廣東工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院 姚宇航

廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 黃雨灝

廣東工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院 楊佳美 余琪 馬麗婷

金融市場(chǎng)中，股票等資產(chǎn)經(jīng)常出現(xiàn)價(jià)格的異常波動(dòng)，一定程度上影響了市場(chǎng)的穩(wěn)定性[1]。大量的實(shí)證表明，價(jià)格的波動(dòng)與投資者的行為存在著較強(qiáng)的聯(lián)系。羊群行為理論中的行為傳染模型可以較好地刻畫(huà)兩者的關(guān)系，而系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)能更直觀深入地反映事態(tài)變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程[2]。目前已有的研究主要集中在不同市場(chǎng)情形下的股市演化模型，由于模型往往是較為復(fù)雜的常微分方程組形式，使得模型的應(yīng)用存在著局限性[3]。

1 基于行為傳染的股市演化模型

1.1 股市演化模型的構(gòu)建

羊群效應(yīng)和價(jià)格追蹤對(duì)轉(zhuǎn)換概率產(chǎn)生影響，每個(gè)時(shí)間段，買(mǎi)賣(mài)股票投資者都會(huì)變，所以買(mǎi)賣(mài)股票者在市場(chǎng)中的占比也在變化，投資者的轉(zhuǎn)換概率隨之產(chǎn)生變化，進(jìn)而對(duì)投資者行為產(chǎn)生影響。大多數(shù)投資者行為x在單位時(shí)間內(nèi)的變化推導(dǎo)：

根據(jù)供求理論，大多數(shù)投資者的行為也反映了市場(chǎng)對(duì)股票的供求程度。當(dāng)X大于0時(shí)，市場(chǎng)中對(duì)股票的需求大于供給，股票價(jià)格上升；X越大，說(shuō)明對(duì)股票的需求越大，股價(jià)上升越大。同理當(dāng)X小于0時(shí)，股價(jià)下降，并且會(huì)隨著X的減少，下降也增大。假設(shè)股價(jià)的波動(dòng)與大多數(shù)投資者的行為X成線(xiàn)性關(guān)系，可以構(gòu)建股價(jià)波動(dòng)的微分方程如下：

綜上可得一個(gè)股市演化動(dòng)力學(xué)方程：

當(dāng)Vbs>Vsb的時(shí)候，股票最終的均衡價(jià)格大于內(nèi)在價(jià)格；當(dāng)Vbs

1.2 數(shù)值仿真和參數(shù)研究

為了更直觀地了解股市演化模型的經(jīng)濟(jì)意義，以及可以定性定量分析參數(shù)對(duì)模型的影響，本文采用matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真并繪圖。

圖1 股票價(jià)格p、大多數(shù)投資者行為x與時(shí)間t之間的相互關(guān)系

圖2 大多數(shù)投資者行為x與股票價(jià)格p的關(guān)系

由圖1可知，x、p與t之間的函數(shù)關(guān)系圖均呈現(xiàn)一種“振蕩衰減”的形狀。此外，大多數(shù)投資者行為與股票價(jià)格呈現(xiàn)“異步性”。分析可得，投資者的羊群行為會(huì)推動(dòng)股票價(jià)格的上漲或下跌。由于金融市場(chǎng)內(nèi)在的調(diào)節(jié)機(jī)制，羊群行為程度將下降，而股票價(jià)格由于“慣性”的原因?qū)⒗^續(xù)上漲。

由圖2可知，大多數(shù)投資者行為與股票價(jià)格之間呈現(xiàn)“動(dòng)態(tài)循環(huán)”的狀態(tài)。在一個(gè)周期內(nèi)會(huì)經(jīng)歷四個(gè)階段：第一階段是大多數(shù)投資者行為均大于0并趨向于0，股票價(jià)格上升。第二階段是大多數(shù)投資者行為均小于0并偏離于0，股票價(jià)格會(huì)下降。第三階段和第四階段產(chǎn)生的原因和第一階段同理。

2 單自由度欠阻尼振動(dòng)模型

2.1 微分方程的求解及數(shù)值仿真

其中X為振幅，φ0為初相位，假設(shè)質(zhì)量塊的初始速度為v0，初始位移為x0?？汕蟮茫?/p>

式(4)和式(5)即為單自由度欠阻尼非受迫振動(dòng)微分方程的解析解。式(4)描述了質(zhì)量塊的位移與時(shí)間t的關(guān)系。

為了更直觀地了解質(zhì)量塊位移、運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間的關(guān)系，采用MATLAB 進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如下。

圖3 質(zhì)量塊位移、運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間

圖4 質(zhì)量塊位移和運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系

由圖3、圖4可知，在欠阻尼非受迫振動(dòng)模型中，質(zhì)量塊的質(zhì)量塊位移、運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間的關(guān)系圖與在股市演化模型中關(guān)系圖較為相像，均呈現(xiàn)一種“振蕩衰減”的形狀。基于以上分析，本文認(rèn)為單自由度欠阻尼振動(dòng)模型中的質(zhì)量塊位移方程和股市演化模型中的股票價(jià)格方程存在著較強(qiáng)的聯(lián)系，并提出假設(shè)：質(zhì)量塊的位移方程是股票價(jià)格方程的解析解形式。為了驗(yàn)證該假設(shè)，本文采用1stopt 軟件對(duì)股市演化模型中產(chǎn)生的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合。

2.2 曲線(xiàn)擬合及模型檢驗(yàn)

本文采用最常用的麥夸特法(Levenberg-Marquardt)+通用全局優(yōu)化法進(jìn)行曲線(xiàn)擬合。擬合的模型為單自由度欠阻尼振動(dòng)模型中的位移方程(4)，原始數(shù)據(jù)為股票價(jià)格數(shù)據(jù)，擬合之前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，擬合結(jié)果如下。

模型的均方差RMSE和殘差平方和SSE約為0.0289和0.4139，表明模型的誤差較小。同時(shí)，模型擬合的相關(guān)系數(shù)R2為0.8819(決定系數(shù)DC為0.8745)，均可以說(shuō)明，模型的擬合程度較高。F統(tǒng)計(jì)量的值為3694.8647，表明擬合的模型在整體上的顯著性較強(qiáng)，通過(guò)了檢驗(yàn)。這驗(yàn)證了假設(shè)質(zhì)量塊的位移方程是股票價(jià)格方程的解析解形式。

2.3 單自由度欠阻尼振動(dòng)模型的經(jīng)濟(jì)意義解釋

2.3.1 無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率

分別取無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率ω為10、3和5.2，仿真結(jié)果如下。

隨著無(wú)阻尼系 統(tǒng)的固有頻率的增加，物體的位移達(dá)到均衡狀態(tài)的時(shí)間在減少，波動(dòng)次數(shù)變化不明顯，峰值在減少；均衡時(shí)刻的位移則呈現(xiàn)一種階段性的跳躍狀態(tài)：經(jīng)過(guò)多次數(shù)值仿真條件可知，當(dāng)無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率在4.9 5.3的區(qū)間時(shí)，位移會(huì)下跌到定值-1左右，其他時(shí)刻位移則在定值 0 左右。

2.3.2 粘性阻尼比

分別取粘性阻尼比ξ為0.2、0.3以及1.1，仿真結(jié)果如下。

隨著粘性阻尼比的增加，物體的位移達(dá)到均衡狀態(tài)的時(shí)間在減少，波動(dòng)次數(shù)和峰值也在減少，均衡時(shí)刻的位移則變化不明顯。當(dāng)粘性阻尼比大于1的時(shí)候，可知此時(shí)系統(tǒng)為過(guò)阻尼狀態(tài)，位移幾乎呈指數(shù)增長(zhǎng)。在股市演化模型中，投資者行為發(fā)生改變的頻率與股票價(jià)格達(dá)到均衡狀態(tài)的時(shí)間、波動(dòng)次數(shù)和峰值呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，羊群效應(yīng)影響系數(shù)和價(jià)格調(diào)整系數(shù)則相反；投資者行為發(fā)生改變的頻率越大，股票均衡時(shí)刻的價(jià)格（最終價(jià)值）也越大。

因此本文提出猜想，單自由度欠阻尼振動(dòng)模型的粘性阻尼比可能與羊群效應(yīng)影響系數(shù)和價(jià)格調(diào)整系數(shù)呈現(xiàn)線(xiàn)性關(guān)系，而無(wú)阻尼系統(tǒng)固有頻率與股市演化模型的三個(gè)參數(shù)之間可能呈現(xiàn)較為復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)在經(jīng)濟(jì)學(xué)模型基礎(chǔ)上引入物理模型具有一定的參考價(jià)值，但由于模型做了一定的簡(jiǎn)化假設(shè)，因此在實(shí)際應(yīng)用上存在著局限性。后續(xù)研究將著力于以下幾個(gè)方面：（1）研究股市演化模型和單自由度欠阻尼振動(dòng)模型參數(shù)之間具體的函數(shù)關(guān)系式。（2）剖析無(wú)阻尼系統(tǒng)固有頻率增加過(guò)程中均衡時(shí)刻的位移呈現(xiàn)階段性的跳躍狀態(tài)的原因。（3）股市演化模型引入更多類(lèi)型的投資者，并在單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)基礎(chǔ)上增加自由度和激勵(lì)力的強(qiáng)迫振動(dòng)，使得模型可以更符合實(shí)際市場(chǎng)的運(yùn)行情況。