陳志景，李有文

（廣東技術師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，廣東 廣州 510665）

0 引 言

熵是研究拓撲動力系統(tǒng)的一個重要工具.1958年， Kolmogorow[1]為解決遍歷論中“是否存在兩個具有連續(xù)譜的保測系統(tǒng)是譜等價但不是測度同構”的問題，提出了測度熵的概念.拓撲熵的概念出現(xiàn)得稍晚一些.1965年，Adler等人[2]在研究拓撲動力系統(tǒng)復雜性時，利用開覆蓋引入了拓撲熵的定義.隨后，Dinaburg[3]和Bowen[4]利用張成集和分離集給出了拓撲熵的一個等價定義，說明了拓撲熵反映的是系統(tǒng)在充分小但有有限精度下軌道段的指數(shù)增長率.雖然Dinaburg等人提出的拓撲熵比Adler等人提出的拓撲熵更易于計算，但它依賴于度量空間的緊致集.為此，Bowen[5]于1973年利用Hausdorff維數(shù)定義了度量空間上的拓撲熵（稱為Bowen拓撲熵），擺脫了緊致集的限制，并且證明了Bowen拓撲熵等價于Adler等人定義的拓撲熵.至此，在拓撲熵的觀點下看，拓撲動力系統(tǒng)就分成兩大類：正熵系統(tǒng)和零熵系統(tǒng).但在后續(xù)的研究中，學者們發(fā)現(xiàn)，“簡單的”零熵系統(tǒng)并不簡單，它甚至蘊含了復雜的動力學行為[6][7].這個現(xiàn)象促使學者們對零熵系統(tǒng)和正熵系統(tǒng)做進一步的分類研究.一方面，在1997年，Katok和Thouvenot[8]用n-1替換Bowen拓撲熵中的e-n，給出了拓撲慢熵的定義，并分析了零熵系統(tǒng)的復雜性.隨后，Hochman在[9]中引入了拓撲作用下的慢熵，用來度量軌道的亞指數(shù)增長情況.另一方面，LIberzon和Mitra[10]在拓撲熵中的誤差加入了指數(shù)衰減因子，得到了估計熵的概念，給出了系統(tǒng)能完成狀態(tài)估計任務的充分條件.同年，Kawan[11]對估計熵做了系統(tǒng)的分析，并給出了一類系統(tǒng)估計熵的下界.2019年，Zhong[12]研究了自由半群的估計熵.從定義上看，估計熵綜合了經(jīng)典拓撲熵和指數(shù)穩(wěn)定[13]的特點.結合Feng和Huang[14]近期的工作，Zhong和Chen[15]引入了維數(shù)形式的Bowen估計熵.

熵的變分原理是拓撲動力系統(tǒng)理論的中心問題.其廣為人知的結果是，Goodman[16]給出的如下形式的變分原理：

經(jīng)典拓撲熵是估計慢熵的一種特殊情況，研究表明他們有著很多相似之處，但也有不同的特性.本文的目的是將估計熵和慢熵的研究結合起來，給出在作用下估計慢熵的概念.一方面，給出作用下估計慢熵的下界，另一方面，給出作用下估計慢熵的變分原理.

1 預備知識

下面，我們給出估計慢熵的定義.

1.1 估計慢熵

設(X, d)是緊致度量空間，τ是X上連續(xù)的L -作用， 是自然集.對任意的n∈ 和α≥0，定義

1.2 上容量α-估計慢熵

1.3 Bowen估計慢熵

2 Bowen估計慢熵的變分原理

本節(jié)的主要結果是下述Bowen估計慢熵與下估計測度慢熵的變分原理.

致謝 本文作者感謝鐘興富博士在論文寫作過程中提供的寶貴意見.