李卓禹，張志強(qiáng)，周宏偉

（1.海軍研究院，北京 100161；2.復(fù)雜艦船系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100161；3.海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033）

0 引言

目前，各國對水下機(jī)器人的航行研究越來越重視[1-2]。水下機(jī)器人可以在軍用和民用的多個領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，水下機(jī)器人的發(fā)展和優(yōu)化涉及多方面技術(shù)[3]，其中水下機(jī)器人的空間運(yùn)動動力學(xué)數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行水下機(jī)器人總體性能、彈道、控制和導(dǎo)航系統(tǒng)研究、設(shè)計與仿真的基本前提和重要依據(jù)。

水下機(jī)器人的運(yùn)動已由早期單純的平動逐步強(qiáng)化為有多個自由度的空間運(yùn)動[4]，其中的典型樣式是裝有8個推進(jìn)器（4個垂直電機(jī)、4個水平電機(jī)四角對峙布置）的水下機(jī)器人。該型機(jī)器人能夠進(jìn)行3個維度上的平移運(yùn)動以及繞三軸的轉(zhuǎn)動，具備6個自由度運(yùn)動能力；同時，8個推進(jìn)器在四角對稱布置，該型水下機(jī)器人的靈活性及穩(wěn)定性都得到了較好保證，是應(yīng)用范圍很廣泛的機(jī)器人類型。本文以該型機(jī)器人為研究對象，對其進(jìn)行動力學(xué)分析，分析方法及結(jié)果對其它類型水下機(jī)器人有較好的借鑒意義。

1 水下機(jī)器人坐標(biāo)系建立與轉(zhuǎn)換

論文研究對象為某型質(zhì)量m=20 kg，并具有8個推進(jìn)器的水下機(jī)器人，如圖1所示。4個垂直布置的螺旋槳成正方形分布，4個水平布置的螺旋槳成45°角對峙分布。在俯視圖中可以看出水下機(jī)器人中間有一凹槽，凹槽是半徑R=0.25 m的圓柱，其主要參數(shù)見表1。

圖1 水下機(jī)器人三視圖及立體圖Fig.1 Three views and stereogram of underwater robot

表1 水下機(jī)器人形狀參數(shù)Table 1 Shape parameters of underwater robot

1.1 坐標(biāo)系建立與參數(shù)描述

水下機(jī)器人空間運(yùn)動的坐標(biāo)系一般采用慣性坐標(biāo)系和隨動坐標(biāo)系兩種坐標(biāo)系 。通過慣性坐標(biāo)系描述水下機(jī)器人的運(yùn)動軌跡及姿態(tài)，通過隨動坐標(biāo)系描述水下機(jī)器人的水動力特性。

慣性坐標(biāo)系：一般采用地面坐標(biāo)系O-xyz，與地球表面固連，原點(diǎn)O為水下機(jī)器人出發(fā)點(diǎn)；Ox軸處于通過O點(diǎn)的地平面內(nèi)，指向任意方向（本文取水下機(jī)器人的初始航向）；Oz軸在通過Ox軸的鉛錘面內(nèi)與Ox軸垂直，向下為正；Oy軸按右手定則確定。

隨動坐標(biāo)系：一般采用體坐標(biāo)系A(chǔ)-x1y1z1，原點(diǎn)A與水下機(jī)器人重心重合；Ax1軸與水下機(jī)器人縱軸重合，指向前部為正；Az1軸在水下機(jī)器人的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，垂直于Ax1軸，指向下方為正；Ay1軸按右手定則確定。

在慣性坐標(biāo)系中水下機(jī)器人的位置可以表示為P=x,y,z］T∈R3；水下機(jī)器人的姿態(tài)可以表示為 Θ =［φ,θ,ω］T∈S3；在體坐標(biāo)系中速度描述為V=［u,v,w］T∈R3，角速度表示為ωb=［p,q,r］T∈R3；水下機(jī)器人所受力與所受力矩在水下機(jī)器人體坐標(biāo)系中分別描述為F=［X,Y,Z］T∈R3與M=［K,M,N］T∈R3。

1.2 慣性坐標(biāo)系與隨動坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

水下機(jī)器人的航行軌跡需要在慣性坐標(biāo)系中進(jìn)行計算。同時，由于水下機(jī)器人的運(yùn)動參數(shù)都是在隨動坐標(biāo)系，不能直接運(yùn)用牛頓第二定律建立運(yùn)動方程，所以需要將水下機(jī)器人的運(yùn)動參數(shù)轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系中，建立水下機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程[6]。這涉及慣性坐標(biāo)系O-xyz與隨動坐標(biāo)系A(chǔ)-x1y1z1的轉(zhuǎn)換。

為方便研究，可假設(shè)兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與A重合，水下機(jī)器人在坐標(biāo)系O-xyz的空間位置坐標(biāo)為P（x,y,z），在坐標(biāo)系A(chǔ)-x1y1z1的空間位置坐標(biāo)為P1(x1,y1,z1)。同時Ox與Ax1的夾角為φ，Oy軸與Ay1軸的夾角為θ，Oz軸與Az1軸的夾角為ψ，則兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為

由于2個直角坐標(biāo)系全部為正交系，故轉(zhuǎn)換矩

當(dāng)歐拉角很小時，運(yùn)用極限定理忽略二階小量將轉(zhuǎn)換矩陣簡化為

則有

由兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得歐拉角與隨動坐標(biāo)系的角速度的轉(zhuǎn)換矩陣為

當(dāng)歐拉角很小時，運(yùn)用極限定理忽略二階小量將轉(zhuǎn)換矩陣簡化為

從上述式子看出θ≠±9 0o，且。

2 水下機(jī)器人動力學(xué)方程

推導(dǎo)水下機(jī)器人的動力學(xué)方程之前，首先提出下列假設(shè)：1）水下機(jī)器人為絕對剛體；2）將地面坐標(biāo)系視為慣性坐標(biāo)系；3）水下機(jī)器人完全浸沒在流體介質(zhì)中，并完全處于全粘濕狀態(tài)；4）假設(shè)水下機(jī)器人的8個推進(jìn)器所產(chǎn)生的推力大小一樣，控制信號大小一樣，且推進(jìn)器正反轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的推力大小一樣；5）假設(shè)水下機(jī)器人在水中不受其他外力處于懸停狀態(tài)，即重力等于浮力。

將水下機(jī)器人視為絕對剛體，在推導(dǎo)水下機(jī)器人的動力學(xué)方程時，可以不考慮水下機(jī)器人質(zhì)量內(nèi)部的相互作用力，忽略其微小的變形；本文研究的基于多推進(jìn)器的水下機(jī)器人速度低、航程短，故只考慮水下機(jī)器人所受到的流體作用力。綜上假設(shè)，水下機(jī)器人航行時所受到的力與力矩主要包括[7]：1）重力 G、所受浮力 B，以及2個力共同產(chǎn)生的靜力矩；2）螺旋槳所產(chǎn)生的推力T和力矩；3）水下機(jī)器人受到的流體作用力。

經(jīng)過推導(dǎo)，可以得出靜力與靜力矩為

式中：(xg,yg, zg)為重心坐標(biāo)；(xc, yc, zc)為浮心坐標(biāo)；G為重力；B為浮力。假設(shè)重力G等于浮力B，又因隨動坐標(biāo)系原點(diǎn)與水下機(jī)器人重心重合，故簡化得靜力與靜力矩得

螺旋槳對水下機(jī)器人的推力及推力矩為[8]

式中：R1為4個垂直布置的螺旋槳中心距AZ1軸的距離；R2為4個水平布置的螺旋槳中心距AZ1軸的距離；KT為推力系數(shù)；ρ為水密度；n為螺旋槳轉(zhuǎn)速，r/min；D為螺旋槳直徑。水下機(jī)器人阻力為[9]

式中：Rf為摩擦阻力；Rv為形狀阻力；Cf為光滑表面的摩擦阻力系數(shù)；Cv為形狀阻力系數(shù)；CΔ為表面粗糙度的附加阻力系數(shù)；ρ為水的密度；V為水下機(jī)器人航行速度；S為浸濕的面積。

流體作用力產(chǎn)生的力矩大小為

式中：L為特征長度；ρ為水的密度；ω為角速度；S為浸濕的面積；Cf為光滑表面的摩擦阻力系數(shù)；Cv為形狀阻力系數(shù)；CΔ為表面粗糙度的附加阻力系數(shù)。

由式（11）-（14）得水下機(jī)器人所受流體作用力與力矩為

綜上所述，水下機(jī)器人所受到的力與力矩總和為

推導(dǎo)可得水下機(jī)器人在不計水流的 6個自由度空間運(yùn)動方程，公式如下。

沿x軸方向前進(jìn)與后退運(yùn)動的方程

沿y軸方向的左右平移運(yùn)動方程

沿z軸方向的垂直上下運(yùn)動方程

繞x軸旋轉(zhuǎn)的橫滾運(yùn)動方程

繞y軸旋轉(zhuǎn)的俯仰運(yùn)動方程

繞z軸旋轉(zhuǎn)的偏航運(yùn)動方程

3 運(yùn)動仿真與性能分析

根據(jù)上節(jié)中得出的模型，結(jié)合該水下機(jī)器人及環(huán)境的具體參數(shù)，可對其運(yùn)動情況進(jìn)行建模仿真。

3.1 水平面運(yùn)動

當(dāng)水平方向推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向全部相同，使得水下機(jī)器人進(jìn)行前進(jìn)與后退運(yùn)動，其速度u隨時間的速度響應(yīng)如圖2所示。速度u在推力T的作用下慢慢增加，隨后在2.5 s左右達(dá)到最大值并保持穩(wěn)定。當(dāng)單個推進(jìn)器T=20 N時，最大速度可達(dá)1.9 m/s。

圖2 前進(jìn)與后退速度響應(yīng)圖Fig.2 Forward and backward speed response diagram

當(dāng)水平方向推進(jìn)器兩對角的 2組推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向不同，同時對角上的 2個推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向相同，使得水下機(jī)器人進(jìn)行左右側(cè)移運(yùn)動，其速度v隨時間的速度響應(yīng)圖如圖3所示。在水平軸上的點(diǎn)是水下機(jī)器人的起點(diǎn)，速度v在推力T的作用下慢慢增加，隨后在2 s左右達(dá)到最大值并保持穩(wěn)定。當(dāng)單個推進(jìn)器T=20 N時，最大速度可達(dá)1.85 m/s。

圖3 左右側(cè)移速度響應(yīng)圖Fig.3 Left and right side shift speed response diagram

當(dāng)水平方向推進(jìn)器左右 2組推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向不同，同時左右2側(cè)的兩個推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向相同，使得水下機(jī)器人進(jìn)行左右轉(zhuǎn)彎偏航運(yùn)動，其角速度r隨時間的速度響應(yīng)如圖4所示。角速度r在推力T的作用下慢慢增加，隨后在6 s左右達(dá)到最大值并保持穩(wěn)定。當(dāng)單個推進(jìn)器T=20 N時，最大角速度可達(dá) 3o/s。

圖4 偏航角速度響應(yīng)圖Fig.4 Yaw angular velocity response diagram

3.2 縱平面運(yùn)動

當(dāng)垂直方向推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向全部相同，使得水下機(jī)器人進(jìn)行上浮與下潛運(yùn)動，其速度w隨時間的速度響應(yīng)如圖5所示。速度w在推力T的作用下慢慢增加，隨后在2 s左右達(dá)到最大值并保持穩(wěn)定。當(dāng)單個推進(jìn)器T=20 N時，最大速度可達(dá)2.25 m/s。

圖5 上浮與下潛速度響應(yīng)圖Fig.5 Up and down speed response diagram

當(dāng)垂直方向推進(jìn)器前后 2組推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向不同，同時前后兩側(cè)的2個推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向相同，使得水下機(jī)器人進(jìn)行前后俯仰運(yùn)動，其角速度q隨時間的速度響應(yīng)如圖6。角速度q在推力T的作用下慢慢增加，隨后在5 s左右達(dá)到最大值并保持穩(wěn)定。當(dāng)單個推進(jìn)器T=20 N時，最大角速度可達(dá)13o/s。

圖6 俯仰角速度響應(yīng)圖Fig.6 Pitching angular velocity response diagram

3.3 橫滾運(yùn)動

當(dāng)垂直方向推進(jìn)器左右 2組推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向不同，同時左右兩側(cè)的2個推進(jìn)器旋轉(zhuǎn)方向相同，使得水下機(jī)器人進(jìn)行左右橫滾運(yùn)動，其角速度p隨時間的速度響應(yīng)如圖7。角速度p在推力T的作用下慢慢增加，隨后在2 s左右達(dá)到最大值并保持穩(wěn)定。當(dāng)單個推進(jìn)器 T=20 N時，最大橫滾角速度可達(dá)4.6o/s。

圖7 橫滾角速度響應(yīng)圖Fig.7 Rolling angular velocity response diagram

4 結(jié)束語

本文從受力分析出發(fā)，對某型八推進(jìn)器水下機(jī)器人進(jìn)行了動力學(xué)方程建模，得出了其在6個自由度上的運(yùn)動方程。在此基礎(chǔ)上，對其進(jìn)行了運(yùn)動仿真及性能分析，得到了該型水下機(jī)器人在6個自由度上的運(yùn)動性能。通過仿真計算的結(jié)果，可以直觀地了解其運(yùn)動能力，這是進(jìn)行水下機(jī)器人總體性能、彈道、控制和導(dǎo)航系統(tǒng)研究、設(shè)計與仿真的基本前提和重要依據(jù)。同時由結(jié)果可知，該型水下機(jī)器人具備多個自由度的運(yùn)動能力，靈活性高，具備實(shí)現(xiàn)多種功能的運(yùn)動能力基礎(chǔ)。