宋明順，楊 銘，方興華

(中國(guó)計(jì)量大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

1 引言

以休哈特(Shewhart)控制圖為代表的控制圖技術(shù)在統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制(Statistical Process Control，SPC)中具有很好的應(yīng)用，許多研究已經(jīng)證明Shewhart控制圖對(duì)服從正態(tài)分布的質(zhì)量特性參數(shù)具有較好的監(jiān)控能力[1-2]。但在很多情況下，過(guò)程的質(zhì)量特性參數(shù)并不服從正態(tài)分布，若此時(shí)仍按照正態(tài)分布構(gòu)建控制圖就會(huì)引起監(jiān)控能力的下降。因此，研究一般分布情況下的控制圖具有重要意義。

在控制圖的研究中，多數(shù)學(xué)者主要是從控制圖的構(gòu)建和控制圖效果的評(píng)價(jià)兩方面展開(kāi)。在控制圖的構(gòu)建方面，Page[3]基于正態(tài)分布，提出了累積和(Cumulative Sum，CUSUM)控制圖，通過(guò)把每個(gè)樣本值的偏移進(jìn)行累加，可以更快的發(fā)現(xiàn)偏移。Roberts[4]在Page[3]的基礎(chǔ)上，提出了指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均(Exponentially Weighted Moving Average，EWMA)控制圖，利用歷史樣本數(shù)據(jù)，同樣可以監(jiān)控過(guò)程發(fā)生的小偏移。Tran等[5]基于CUSUM控制圖對(duì)二元正態(tài)分布下的人口比例進(jìn)行監(jiān)控，證明了在小偏移的情況下CUSUM控制圖具有更好的監(jiān)控效果。Park等[6]提出了最小水平集合的理論，在給定第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤α的情況下，依據(jù)最小水平集確定控制界限。在此基礎(chǔ)上，Das和Zhou[7]、Fang Xinghua等[8]基于最大熵，將該理論應(yīng)用于控制圖的構(gòu)建，與傳統(tǒng)控制圖相比，新構(gòu)建的控制圖可以不用假定分布的形式，更適合于一般分布的情況。

在控制圖效果的評(píng)價(jià)方面，平均運(yùn)行長(zhǎng)度(Average Run Length, ARL)理解容易、計(jì)算簡(jiǎn)單，能夠較好評(píng)價(jià)控制圖的效果，因此作為控制圖常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)。王兆軍等[9]詳細(xì)闡述了不同控制圖ARL的計(jì)算方法，Sanusi等[10]聯(lián)合Shewhart和CUSUM控制圖構(gòu)建了一種聯(lián)合控制圖，通過(guò)ARL對(duì)該控制圖進(jìn)行評(píng)價(jià)，給出了聯(lián)合控制圖在不同偏移情況下的應(yīng)用。Shu Lianjie等[11]用馬爾科夫鏈方法推導(dǎo)了自適應(yīng)CUSUM控制圖的ARL的計(jì)算公式，推廣了馬爾科夫鏈的應(yīng)用范圍。Vargas等[12]對(duì)比了CUSUM控制圖和EWMA控制圖，以ARL作為檢測(cè)失控狀態(tài)的指標(biāo)，得出了兩種控制圖在不同控制區(qū)域下的應(yīng)用情況。

綜上所述，盡管有很多的學(xué)者在控制圖的構(gòu)建和評(píng)價(jià)方面進(jìn)行了研究，但這些研究大部分建立在質(zhì)量特性參數(shù)服從正態(tài)分布的基礎(chǔ)上的。而當(dāng)這種假設(shè)不滿足時(shí)，應(yīng)用這些控制圖進(jìn)行過(guò)程監(jiān)測(cè)容易產(chǎn)生較大的偏差。因此，本研究提出一種建立在質(zhì)量特性參數(shù)“分布自由型”基礎(chǔ)上的控制圖的構(gòu)建方法。由于最大熵作為一種分布估計(jì)方法，不對(duì)分布進(jìn)行人為假定，可以更好地反映質(zhì)量特性參數(shù)服從的真實(shí)分布[13]，在借鑒Barzdajn[14]、Alwan等[15]、Chiang等[16]的研究之后，本文應(yīng)用最大熵分布對(duì)質(zhì)量特性參數(shù)進(jìn)行擬合，并依此構(gòu)建控制圖和評(píng)價(jià)方法。

本文應(yīng)用最大熵分布對(duì)控制圖進(jìn)行改進(jìn)的基本思想為：首先確定質(zhì)量特性參數(shù)的最大熵分布，然后根據(jù)最大熵分布對(duì)Shewhart控制圖進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合ARL作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)改進(jìn)后的控制圖進(jìn)行評(píng)價(jià)。最后，還提出了基于最大熵的CUSUM控制圖的性能評(píng)價(jià)方法。本研究通過(guò)一個(gè)仿真案例來(lái)闡釋最大熵對(duì)Shewhart控制圖和CUSUM控制圖的改進(jìn)過(guò)程，以及對(duì)改進(jìn)結(jié)果的比較。

2 基于最大熵分布的控制圖的構(gòu)建和評(píng)價(jià)

本節(jié)首先介紹了最大熵，然后提出基于最大熵的Shewhart控制圖的構(gòu)建方法和CUSUM控制圖的評(píng)價(jià)方法。

2.1 最大熵原理

信息熵(Entropy)最早由Shannon[17]提出，用來(lái)表示信息的不確定性程度，熵越大，信息的不確定性程度越高，之后，Jaynes[18]在這基礎(chǔ)上提出了最大熵(Maximum Entropy, ME)的概念，并且證明“在部分信息的基礎(chǔ)上，熵值達(dá)到最大時(shí)的分布是隨機(jī)變量唯一的無(wú)偏分布估計(jì)”，學(xué)者把基于以上原則確定分布的思想稱(chēng)為最大熵原理(Principle of Maximum Entropy, PME)。

近年來(lái)，應(yīng)用PME確定隨機(jī)變量分布已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)[19]、可靠性評(píng)估[20]、金融產(chǎn)品定價(jià)[21]等。通常，根據(jù)PME估計(jì)隨機(jī)變量X的最大熵分布的過(guò)程可以轉(zhuǎn)化為求解如下數(shù)學(xué)規(guī)劃的問(wèn)題：

(1)

其中，H(x)為變量X的熵函數(shù)，f(x)為變量X的最大熵分布概率密度函數(shù)，ui(x)表示X的若干函數(shù)，Mi為常數(shù)。約束條件一般從X已有的先驗(yàn)信息提取，并且進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)函數(shù)ui(x)，而ui(x)的形式在很大程度上決定了公式(1)中規(guī)劃模型的復(fù)雜程度，如ui(x)為原點(diǎn)矩、中心矩函數(shù)時(shí)，高階矩時(shí)模型求解的復(fù)雜性要明顯高于低階矩的情況。

為了獲得f(x)的表達(dá)式，引入拉格朗日乘子法[22]，得到f(x)為：

(2)

其中λ0,λ1,λ2,…,λm為拉格朗日乘子，為待定系數(shù)。為了進(jìn)一步得到f(x)的顯性表達(dá)式，本研究利用Matlab中的非線性規(guī)劃功能求解λ0,λ1,λ2,…,λm。

2.2 最大熵分布對(duì)Shewhart控制圖的改進(jìn)

在控制圖的構(gòu)建中，控制界限是最重要的參數(shù)之一，圖1給出了質(zhì)量特性參數(shù)的控制界限示意圖，其中UCL為上控制限，LCL為下控制限。傳統(tǒng)的Shewhart控制圖采用[μ-3σ,μ+3σ]作為最佳控制區(qū)域，其中μ和σ分別為質(zhì)量特性參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，但這個(gè)控制區(qū)域適用于質(zhì)量特性值為正態(tài)分布的情況，而當(dāng)質(zhì)量特性參數(shù)偏移正態(tài)分布時(shí)，應(yīng)用該控制區(qū)域進(jìn)行過(guò)程監(jiān)控時(shí)就會(huì)產(chǎn)生較大的風(fēng)險(xiǎn)。

圖1 質(zhì)量特性參數(shù)X控制區(qū)域構(gòu)建的示意圖

2.2.1 控制圖的構(gòu)建原則

Shewhart控制圖構(gòu)建的核心思想是當(dāng)質(zhì)量特性參數(shù)服從正態(tài)分布時(shí)，控制區(qū)域[μ-3σ,μ+3σ]的兩類(lèi)錯(cuò)誤之和(第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤和第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤)最小，在實(shí)際的產(chǎn)品質(zhì)量控制中，應(yīng)用這個(gè)控制界限可以使“虛發(fā)報(bào)警”和“漏發(fā)報(bào)警”的概率之和達(dá)到最小，因而企業(yè)在質(zhì)量控制中承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)最小，是一種“經(jīng)濟(jì)性”的做法。

當(dāng)質(zhì)量特性參數(shù)的分布為單峰分布時(shí)，并且應(yīng)用最大熵分布對(duì)其進(jìn)行擬合，遵循控制圖的“經(jīng)濟(jì)性”原則，并借鑒Park等[6]的研究，將質(zhì)量特性參數(shù)的監(jiān)測(cè)分布總體分為兩個(gè)部分：受控區(qū)域和失控區(qū)域。如果監(jiān)測(cè)的樣本在受控區(qū)域內(nèi)，則稱(chēng)為過(guò)程受控，否則為過(guò)程失控(如圖1所示)。其中受控區(qū)域A可表示為：

A={X|P(X∈A)≥1-α,X～F0}

(3)

其中α為第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤概率(在圖1中，在對(duì)稱(chēng)分布中α1=α2=0.5α)，X為用于過(guò)程監(jiān)測(cè)的質(zhì)量特性參數(shù)，通常為產(chǎn)品的技術(shù)特性參數(shù)，F(xiàn)0表示X的分布，概率密度函數(shù)為f(x)。在特定的α值下，從統(tǒng)計(jì)上可以找到無(wú)數(shù)多個(gè)滿足公式(3)的集合A。根據(jù)Shewhart控制圖的“經(jīng)濟(jì)性”原則，此時(shí)必須找到使第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤β達(dá)到最小時(shí)的集合，我們稱(chēng)之為最佳受控區(qū)域A*，此時(shí)兩類(lèi)錯(cuò)誤之和α+β達(dá)到最小。

當(dāng)過(guò)程失控時(shí)，此時(shí)從統(tǒng)計(jì)學(xué)上看，X偏離了原分布F0，若監(jiān)測(cè)的樣本落在受控區(qū)域內(nèi)，則會(huì)產(chǎn)生第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤β，即“漏發(fā)報(bào)警”。假設(shè)失控狀態(tài)下的分布為F1，相應(yīng)的概率密度函數(shù)為f'(x)，則第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤為：

(4)

在實(shí)際的產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)測(cè)的過(guò)程中，過(guò)程失控的原因往往是比較復(fù)雜的，可能由多種原因引起，因而f'(x)的表達(dá)式通常是未知的。為了便于計(jì)算，我們采用核密度估計(jì)對(duì)未知分布進(jìn)行擬合。由于核密度估計(jì)被證明與原分布的一致性，而且能夠較好的體現(xiàn)數(shù)據(jù)特征，具有較好的擬合效果[23]，這也是目前在分布估計(jì)中常用的一種方法。

(5)

其中K(·)表示核函數(shù)(非負(fù)，積分為1，均值為0，具有概率密度的性質(zhì))，hn為帶寬，n為樣本總量，Xi為單個(gè)質(zhì)量特性參數(shù)的觀測(cè)值。因此將公式(5)代入公式(4)，得到：

(6)

由于核密度估計(jì)時(shí)積分計(jì)算很復(fù)雜，為了簡(jiǎn)化求解，我們經(jīng)常采用經(jīng)驗(yàn)分布估計(jì)核密度積分計(jì)算[25]，其中經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Ln(A)為：

(7)

(8)

因此當(dāng)質(zhì)量特性參數(shù)為服從單峰分布的隨機(jī)變量時(shí)，給定第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤α，則當(dāng)控制控制區(qū)間長(zhǎng)度(UCL-LCL)取最短時(shí)，則兩類(lèi)錯(cuò)誤之和α+β最小。

2.2.2 基于最大熵分布控制圖的構(gòu)建步驟

應(yīng)用最大熵分布對(duì)Shewhart控制圖進(jìn)行改進(jìn)，其改進(jìn)的思想是用最大熵分布近似質(zhì)量特性參數(shù)的分布，并根據(jù)“經(jīng)濟(jì)性”原則構(gòu)建控制圖，其主要的步驟如下：

(1)應(yīng)用最大熵分布擬合質(zhì)量特性參數(shù)X分布的概率密度函數(shù)f(X)，如公式(1)所示；

(2)給定第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤α，尋找最佳控制區(qū)域A*=[LCL,UCL]以滿足：

(9)

可以應(yīng)用數(shù)值法等近似求解，并利用Matlab等軟件實(shí)現(xiàn)；

(3)對(duì)過(guò)程進(jìn)行監(jiān)控，當(dāng)觀測(cè)樣本落在受控區(qū)域外，則過(guò)程失控報(bào)警。

2.2.3 對(duì)改進(jìn)Shewhart控制圖的評(píng)價(jià)

在控制圖效果的評(píng)價(jià)中，通常采用ARL作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)過(guò)程受控時(shí)，ARL表示開(kāi)始檢測(cè)到發(fā)生報(bào)警信號(hào)平均抽取的樣本數(shù)，此時(shí)我們希望其越大越好；反之，當(dāng)過(guò)程失控時(shí)，ARL表示開(kāi)始檢測(cè)到發(fā)現(xiàn)失控信號(hào)平均抽取的樣本數(shù)，此時(shí)其值越小越好。

對(duì)于Shewhart控制圖，只需要知道第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤α和第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤β，就可以計(jì)算出受控狀態(tài)下和失控狀態(tài)下的ARL，如下所示：

(10)

(11)

其中ARL0表示過(guò)程受控時(shí)的平均運(yùn)行長(zhǎng)度，ARL1表示過(guò)程失控時(shí)的平均運(yùn)行長(zhǎng)度。由于本研究中第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤α是一個(gè)確定值，對(duì)不同控制圖沒(méi)有影響，因此本研究應(yīng)用ARL1來(lái)評(píng)價(jià)控制圖的性能。

2.3 最大熵分布對(duì)CUSUM控制圖評(píng)價(jià)方法的改進(jìn)

一般來(lái)說(shuō)，Shewhart控制圖對(duì)過(guò)程大偏移的監(jiān)控比較有效，而對(duì)于過(guò)程中的小偏移的監(jiān)測(cè)不敏感，為此Page[3]、Tran等[5]基于序貫比檢驗(yàn)，構(gòu)建了更適用于小偏移監(jiān)測(cè)的累積和(CUSUM)控制圖。針對(duì)CUSUM控制圖的評(píng)價(jià)，本部分提出了基于最大熵分布的控制圖評(píng)價(jià)方法，并以自適應(yīng)CUSUM控制圖為例進(jìn)行說(shuō)明。

2.3.1 自適應(yīng)CUSUM控制圖

傳統(tǒng)CUSUM控制圖的原理是對(duì)每一個(gè)觀測(cè)值的偏移進(jìn)行累加，從而達(dá)到局部放大的效果。但在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)中，很難獲取偏移的確切值，這給控制圖的設(shè)計(jì)帶來(lái)了困擾，Shu Lianjie和Jiang Wei[26]提出了自適應(yīng)CUSUM控制圖，可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題。對(duì)于檢測(cè)向上漂移，采用檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為：

(12)

在上式中，ARL0表示受控狀態(tài)下的平均運(yùn)行長(zhǎng)度，在試驗(yàn)中可取100-1000，本文中取ARL0=370。大量文獻(xiàn)表明(如Sparks和Ross[27]，Huang等[28])，當(dāng)k=δ/2，可以得到一個(gè)最優(yōu)的CUSUM控制圖。

2.3.2 基于最大熵分布的CUSUM控制圖的評(píng)價(jià)

針對(duì)CUSUM控制圖的評(píng)價(jià)，在計(jì)算ARL時(shí)，通常采用積分法、蒙特卡洛仿真法和馬爾科夫鏈法[29]。相較于其他兩種方法，馬爾科夫鏈法適用于復(fù)雜的計(jì)算，同時(shí)準(zhǔn)確度較高，因此本文采用馬爾科夫鏈法計(jì)算CUSUM控制圖的ARL。該方法的核心思想是把監(jiān)控的質(zhì)量特性參數(shù)近似看作一個(gè)狀態(tài)有限的馬爾可夫鏈，把質(zhì)量特性參數(shù)的各取值區(qū)間作為馬爾可夫鏈的各狀態(tài)空間，以此構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣，從而根據(jù)轉(zhuǎn)移概率矩陣確定平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL的大小[30]。

對(duì)于一個(gè)馬爾科夫鏈模型，主要由S、P兩種元素構(gòu)成，其中：

(1)S表示整個(gè)系統(tǒng)所有可能的狀態(tài)所組成的非空的狀態(tài)集，也可稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)空間，它可以是有限集合、可列集合或是有限可列集合。本文假定S是數(shù)集(即有限或可列)，用小寫(xiě)字母a,b或(Sa,Sb)來(lái)表示狀態(tài)。

(2)P為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，Pab表示在時(shí)刻l為狀態(tài)a，而在時(shí)刻l+1時(shí)為狀態(tài)b的概率。

本文以向上的單側(cè)偏移為例，假設(shè)受控區(qū)域?yàn)?0,H)，將該區(qū)域分為m個(gè)子區(qū)間，則每個(gè)子區(qū)間的寬度d=H/m，其中狀態(tài)0到m-1為受控狀態(tài)，狀態(tài)m為失控狀態(tài)，如圖2所示。

圖2 馬爾科夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移空間

該馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P可表示為：

(13)

其中I為單位矩陣，1為元素全為1的列向量，R為m×m階矩陣，R中元素表示由狀態(tài)a轉(zhuǎn)移到狀態(tài)b的概率pab，即pab代表Ct-1落在狀態(tài)a時(shí)，Ct落在狀態(tài)b的概率，所以有：

(1)當(dāng)b=0時(shí)，

pab=Pr(Ct∈S0|Ct-1∈Sa)=

Pr(Xa≤m-ad+d/2)=

F(Xa≤m-ad+d/2)

其中：a=1,2,3…,m-1，b=0

(2)當(dāng)1

pab=Pr(Ct∈Sb|Ct-1∈Sa)=Pr[(b-a)d-d/2

(3)當(dāng)b=m時(shí)，

pab=Pr(Ct∈Sb|Ct-1∈Sa)=Pr(X-K≤(m-a)d+d/2)=Pr(X≤(m-a+0.5)d+K)=F(X≤(m-a+0.5)d+K)

其中：a,b=1,2,3,…,m-1；b=m，F(xiàn)(·)為分布函數(shù)。

根據(jù)馬爾科夫鏈的性質(zhì)[31]，可以得到平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL的公式：

ARL=P0(I-R)-11

(14)

其中，P0是初始狀態(tài)概率矩陣，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)初始概率由中間點(diǎn)出發(fā)，即P0=[0,0,…,1,…,0,0]1×m。根據(jù)m的奇偶性，中間值的位置可分為：

(1)若m為偶數(shù)，則令P0為第m/2列為中間值，即P0(1,m/2)=1，其余值為0的向量。

(2)若m為奇數(shù)，則P0為中間值為1，其余值為0的向量。

由以上分析可以看出，在用馬爾科夫鏈法計(jì)算CUSUM控制圖的ARL時(shí)，需要知道觀測(cè)值Xt的分布，且在大部分的研究中，ARL的計(jì)算建立在受控時(shí)過(guò)程參數(shù)都已知的假設(shè)基礎(chǔ)上[32]，如假設(shè)均值μ0=0和標(biāo)準(zhǔn)差σ0=1的正態(tài)分布，但在實(shí)際的生產(chǎn)中，這個(gè)分布往往是未知的，本研究用總體觀測(cè)值的最大熵分布近似估計(jì)其真實(shí)分布，基于此對(duì)馬爾科夫鏈中的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行計(jì)算，并依次計(jì)算CUSUM控制圖的ARL值，實(shí)現(xiàn)對(duì)CUSUM的評(píng)價(jià)。

3 仿真案例

為了詳細(xì)地說(shuō)明最大熵分布對(duì)Shewhart控制圖構(gòu)建及對(duì)CUSUM控制圖評(píng)價(jià)方法的改進(jìn)，本文設(shè)計(jì)了仿真案例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。在機(jī)械制造、電氣等領(lǐng)域的質(zhì)量控制中，考慮到質(zhì)量特性參數(shù)服從重尾分布的情況比較多[33-34]，基于此，我們以威布爾分布為例，對(duì)控制圖的性能進(jìn)行分析。假設(shè)質(zhì)量特性參數(shù)X的真實(shí)分布為威布爾分布，其概率密度函數(shù)f(X)為

(15)

其中λ為比例系數(shù)，k為形狀系數(shù)，且λ>0，k>0。

由于在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，很難確切地知道質(zhì)量特性參數(shù)的真實(shí)分布情況，本節(jié)首先應(yīng)用最大熵估計(jì)對(duì)真實(shí)分布進(jìn)行近似，然后依此構(gòu)建最大熵控制圖，并對(duì)控制圖進(jìn)行評(píng)價(jià)，最后基于最大熵分布應(yīng)用馬爾科夫鏈法計(jì)算自適應(yīng)CUSUM控制圖ARL值，并與真實(shí)分布下控制圖的ARL值進(jìn)行比較。

3.1 最大熵分布對(duì)威布爾分布的擬合

為了求解最大熵函數(shù)，我們利用Matlab軟件進(jìn)行仿真。生成1000個(gè)服從比例參數(shù)λ=1，形狀參數(shù)k=2的威布爾分布的離散隨機(jī)數(shù)，并把這些信息作為質(zhì)量特性參數(shù)X最大熵分布的先驗(yàn)信息，參考Zhang和Xu[35]的研究，把X的先驗(yàn)信息轉(zhuǎn)化為函數(shù)：u1(x)=lnx，u2(x)=x2因此根據(jù)公式(1)，可得到以下最大熵分布的規(guī)劃模型：

(16)

從而得到最大熵分布函數(shù)為：

f(x)=exp[λ0+λ1ln(x)+λ2x2]

通過(guò)對(duì)約束條件中參數(shù)的計(jì)算，得到M1=-0.2589,M2=0.1968。利用Matlab軟件的非線性規(guī)劃工具，求解未知參數(shù)的值，得到：

λ0=0.6931，λ1=1.0022，λ2=-0.9874

因此，最大熵函數(shù)為：

f(x)=exp[0.6931+1.0022ln(x)

-0.9874x2]

(17)

為了驗(yàn)證最大熵函數(shù)的有效性，將求得的f(x)與威布爾分布的密度函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示。從圖中可以看出，此處最大熵分布對(duì)威布爾分布的擬合較好。因此基于最大熵分布構(gòu)建Shewhart控制圖和對(duì)CUSUM控制圖進(jìn)行評(píng)價(jià)，可以有效實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)量特性參數(shù)的控制。

圖3 最大熵函數(shù)與威布爾分布概率密度函數(shù)對(duì)比

3.2 基于最大熵分布控制圖控制界限的確定

確定了質(zhì)量特性參數(shù)X的最大熵分布函數(shù)f(x)之后，就可以確定Shewhart控制圖和CUSUM控制圖的控制界限。

基于最大熵分布對(duì)Shewhart控制圖的改進(jìn)。給定第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤α=0.05，將公式(17)中的最大熵函數(shù)帶入公式(9)中，通過(guò)數(shù)值法近似求得最佳控制區(qū)域?yàn)椋篈*=[0.076, 1.766]。而在傳統(tǒng)的Shewhart控制圖中，X被假設(shè)為服從正態(tài)分布，其控制圖的控制界限設(shè)置為[μ-3σ,μ+3σ](通過(guò)對(duì)離散值的估計(jì)，得到均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ=0.8977，σ=0.4436)，得到X的Shewhart控制界限為[-0.433,2.228]。表1和圖4給出了應(yīng)用最大熵分布對(duì)Shewhart控制圖進(jìn)行改進(jìn)前后的比較，從實(shí)際的威布爾分布看，X>0，而傳統(tǒng)的控制圖LCL的值小于0，因而沒(méi)有意義。而改進(jìn)后的控制圖的控制區(qū)域比傳統(tǒng)方法得到的控制區(qū)域更短，且更符合分布的實(shí)際情況。

圖4 改進(jìn)前后的Shewhart控制圖的控制區(qū)域

表1 改進(jìn)前后Shewhart控制圖的控制界限

3.3 基于ARL的最大熵Shewhart控制圖評(píng)價(jià)

用失控狀態(tài)下的ARL來(lái)比較最大熵對(duì)Shewhart控制圖進(jìn)行改進(jìn)前后的控制性能，即在第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤α=0.05下，當(dāng)過(guò)程失控時(shí)，ARL越小越好。而當(dāng)過(guò)程失控時(shí)，X不服從公式(15)中的威布爾分布，因此本文用參數(shù)λ的偏移來(lái)表示過(guò)程失控，若參數(shù)λ的偏移數(shù)值越大，代表過(guò)程失控程度越嚴(yán)重。由于在X的原分布中，比例參數(shù)λ=1，形狀參數(shù)k=2，則原分布概率密度函數(shù)為：

f(x)=2x·exp(-x2)

(18)

設(shè)過(guò)程失控時(shí)，即λ≠1。設(shè)失控狀態(tài)下密度函數(shù)為f'(X)，則：

(19)

在參數(shù)λ不同的偏移下，通過(guò)f'(X)可計(jì)算第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤β，即：

(20)

其中UCL和LCL分別為用改進(jìn)前后控制界限計(jì)算方法得到控制區(qū)域的上控制限和下控制限(如表1所示)。

對(duì)于Shewhart控制圖，根據(jù)公式(20)，可以求得第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤β，并將其代入公式(11)，就可以得到改進(jìn)前Shewhart控制圖和改進(jìn)后最大熵Shewhart控制圖在失控狀態(tài)下的ARL(如表2所示)。

表2 失控狀態(tài)下改進(jìn)前后Shewhart控制圖的ARL值

由表2可知，隨著觀測(cè)值漂移量的增加，即λ的增大，最大熵Shewhart控制圖和Shewhart控制圖的ARL值都在減少。當(dāng)偏移量較小時(shí)(λ<2，均值偏移量<2σ)，最大熵Shewhart控制圖比傳統(tǒng)Shewhart控制圖的ARL小的多，因此在這種情況下，最大熵Shewhart控制圖比傳統(tǒng)Shewhart控制圖能更快地檢測(cè)到觀測(cè)值的漂移。但當(dāng)偏移量較大時(shí)(λ>2，均值偏移量>2σ)，改進(jìn)后的Shewhart控制圖ARL值也小于改進(jìn)前的ARL值，因此也可以更快地發(fā)現(xiàn)過(guò)程偏移?？偟膩?lái)說(shuō)，最大熵Shewhart控制圖具有更好的監(jiān)控效果。

3.4 基于最大熵分布的CUSUM控制圖評(píng)價(jià)

為了驗(yàn)證基于最大熵分布的CUSUM控制圖的評(píng)價(jià)方法。本文應(yīng)用自適應(yīng)CUSUM控制圖對(duì)過(guò)程進(jìn)行監(jiān)測(cè)。為求控制界限，我們給出不同的偏移δ，取值為0.25～1.5，取值間隔為0.25。根據(jù)公式(12)，得到了不同偏移下，監(jiān)測(cè)上偏移的自適應(yīng)CUSUM控制圖的控制界限，如表3所示。

表3 自適應(yīng)CUSUM控制圖的控制界限

對(duì)自適應(yīng)CUSUM控制圖的評(píng)價(jià)。本研究應(yīng)用2.3.2中的馬爾科夫鏈法計(jì)算控制圖的ARL，在這個(gè)過(guò)程中，分別應(yīng)用真實(shí)威布爾分布(公式(18))、最大熵分布(公式(17))以及正態(tài)分布(數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差為：μ=0.8977，σ=0.4436)作為總體分布的估計(jì)，并進(jìn)行轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算，最后得到三種分布下的ARL值，如表4所示。

表4 失控狀態(tài)兩種CUSUM控制圖的ARL值

從表4可以看出，在小偏移的情況下(λ<2)，自適應(yīng)CUSUM控制圖的ARL要比相同偏移下的Shewhart控制圖的小(對(duì)比表3)，這也說(shuō)明了自適應(yīng)CUSUM控制圖對(duì)小偏移的監(jiān)測(cè)效果比Shewhart控制圖要好。而隨著偏移增大，所有控制圖的ARL都在減小。且當(dāng)偏移后的比例參數(shù)λ為1.1至1.7時(shí)，基于正態(tài)分布 CUSUM控制圖的ARL與真實(shí)值的差距較大，而基于最大熵分布計(jì)算的CUSUM控制圖的ARL與真實(shí)值的差距較小。當(dāng)λ超過(guò)2時(shí)，CUSUM控制圖的ARL下降速度明顯變慢。同時(shí)可以明顯地看出，在威布爾分布下，基于最大熵的CUSUM控制圖ARL值較正態(tài)分布下的結(jié)果更接近于真實(shí)值。這說(shuō)明在重尾分布的情況下，應(yīng)用基于最大熵的方法對(duì)CUSUM控制圖進(jìn)行評(píng)價(jià)的結(jié)果更接近與真實(shí)分布的情況，結(jié)果也更客觀。

3.5 小結(jié)

從仿真案例的結(jié)果看，不同控制圖在過(guò)程的不同偏移下監(jiān)控效果不同，在實(shí)際情況中，應(yīng)結(jié)合最大熵Shewhart控制圖和自適應(yīng)CUSUM控制圖特點(diǎn)，即在過(guò)程發(fā)生不同偏移時(shí)采用不同的控制圖進(jìn)行監(jiān)控。當(dāng)過(guò)程發(fā)生的偏移較小時(shí)，可采用自適應(yīng)CUSUM控制圖進(jìn)行監(jiān)控；當(dāng)過(guò)程發(fā)生的偏移較大且不一定服從正態(tài)分布時(shí)，應(yīng)采用最大熵Shewhart控制圖進(jìn)行監(jiān)控。當(dāng)過(guò)程發(fā)生的偏移較大且服從正態(tài)分布時(shí)，可直接選擇Shewhart控制圖進(jìn)行監(jiān)控；在對(duì)CUSUM控制圖的控制效果的評(píng)價(jià)中，基于質(zhì)量特性參數(shù)最大熵分布的控制圖評(píng)價(jià)方法能得到更接近于真實(shí)分布的結(jié)果。

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)質(zhì)量特性參數(shù)為一般分布下的Shewhart控制圖進(jìn)行了改進(jìn)和評(píng)價(jià)，并針對(duì)自適應(yīng)CUSUM控制圖，提出了基于最大熵的評(píng)價(jià)方法。首先，根據(jù)最大熵原理，對(duì)分布進(jìn)行了擬合，求出了質(zhì)量特性參數(shù)的最大熵分布，以此構(gòu)建了最大熵Shewhart控制圖，并選用失控狀態(tài)下ARL作為控制圖的評(píng)價(jià)指標(biāo)；其次，針對(duì)自適應(yīng)CUSUM控制圖，本研究提出了結(jié)合最大熵的馬爾科夫鏈方法對(duì)控制圖性能進(jìn)行評(píng)價(jià)。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，選取一個(gè)重尾分布進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，基于最大熵Shewhart控制圖的控制效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的Shewhart控制圖?；谧畲箪氐腃USUM控制圖性能評(píng)價(jià)方法得到的結(jié)果與真實(shí)分布的情況更為接近。同時(shí)，本文還總結(jié)了不同偏移和分布情況下控制圖的適用情況，為實(shí)際生產(chǎn)中進(jìn)行質(zhì)量控制提供參考。