,t)和加載速率f(t)為

(5)

(6)

式中：h為最大排水深度，在單面排水條件下為土層厚度，雙面排水條件為土層厚度的一半。

由式(6)可得

(7)

將式(5)和式(6)代入式(2)中可得

(8)

(9)

將式(9)代入式(5)并由初始條件[式(4)]第一式可得

(10)

故可求得解為

(11)

將式(11)代入式(5)得任意加載速率下的一維固結基本方程[式(2)]的通解為

(12)

式(12)中：u0為初始孔壓。

由有效應力原理以及固結度和沉降與有效應力的關系，可知固結度U(t)和沉降S(t)為

(13)

(14)

式中：q0為初始荷載；qu為荷載變化值qu=qn-q0。

2 線性加載作用下軟土地基的一維固結解析解

施加的荷載q(t)是線性加載，隨時間t的變化情況如圖3所示，并得出荷載隨時間變化方程式為

(15)

式(15)中：qn為加載后荷載；t1為加載時間。

圖3 荷載-時間變化曲線Fig.3 Load-time curve

各時間段的應力條件為

(16)

各時間階段孔隙水壓力的連續(xù)條件為

u1(t=t1)=u2(t=t1)

(17)

令初始孔隙水壓力u1(z)=q0，將各階段加載速度式(16)代入式(12)，并由邊界式(4)和式(17)可知線性加載下軟土的一維固結表達式為

u(z,t)=

(18)

將式(18)分別代入式(13)和式(14)中，可得固結度和沉降的解析解為

U(t)=

(19)

S(t)=

(20)

為了便于比較,將太沙基一維固結解解答列為

(21)

3 線性加載下理論結果分析

3.1 線性加載下超靜孔壓的變化規(guī)律

從線性加載下孔壓的解析解式(18)中可以看出，加載引起的超靜孔壓受加載速率、加載量、固結系數(shù)及初始孔壓共同影響。超靜孔壓k0定義為加載過程中某時刻孔壓值與加載初期孔壓值的差值。通過MATLAB對式(18)進行編程，其中假定q0=0，Cv=0.55 m2/d，加載量q=60 kPa，加載速率k=5 kPa/月，H=10 m，其余變量，取雙面排水，并作太沙基一維固結理論下超靜孔壓進行對比，結果如圖4所示。

圖4 超靜孔壓隨時間和深度的變化Fig.4 Variation of excess pore pressure with time and depth

從圖4可以看到，在相同的參數(shù)取值下，線性加載的最大超靜孔壓值明顯小于太沙基解，這說明在加載過程中已有超靜孔壓在消散；線性加載下超靜孔壓值由零增長到最大值，此外還可以看到孔壓的變化過程，而太沙基解直接突變到最大值；兩者的最大超靜孔壓值和消散速率都在加載結束的時刻最大。結合現(xiàn)實分析，可以發(fā)現(xiàn)線性加載下孔壓解比太沙基解更符合實際情況。

圖5所示為不同加載量和加載速率引起的最大超靜孔壓變化，可以看出：當加載速率k<2 kPa/月時最大超靜孔壓值與卸荷量基本無關；在加載量一定時，加載速率k對最大超靜孔壓值的影響存在臨界值k1和k2，當k

圖6所示為不同的加載速率引起的超靜孔壓隨時間的變化曲線，可以看出:超靜孔壓的消散速率隨著加載速率的增大而增大；加載速率影響超靜孔壓的增長路徑和最大超靜孔壓值；在線性加載作用下產生的超靜孔壓，其變化可以分成增長期、快速消散期和緩慢消散期三個階段；加載速率越大,線性加載下的超靜孔壓與太沙基解越相似,即說明了本文固結解正確性，也驗證了圖5當加載速率大到臨界值k2時,相當于瞬時加載。

圖7所示為固結系數(shù)和排水距離對超靜孔壓的影響變化曲線，從圖7可以看到：在加載速率一定時，固結系數(shù)不僅可以影響超靜孔壓值還影響超靜孔壓的消散時間，最大超靜孔壓和其消散時間隨固結系數(shù)的增大而減??；通過對比分析可知，固結系數(shù)還影響著臨界加載速率，臨界加載速率k1和k2隨著固結系數(shù)的增大而增大；超靜孔壓的消散時間同時還隨著排水距離的增大而延長。所以在理論分析或者有限元軟件模擬時采用準確固結系數(shù)和排水距離可以有效地提高結果準確性。

圖5 不同加載量和加載速率引起的最大超靜孔壓Fig.5 Maximum excess pore pressure caused by different Loading amounts and loading rates

圖6 不同的加載速率引起的超靜孔壓隨時間的變化Fig.6 Variation of the excess pore pressure over time due to different loading rates

圖7 固結系數(shù)和排水距離對超靜孔壓的影響Fig.7 Effect of consolidation coefficient and drainage distance on excess pore water pressure

3.2 線性加載下地基沉降和固結度變化規(guī)律

圖8是不同的加載速率下沉降隨時間的變化曲線，可以看出：地基沉降的速度隨著線性加載速率減小而變緩；加載速率改變沉降路徑而不改變最大沉降值；隨著加載速率減小加載階段結束時刻地基產生的沉降越來越大，如加載速率為2 kPa/月時，地基在加載過程中產生的沉降近乎總沉降的一半，說明加載緩慢時，如果不考慮加載過程中產生的沉降，將導致非常大誤差；加載速率越慢，與瞬時加載差異越大，太沙基解僅適用于大加載速率，對于加載速率較慢的實際工程并不適用。

圖8 不同的加載速率下沉降隨時間的變化Fig.8 Variation of settlement over time at different loading rates

圖9是不同的加載速率下固結度隨時間的變化曲線?？梢钥闯觯旱鼗探Y速率隨著線性加載速率變小而變慢，由固結度的定義可知，固結度表示超靜孔壓的消散，即驗證了圖6超靜孔壓的消散速率與加載速率的關系；但隨著加載速率減小，當加載階段完成時，固結度增大；加載速率改變固結路徑而不影響固結時間；當固結時間充分大時，固結度逐漸趨向于一致；線性加載速率越慢，與太沙基解固結路徑差異越顯著。

圖9 不同的加載速率下固結度隨時間的變化Fig.9 Variation of degree of consolidation with time under different loading rates

4 實例分析

由文獻[14]佛山—開平高速公路全長約80 km。該高速公路地處珠江三角洲平原,地質條件復雜。路基下土體多為流沙泥質軟土和淤泥質土。其中K10+430通道為4.5 m×3.0 m，其地質條件為：0～2.5 m為亞黏土,2.5～6.6 m為淤泥質黏土， 6.6～14.4 m為細沙，通道頂部有0.7 m的填土荷載，填土分兩次填，在第一次沉降穩(wěn)定后填筑第二次，第二次填筑可簡化為線性填筑加載過程，如圖10所示。

圖10 本文解、太沙基解和實測值對比Fig.10 Comparison of this solution, Taisha solution and measured values

從圖10可以看到線性加載作用下的沉降曲線與實測曲線有較好的吻合性，尤其是在前期線性加載階段，太沙基解由于不存在加載階段，導致沉降存在突變，結合實際分析可知，線性加載下的固結解比太沙基解更符合現(xiàn)實，有更高的真實性，并且理論值與實測有相同的變化規(guī)律，說明式(20)可以用來預測地基在線性加載下某一時刻的沉降量以及求解的線性加載下固結方程解析解具有實際工程意義。

5 結論

(1)通過太沙基一維固結理論，推導出任意加載速率下的一維固結方程的通解，并給出了線性加載下固結方程的解析解。

(2)在加載速率一定時，加載引起的最大超靜孔壓值與加載量近似成線性增長關系；在加載量一定時，加載速率對最大超靜孔壓值的影響存在臨界值；加載速率影響超靜孔壓的增長路徑和消散速率以及最大超靜孔壓。

(3)加載作用下軟土地基產生的超靜孔壓可以分成增長期、快速消散期和緩慢消散期三個階段， 固結系數(shù)影響臨界加載速率；排水距離影響超靜孔壓的消散時間。

(4)加載速率改變沉降路徑而不改變最大沉降值，加載速率越慢，與瞬時加載差異越大；固結速率隨著線性加載速率變小而變慢；加載速率改變固結路徑并且影響固結時間；當固結時間充分大時固結度逐漸趨向于一致。

(5)通過工程實例對軟土地基加載下沉降值及其規(guī)律進行對比分析,發(fā)現(xiàn)基于線性加載固結方程的解析解得到沉降理論值及變化規(guī)律與實測值有較好的吻合性,證明求解的固結方程的解析解具有較高的可靠性，對軟土地基在線性加載下施工設計具有一定的理論指導作用。